新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 正態(tài)分布學(xué)案 理

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1、 1

2、 1 第六十七課時(shí) 正態(tài)分布 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性； 2.能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率． 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1． 正態(tài)曲線 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞)． 2． 正態(tài)曲線的性質(zhì) (1)曲線在

3、x軸的 ，并且關(guān)于直線 對(duì)稱． (2)曲線在 時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀． (3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越 ，曲線越“矮胖”；σ越 ，曲線越“高瘦”． 3． 正態(tài)變量在三個(gè)特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值 (1)P(μ－σ

4、總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.003，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生． 預(yù)習(xí)自測(cè) 1． 已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，則P(ξ>2)＝______________________________. 2． 若X～N(0,1)，且P(X<1.54)＝0.938 2，則P(|X|<1.54)＝________. 3． 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝e－，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 (　　) A．10與8 B．10與2 C．8與1

5、0 D．2與10 4． 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

6、 (2)求正態(tài)總體在(－4,4)的概率． 【變式1】設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函 數(shù)圖象如圖所示，則有 (　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 考點(diǎn)2　服從正態(tài)分布的概率計(jì)算 【典例2】某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示． (1)求總體隨機(jī)變量的期望和方差； (2)求成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率． 【變式2】(1)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1

7、)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(2，＋∞)上取值的概率為_(kāi)_______． (2)若X～N，則X落在(－∞，－1]∪[1，＋∞)內(nèi)的概率為_(kāi)_______． 考點(diǎn)3　正態(tài)分布的應(yīng)用 【典例3】已知電燈泡的使用壽命X～N(1 500,1002)(單位：h)． (1)購(gòu)買一個(gè)燈泡，求它的使用壽命不小于1 400小時(shí)的概率； (2)這種燈泡中，使用壽命最長(zhǎng)的占0.15%，這部分燈泡的使用壽命至少為多少小時(shí)？ 【變式3】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，即ξ～N(100,100)，已知滿分為150分． (1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,120)內(nèi)的概率； (2)若這

8、次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)． 當(dāng)堂檢測(cè) 1． 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x)＝ (x∈R，i＝1,2,3) 的圖象如圖所示，則 (　　) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 2． 設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(0≤X≤2)的值是 (　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3． 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(

9、3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)等于 (　　) A．0.158 8 B．0.158 5 C．0.158 6 D．0.158 7 4． 已知隨機(jī)變量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，則D(η)等于 (　　) A．0 B．1 C．2 D．4 課后拓展案 A組全員必做題 1.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)＝e－ (x∈R)，則下列命題不正確的是 (　　) A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分 B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人

10、數(shù)相同 C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同 D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10 2． 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則μ等于 (　　) A．1 B．2 C．4 D．不能確定 3． 隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，則P(ξ<2)＝________. 4.某中學(xué)2 000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(120,100)，則此校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的考生人數(shù)約為_(kāi)_______．(注：正態(tài)總體N(μ，σ2)在區(qū)間(μ－

11、2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率約為0.9544)． 5.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______． 6.商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝大米的質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布X～N(10,0.12)，任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.8～10.2 kg的概率是________． B組提高選做題 1.汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并

12、且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛． 2．工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？ 3．在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有13人． 求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？ 參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1．0.1 解析 ∵P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4， ∴P(ξ>2)＝(1－2×0.4

13、)＝0.1. 2．　0.876 4 解析　由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知 P(X≥1.54)＝P(X≤－1.54)． 又P(X≥1.54)＝1－P(X<1.54)＝1－0.938 2＝0.061 8 ∴P(X≤－1.54)＝0.061 8， ∴P(|X|<1.54)＝P(－1.544)＝0.

14、2， 由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3. 典型例題 【典例1】解　(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0.由＝，得σ＝4， 故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是 f(x)＝，x∈R. (2)P(－4

15、得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ 越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A. 【典例2】解　(1)從給出的密度曲線圖可知， 該正態(tài)曲線關(guān)于x＝60對(duì)稱，最大值為， ∴μ＝60，＝，解得σ＝4. ∴f(x)＝，x∈[0,100]， ∴總體隨機(jī)變量的期望是μ＝60，方差是σ2＝16. (2)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率為 P(μ－2σ2)＝×[1－2P(0<ξ<1)]＝×(1－0.8)＝0.1. （2）【答案】0.0026 【解析】∵μ＝0，

16、σ＝， ∴P(X≤－1或x≥1) ＝1－P(－11 500，則P(X≥x0)＝0.15%. P(X－1 500≥x0－1 500)＝＝0.15%， P(|X－1 500|

17、(80<ξ<120)＝P(100－2σ<ξ<100＋2σ)＝0.9544， 即考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120)內(nèi)的概率為0.9544. (2)P(90<ξ<110)＝P(100－10<ξ<100＋10)＝0.6826， ∴P(ξ>110)＝(1－0.6826)＝0.158 7， ∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人數(shù)為2 000×0.841 3≈1 683(人)． 當(dāng)堂檢測(cè) 1．D解析　正態(tài)分布密度函數(shù)f2(x)和f3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比f(wàn)1(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)

18、值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2<σ3. 2． B解析　正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(0≤X≤2)＝0.4. 3．D解析　由于X服從正態(tài)分布N(3,1)， 故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)， 故P(X>4)＝＝0.158 7. 4． B解析　由ξ＝2η＋3，得D(ξ)＝4D(η)，而D(ξ)＝σ2＝4， ∴D(η)＝1. A組全員必做題 1.B解析　由密

19、度函數(shù)知，均值(期望)μ＝80，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝10，又曲線關(guān)于直線x＝80對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯(cuò)誤的． 2．C解析　根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)的概率是時(shí)，μ＝4. 3． 0.7解析　由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)， 又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7. 4.46解析　因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是10，故在區(qū)間(120－20,1

20、20＋20)之外的概率是1－0.9544，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率是＝0.0228，故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為2 000×0.022846≈46. 5.0.8解析　∵ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)， ∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4. ∴ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4＋0.4＝0.8. 6.0.9544解析　P(9.8

21、0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15＝180(輛)． 2．解　∵X～N，∴μ＝4，σ＝. ∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為 P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3