高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案:第一講 二 極坐標(biāo)系 Word版含答案

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1、 二極_坐_標(biāo)_系              1.極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系的建立:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系. (2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定:對于平面上任意一點M,用ρ表示線段OM長度,用θ表示射線Ox到OM的角度,ρ叫做點M的極徑,θ叫做點M的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ). (3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系 直角坐標(biāo) 極坐標(biāo)

2、 區(qū)別 點與直角坐標(biāo)是“一對一”的關(guān)系 由于終邊相同的角有無數(shù)個,即點的極角不惟一.因此點與極坐標(biāo)是“一對多”的關(guān)系 聯(lián)系 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)都是用來刻畫平面內(nèi)任意一點的位置的,它們都是一對有序的實數(shù) 2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 (1)互化的前提條件:①極坐標(biāo)系中的極點與直角坐標(biāo)系中的原點重合;②極軸與x軸的正半軸重合;③兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位. (2)互化公式,.              點的極坐標(biāo) [例1] 已知點Q(ρ,θ),分別按下列條件求出點P的極坐標(biāo). (1)點P是點Q關(guān)于極點O的對稱點; (2)點P是點Q關(guān)于直線θ=的對稱點.

3、 [思路點撥] 確定一點的極坐標(biāo)關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個量,為此應(yīng)明確它們的含義. [解] (1)由于P,Q關(guān)于極點對稱,得極徑|OP|=|OQ|,極角相差(2k+1)π(k∈Z).所以,點P的極坐標(biāo)為(ρ,(2k+1)π+θ)或(-ρ,2kπ+θ)(k∈Z). (2)由P、Q關(guān)于直線θ=對稱, 得它們的極徑|OP|=|OQ|, 點P的極角θ′滿足θ′=π-θ+2kπ(k∈Z), 所以點P的坐標(biāo)為 (ρ,(2k+1)π-θ)或(-ρ,2kπ-θ)(k∈Z). 設(shè)點M的極坐標(biāo)是(ρ,θ),則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是(-ρ,θ)或(ρ,θ+π);M點關(guān)于極軸的對稱點的

4、極坐標(biāo)是(ρ,-θ);M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)是(ρ,π-θ)或(-ρ,-θ). 另外要注意,平面上的點與這一點的極坐標(biāo)不是一一對應(yīng)的. 1.在極坐標(biāo)系中,畫出點A,B,C. 解:如圖所示. 2.在極坐標(biāo)系中,點A的極坐標(biāo)是,求點A關(guān)于直線θ=的對稱點的極坐標(biāo)(規(guī)定ρ>0,θ∈[0,2π]). 解:作出圖形,可知A(3,)關(guān)于直線θ=的對稱點是. 點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 [例2] (1)把點A的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo); (2)把點P的直角坐標(biāo)(1,-)化成極坐標(biāo).(ρ>0,0≤θ<2π). [思路點撥] 依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

5、互化的公式解題. [解] (1)x=2cos=-, y=2sin=-1, 故點A的直角坐標(biāo)為(-,-1). (2)ρ==2,tan θ==-. 又因為點P在第四象限且0≤θ<2π,得θ=. 因此點P的極坐標(biāo)是. (1)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件有三,即極點與原點重合,極軸與x軸正半軸重合,有相同的長度單位,三者缺一不可. (2)熟記互化公式,必要時可畫圖來分析. 3.點P的直角坐標(biāo)為(-,),那么它的極坐標(biāo)可表示為(  ) A.        B. C. D. 解析:點P(-,)在第二象限,與原點的距離為2,且與極軸夾角為. 答案:B 4.若以極

6、點為原點,極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系. (1)已知點A的極坐標(biāo)(4,),求它的直角坐標(biāo); (2)已知點B和點C的直角坐標(biāo)為(2,-2)和(0,-15),求它們的極坐標(biāo).(ρ>0,0≤θ<2π) 解:(1)∵x=ρcos θ=4·cos=2. y=ρsin θ=4sin=-2. ∴A點的直角坐標(biāo)為(2,-2). (2)∵ρ===2, tan θ==-1.且點B位于第四象限內(nèi), ∴θ=,∴點B的極坐標(biāo)為(2,). 又∵x=0,y<0,∴ρ=15,θ=π. ∴點C的極坐標(biāo)為.               一、選擇題 1.在極坐標(biāo)平

7、面內(nèi),點M,N,G,H中互相重合的兩個點是(  ) A.M和N        B.M和G C.M和H D.N和H 解析:由極坐標(biāo)的定義知,M、N表示同一個點. 答案:A 2.將點M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(  ) A.(5,5) B.(5,5) C.(5,5) D.(-5,-5) 解析:x=ρcos θ=10×cos=5,y=ρsin θ=10sin=5. 答案:A 3.在極坐標(biāo)系中,ρ1=ρ2且θ1=θ2是兩點M(ρ1,θ1)和N(ρ2,θ2)重合的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:前者

8、顯然能推出后者,但后者不一定推出前者,因為θ1與θ2可相差2π的整數(shù)倍. 答案:A 4.已知A,B兩點的極坐標(biāo)分別為和,則線段AB中點的直角坐標(biāo)為(  ) A. B. C. D. 解析:AB中點的極坐標(biāo)為,根據(jù)互化公式x=ρcos θ=cos =-,y=ρsin θ=sin =-,因此,所求直角坐標(biāo)為. 答案:B 二、填空題 5.點關(guān)于極點的對稱點為________. 解析:如圖,易知對稱點為. 答案: 6.在極坐標(biāo)系中,已知A,B兩點,則|AB|=________. 解析:|AB|==. 答案: 7.直線l過點A,B,則直線l與極軸夾角等于______

9、__. 解析:如圖所示,先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角),然后根據(jù)點A,B的位置分析夾角大?。? 因為|AO|=|BO|=3, ∠AOB=-=, 所以∠OAB==, 所以∠ACO=π--=. 答案: 三、解答題 8.在極軸上求與點A的距離為5的點M的坐標(biāo). 解:設(shè)M(r,0), 因為A, 所以 =5, 即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7. 所以M點的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0). 9.(1)已知點的極坐標(biāo)分別為A,B, C,D,求它們的直角坐標(biāo). (2)已知點的直角坐標(biāo)分別為A(3,),B, C,求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π

10、). 解:(1)根據(jù)x=ρcos θ,y=ρsin θ得A, B(-1,),C,D(0,-4). (2)根據(jù)ρ2=x2+y2,tan θ=得A, B,C. 10.已知定點P. (1)將極點移至O′處極軸方向不變,求P點的新坐標(biāo); (2)極點不變,將極軸順時針轉(zhuǎn)動角,求P點的新坐標(biāo). 解:(1)設(shè)P點新坐標(biāo)為(ρ,θ),如圖所示,由題意可知|OO′|=2,|OP|=4,∠POx=,∠O′Ox=, ∴∠POO′=. 在△POO′中,ρ2=42+(2)2-2·4·2·cos=16+12-24=4,∴ρ=2. 又∵=, ∴sin∠OPO′=·2=,∴∠OPO′=. ∴∠OP′P=π--=, ∴∠PP′x=.∴∠PO′x′=. ∴P點的新坐標(biāo)為. (2)如圖,設(shè)P點新坐標(biāo)為(ρ,θ), 則ρ=4,θ=+=. ∴P點的新坐標(biāo)為. 最新精品資料

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