高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第1章 第3節(jié) 全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非” Word版含解析

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1、 第三節(jié)　全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非” [最新考綱]　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定． 1．全稱量詞和存在量詞 (1)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等． (2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等． 2．全稱命題與特稱命題 (1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題． (2)含有存在量詞的命題叫特稱命題. 3．命題的否定 (1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題． (2

2、)p或q的否定為：綈p且綈q；p且q的否定為：綈p或綈q. 4．邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 1．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律 (1)p或q：p，q中有一個為真，則p或q為真，即有真即真． (2)p且q：p，q中有一個為假，則p且q為假，即有假即假． (3)綈p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞

3、，否結(jié)論”． 3．命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p，則q”的否定是“若p，則綈q”，否命題是“若綈p，則綈q”． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)命題“3≥2”是真命題．(　　) (2)若命題p且q為假命題，則命題p，q都是假命題．(　　) (3)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”．(　　) (4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．命題“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．存在x0∈R，x＋x0≤0 B．存在x0∈R，x＋x0＜0 C．任意x

4、∈R，x2＋x≤0 D．任意x∈R，x2＋x＜0 B　[由全稱命題的否定是特稱命題知選項B正確．故選B.] 2．下列命題中的假命題是(　　) A．存在x0∈R，lg x0＝1 B．存在x0∈R，sin x0＝0 C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0 C　[當(dāng)x＝10時，lg 10＝1，則A為真命題；當(dāng)x＝0時，sin 0＝0，則B為真命題；當(dāng)x≤0時，x3≤0，則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，任意x∈R,2x＞0，則D為真命題．故選C.] 3．已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p或q，p 且q中真命題的個數(shù)為(　　) A．1　　 B．2

5、C．3 D．4 B　[p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p或q， p且q都是真命題．] 4．命題“實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是________． 存在一個實數(shù)的平方不是正數(shù)　[全稱命題的否定是特稱命題，故應(yīng)填：存在一個實數(shù)的平方不是正數(shù)．] 考點1　全稱命題、特稱命題 　(1)全稱命題與特稱命題的否定 ①改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫． ②否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定． (2)全稱命題與特稱命題真假的判斷方法 命題名稱 真假 判斷方法一 判斷方法二 全稱命題 真 所有對象使命題真

6、否定為假 假 存在一個對象使命題假 否定為真 特稱命題 真 存在一個對象使命題真 否定為假 　全稱命題、特稱命題的否定 　(1)(2019·西安模擬)命題“任意x＞0，＞0”的否定是(　　) A．存在x＜0，≤0　　 B．存在x＞0,0≤x≤1 C．任意x＞0，≤0 D．任意x＜0,0≤x≤1 (2)已知命題p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則綈p為 (　　) A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù) B．任意m∈R，f(x)＝2x－mx是減函數(shù) C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù) D．任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)

7、(1)B　(2)D　[(1)因為＞0， 所以x＜0或x＞1， 所以＞0的否定是0≤x≤1， 所以命題的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故選B. (2)由特稱命題的否定可得綈p為“任意m∈R，f(x)＝2x－mx不 是增函數(shù)”．] 　全(特)稱命題的否定方法：任意x∈M，p(x)存在x0∈M，綈p(x0)，簡記：改量詞，否結(jié)論． 　全稱命題、特稱命題的真假判斷 　(1)下列命題中的假命題是(　　) A．任意x∈R，x2≥0 B．任意x∈R,2x－1＞0 C．存在x0∈R，lg x0＜1 D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 (2)下列四個命題： p1：存在x

8、0∈(0，＋∞)，x0＜ x0； p2：存在x0∈(0,1)，logx0＞logx0； p3：任意x∈(0，＋∞)，x＞logx； p4：任意x∈，x＜logx. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3　　 B．p1，p4　　 C．p2，p3　　 D．p2，p4 (1)D　(2)D　[(1)A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x－1＞0恒成立，所以B正確；當(dāng)0＜x＜10時，lg x＜1，所以C正確；因為sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D錯誤． (2)對于p1，當(dāng)x0∈(0，＋∞)時，總有x0＞x0成立，故p1是假命題；對于p2，當(dāng)x0＝時，有1

9、＝log＝log＞log成立，故p2是真命題；對于p3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上的圖像，可以判斷p3是假命題；對于p4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx在上的圖像可以判斷p4是真命題．] 　因為命題p與綈p的真假性相反，因此不管是全稱命 題，還是特稱命題，當(dāng)其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假． 　1.命題“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　) A．任意n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n B．任意n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n C．存在x0∈N＋，f(n0)?N＋且f(n0)＞n0 D．存在n

10、0∈N＋，f(n0)?N＋或f(n0)＞n0 D　[“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N＋或f(n)＞n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D.] 2．已知命題p：存在x0∈0，，使得cos x0≤x0，則綈p為________，是________命題(填“真”或“假”)． 任意x∈0，，都有cos x＞x　假　[綈p：任意x∈0，，都有cos x＞x，此命題是假命題．] 考點2　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷 　判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的一般步驟 (1)判斷復(fù)合命題的結(jié)構(gòu)． (2)判斷構(gòu)成復(fù)合命題的每個簡單命題的真假． (3)依據(jù)“‘或’：一真即真；‘且

11、’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判斷即可． 　[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)記不等式組表示的平面區(qū)域為D.命題p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題 ①p或q?、诮恜或q　③p且綈q?、芙恜且綈 q 這四個命題中，所有真命題的編號是(　　) A．①③ B．①② C．②③ D．③④ A　[法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y是一條平行移動的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y的縱截距．顯然，直線過點A(2,4)時，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．

12、由此得命題p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9正確； 命題q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．∴①③真，②④假．故選A. 法二：取x＝4，y＝5，滿足不等式組且滿足2x＋y≥9，不滿足2x＋y≤12，故p真，q假． ∴①③真，②④假．故選A.] 　含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系 (1)p或q真?p，q至少一個真?(綈p)且(綈q)假． (2)p或q假?p，q均假?(綈p)且(綈q)真． (3)p且q真?p，q均真?(綈p)或(綈q)假． (4)p且q假?p，q至少一個假?(綈p)或(綈q)真． (5)綈p真?p假；綈p假?p真． 　1.(2019·石家莊模擬)命題

13、p：若sin x＞sin y，則x＞y；命題q：x2＋y2≥2xy.下列命題為假命題的是(　　) A．p或q B．p且q C．q D．綈p B　[取x＝，y＝，可知命題p不正確；由(x－y)2≥0恒成立，可知命題q正確，故綈p為真命題，p或q是真命題，p且q是假命題．] 2．給定下列命題： p1：函數(shù)y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上為增函數(shù)； p2：存在a，b∈R，a2－ab＋b2＜0； p3：cos α＝cos β成立的一個充分不必要條件是α＝2kπ＋β(k∈Z)． 則下列命題中的真命題為(　　) A．p1或p2 B．p2且p3 C．p1或(綈p3) D．(綈p2)

14、且p3 D　[對于p1：令y＝f(x)，當(dāng)a＝時，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1為假命題；對于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2為假命題；對于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命題，所以(綈p2)且p3為真命題．] 考點3　由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍 　根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟 (1)根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)． (2)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍． (3)根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍． 　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈

15、R，x2＋mx＋1＞0，若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　依題意知p，q均為假命題，當(dāng)p是假命題時，mx2＋1＞0恒成立，則有m≥0；當(dāng)q是真命題時，則有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均為假命題得即m≥2. 所以實數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞)． [母題探究] 1．(變問法)在本例條件下，若p且q為真，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　依題意知p，q均為真命題，當(dāng)p是真命題時，有m＜0； 當(dāng)q是真命題時，有－2＜m＜2， 由可得－2＜m＜0. 所以實數(shù)m的取值范圍為(－2,0)． 2．(變問法)在本例條件下，若p且q為假，p或q為真，求實數(shù)m的取值范圍．

16、 [解]　若p且q為假，p或q為真，則p，q一真一假． 當(dāng)p真q假時所以m≤－2； 當(dāng)p假q真時所以0≤m＜2. 所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)． 　根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略 (1)全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，特稱命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題． (2)含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決． 　1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A． B． C． D． A　[當(dāng)x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)

17、＝0， 當(dāng)x∈[1,2]時，g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m， 所以m≥，故選A.] 2．已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，－12)∪(－4,4)　[命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假．若p真q假，則a＜－12；若p假q真， 則－4＜a＜4.故a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4,4)．]