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2、 1
專題能力訓練16 圓錐曲線中的熱點問題
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.(20xx浙江嘉興一模)已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過F且與拋物線交于A,B兩點,若|AB|=5,則AB中點的橫坐標為( )
A B.2
C D.1
3、
2.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A,B兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則的值為( )
A B
C D
3.已知直線y=x與雙曲線=1交于A,B兩點,P為雙曲線上不同于A,B的點,當直線PA,PB的斜率kPA,kPB存在時,kPA·kPB=( )
A B
C D.與P點位置有關
4.設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點,點Q與點P關于y軸對稱,O為坐標原點.若=2,且=1,則點P的軌跡方程是( )
Ax2+3y2=1(x>0,y>0)
Bx2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-y2=1(x>0,y>0)
4、
D.3x2+y2=1(x>0,y>0)
5.在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,1)在拋物線C:x2=ay(a≠0)上,拋物線C上異于點A的兩點P,Q滿足=(λ<0),直線OP與QA交于點R,△PQR和△PAR的面積滿足S△PQR=3S△PAR,則點P的橫坐標為( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
6.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A.2 B.3
C D
7.已知點P在雙曲線=1上,點A滿足=(t-1)(t∈R),且=64,=(0,1),則||的最大值為(
5、 )
A
B
C
D
8.如圖,點F1,F2是橢圓C1的左、右焦點,橢圓C1與雙曲線C2的漸近線交于點P,PF1⊥PF2,橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1,e2,則( )
A
B
C
D
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.在平面直角坐標系中,動點P和點M(-2,0),N(2,0)滿足||·||+=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為 .?
10.已知斜率為的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于位于x軸上方的不同兩點A,B,記直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,則k1+k2的取值范圍是 .?
11.拋
6、物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是 .?
12.(20xx浙江臺州實驗中學模擬)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點,若該拋物線上存在點C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為 .?
13.雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線y=x與雙曲線相交于A,B兩點,若AF⊥BF,則雙曲線的漸近線方程為 .?
14.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,則直線的斜率為 時,|AF|+4|BF|取得最小值.?
三、解答題(本大題共2小題,共30分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
7、
15.(本小題滿分15分)如圖,已知直線y=-2mx-2m2+m與拋物線C:x2=y相交于A,B兩點,定點M
(1)證明:線段AB被直線y=-x平分;
(2)求△MAB面積取得最大值時m的值.
16.(本小題滿分15分)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左頂點為A,左焦點為F1(-2,0),點B(2,)在橢圓C上,直線y=kx(k≠0)與橢圓C交于E,G兩點,直線AE,AG分別與y軸交于點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角?若存在,求出點P的坐標
8、;若不存在,請說明理由.
參考答案
專題能力訓練16 圓錐曲線中的熱點問題
1.C 解析 ∵拋物線y2=4x,∴p=2,
設經(jīng)過點F的直線與拋物線相交于A,B兩點,其橫坐標分別為x1,x2,利用拋物線定義,
得AB中點橫坐標為x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=×(5-2)=.
2.A 解析 設A(x1,y1), B(x2,y2),線段AB中點M(x0,y0).由題設知kOM=.
由=-.
又=-1,,所以.
3.A 解析 設點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
則由得y2=,則y1+y2=0,y1y2=-
9、,x1+x2=0,x1x2=-4×.
由于kPA·kPB=
=,
即kPA·kPB為定值,選A.
4.A 解析設A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),
即a=x>0,b=3y>0.
點Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.
將a,b代入ax+by=1,得所求的軌跡方程為x2+3y2=1(x>0,y>0).
5.B 解析 點A(-1,1)在拋物線C:x2=ay(a≠0)上,故a=1.設點P(x1,),Q(x2,),
∵P,Q滿足=λ(λ<0),
∴kPQ=kOA,即x1+x2=-1
10、.設R(m,n),使得△PQR和△PAR的面積滿足S△PQR=3S△PAR,
所以=3,又PQ∥OA,故=3,
即x2-x1=3,又x1+x2=-1,∴x1=-2.
故選B.
6.B 解析 設AB所在直線方程為x=my+t.
由消去x,得y2-my-t=0.
設A(,y1),B(,y2)(不妨令y1>0,y2<0),
故=m,y1y2=-t.
而+y1y2=2.
解得y1y2=-2或y1y2=1(舍去).
所以-t=-2,即t=2.
所以直線AB過定點M(2,0).
而S△ABO=S△AMO+S△BMO
=|OM||y1-y2|=y1-y2,
S△AFO=|OF|×
11、y1=y1=y1,
故S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1-y2.
由y1-y2=y1+(-y2)
≥2=2=3,
得S△ABO+S△AFO的最小值為3,故選B.
7.B
8.D 解析 設橢圓的方程為=1,雙曲線的方程為=1,P(x,y),
由題意可知=c2,=c2,
雙曲線的漸近線方程:y=±x,將漸近線方程代入橢圓方程,解得x2=,y2=,
由PF1⊥PF2,∴|OP|=|F1F2|=c,∴x2+y2=c2,
代入整理得c2=2c2,
兩邊同除以c4,由橢圓及雙曲線的離心率公式可知e1=,e2=,整理得.
9.y2=-8x 解析 由題意可知=(4,0),=
12、(x+2,y),=(x-2,y),
由||·||+=0,
可知4+4(x-2)=0,
化簡,得y2=-8x.
10.(2,+∞) 解析 設A(2p,2pt1),B(2p,2pt2),
則kAB=,所以t1+t2=2.
所以k1+k2==2,且等號不能成立.
11.
解析 如圖,設與直線4x+3y-8=0平行且與拋物線y=-x2相切的直線為4x+3y+b=0,切線方程與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得3x2-4x-b=0,則Δ=16+12b=0,解得b=-,所以切線方程為4x+3y-=0,拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d=.
13、12.[1,+∞) 解析 如圖所示,可知A(-,a),B(,a),
設C(m,m2),=(m+,m2-a),=(m-,m2-a).
∵該拋物線上存在點C,使得∠ACB為直角,
∴=(m+)(m-)+(m2-a)2=0.
化為m2-a+(m2-a)2=0.
∵m≠,∴m2=a-1≥0,解得a≥1.
∴a的取值范圍為[1,+∞).
13.y=±2x 解析 由題意可知雙曲線=1(a>0,b>0)焦點在x軸上,右焦點F(c,0),
則
整理得(9b2-16a2)x2=9a2b2,即x2=,∴A與B關于原點對稱,設A,B,
.
∵AF⊥BF,∴=0,即(x-c)(-x-c)+x
14、·=0,整理得c2=x2.
∴a2+b2=,
即9b4-32a2b2-16a4=0,
∴(b2-4a2)(9b2+4a2)=0,
∵a>0,b>0,∴9b2+4a2≠0,
∴b2-4a2=0,故b=2a,
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x=±2x.
14.±2 解析 由題意知p=2,設|AF|=m,|BF|=n,則=1,
∴m+4n=(m+4n)=5+≥9,
當且僅當m=2n時,m+4n的最小值為9,
設直線的斜率為k,方程為y=k(x-1),代入拋物線方程,得k2(x-1)2=4x.
化簡后為k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
15、
則有x1x2=1,x1+x2=2+.
根據(jù)拋物線性質可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
∴x1+1=2(x2+1),
聯(lián)立可得k=±2.
15.(1)證明 設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程組
得x2+2mx+2m2-m=0,∴x1+x2=-2m,x1·x2=2m2-m,Δ>0,解得0
16、-2t2|.
又∵0b>0),
因為橢圓的左焦點為F1(-2,0),
所以a2-b2=4,設橢圓的右焦點為F2(2,0),已知點B(2,)在橢圓C上,由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a,所以2a=3=4,所以a=2,從而b=2,
所以橢圓C的方程為=1.
(2)因為橢圓C的左頂點為A,
則點A的坐標為(-2,0),
因為直線y=kx(k≠0)與橢圓=1交于兩點E,F,設點E(x0,y0)(不妨設x0>0),則點G(-x0,-y0),
聯(lián)立方程組消去y得x2=,
所以x0=,y0=,
所以直線AE的方程為y=(x+2),
因為直線AE與y軸交于點M,
令x=0,得y=,即點M,
同理可得點N.
假設在x軸上存在點P(t,0),使得∠MPN為直角,則=0,即t2+=0,
即t2-4=0.解得t=2或t=-2.
故存在點P(2,0)或P(-2,0),無論非零實數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角.
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