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1、
選考部分
第十二篇 幾何證明選講(選修41)
第1節(jié) 相似三角形的判定及有關性質課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
平行線截割定理及應用
1、4、7、8、12、13
相似三角形的判定與性質
2、6、7、9、10、11
直角三角形中的射影定理
3、5、11
一、選擇題
1.如圖所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,則BF的長為( B )
(A)13 (B)43
(C)83 (D)163
解析:因為DE∥BC,
所以ADAB=AEAC=23,①
因為DF∥AC,
所以A
2、DAB=CFCB,②
由①②得23=CF4,
解得CF=83.
故BF=4-83=43.
2.如圖所示,?ABCD中,AE∶EB=2∶5,若△AEF的面積等于4 cm2,則△CDF的面積等于( D )
(A)10 cm2 (B)16 cm2 (C)25 cm2 (D)49 cm2
解析:?ABCD中,△AEF∽△CDF,
由AE∶EB=2∶5,得AE∶CD=2∶7,
∴S△AEFS△CDF=（AECD）2=（27）2,
∴S△CDF=（72）2×S△AEF=494×4=49 (cm2).
3.一個直角三角形的一條直角邊為3,斜邊上的高為125,則這個三角形的外接圓半徑是
3、( B )
(A)5 (B)52 (C)54 (D)25
解析:長為3的直角邊在斜邊上的射影為32-1252=95,故由射影定理知斜邊長為3295=5,
因此這個直角三角形的外接圓半徑為52.
4.(20xx漢中模擬)如圖,在梯形ABCD中,E為AD的中點,EF∥AB,
EF=30 cm,AC交EF于G,若FG-EG=10 cm,則AB等于( B )
(A)30 cm (B)40 cm
(C)50 cm (D)60 cm
解析:因為EF=30 cm,即FG+EG=30 cm,
又FG-EG=10 cm,所以FG=20 cm.
因為E為AD的中點,EF∥AB,
所以F為
4、BC的中點,
所以G為AC的中點,
所以AB=2GF=2×20=40(cm).
二、填空題
5.已知圓O的直徑AB=4,C為圓上一點,過C作CD⊥AB于D,若CD=3,則AC= .?
解析:因AB為圓O的直徑,
所以∠ACB=90°,
設AD=x,
因為CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·DB,
即(3)2=x(4-x).
整理得x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3.
當AD=1時,得AC=2;
當x=3時,得AC=23.
答案:2或23
6.(20xx永州模擬)如圖,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,過B作CA的垂線,交CA的
5、延長線于E,交DA的延長線于F,則AF= .?
解析:設AE=x,
因為∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.
又AE⊥EB,所以AB=2x,BE=3x,
所以AEBE=x3x=13.
在Rt△AEF與Rt△BEC中,
∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,
∠FEA=∠BEC=90°,
所以△AEF∽△BEC,
所以AFBC=AEBE,
所以AF=4×13=433.
答案:433
7.如圖所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分別為AD,BC上的點,且EF=3,EF∥AB,則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 .?
6、
解析:延長AD、BC交于點H,
由DC∥EF知S△HDCS△HEF=（CDEF）2=49,
∴S△HDCS梯形DCFE=45,
由DC∥AB知S△HDCS△ABH=（DCAB）2=416,
∴S△HDCS梯形ABCD=412,
∴S梯形ABFES梯形EFCD=75.
答案:7∶5
8.如圖,△ABC中,D是AC的中點,E是BC延長線上一點,過A作AH∥BE.連接ED并延長交AB于F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,則DF= .?
解析:∵AH∥BE,
∴HFHE=AFAB.
∵AB=4AF,
∴HFHE=14.
∵HE=8,
∴HF=2.
7、
∵AH∥BE,
∴HDDE=ADDC.
∵D是AC的中點,
∴HDDE=1.
∵HE=HD+DE=8,
∴HD=4,
∴DF=HD-HF=4-2=2.
答案:2
9.如圖所示,A,E是半圓周上的兩個三等分點,直徑BC=4,AD⊥BC,垂足為D,BE與AD相交于點F,則AF的長為 .?
解析:如圖所示,設圓心為O,連接OA,OE,AE,因為A,E是半圓周上的兩個三等分點,
所以AE∥BC,AE=12BC=2,
所以△AFE∽△DFB,
所以AFDF=AEDB.
在△AOD中,
∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC,
故OD=AOcos ∠AOD=
8、1,
AD=AOsin ∠AOD=3,
所以BD=1.
故AF=AEBD·DF=2(AD-AF).
解得AF=233.
答案:233
三、解答題
10.如圖所示,平行四邊形ABCD中,E是CD延長線上的一點,BE與AD交于點F,DE=12CD.
(1)求證:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.
∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△A
9、BF.
∵DE=12CD,
∴S△DEFS△CEB=DEEC2=19,
S△DEFS△ABF=DEAB2=14.
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∴S四邊形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S平行四邊形ABCD=S四邊形BCDF+S△ABF=16+8=24.
11.(20xx湛江模擬)已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D,DF⊥AC,垂足為F,DE⊥AB,垂足為E.
求證:(1)AB·AC=AD·BC;
(2)AD3=BC·BE·CF.
證明:(1)因為△ABD∽△CBA,
所以ABAD=BCAC,
即AB
10、·AC=AD·BC.
(2)∵AD2=BD·DC,
∴AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,
∴AD3=BC·BE·CF.
12.如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF經(jīng)過梯形對角線的交點O,且EF∥AD.
(1)求證:OE=OF;
(2)求:OEAD+OEBC的值;
(3)求證:1AD+1BC=2EF.
(1)證明:∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC,
∴OEBC=AEAB,OFBC=DFDC.
∵EF∥AD∥BC,
∴AEAB=DFDC.
∴OEBC=OFBC,
∴OE=OF.
(2)解:
11、∵OE∥AD,
∴OEAD=BEAB.
∴由(1)知,OEBC=AEAB,
∴OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE+AEAB=1.
(3)證明:由(2)知OEAD+OEBC=1,
∴2OEAD+2OEBC=2.
又EF=2OE,
∴EFAD+EFBC=2,
∴1AD+1BC=2EF.
13.(20xx吉林模擬)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是BD上任意一點,過P點的直線分別交AB,DC于E,F,交DA,BC的延長線于G,H.
(1)求證:PE·PG=PF·PH.
(2)當過P點的直線繞點P旋轉到F,H,C重合時,請判斷PE,PC,PG的關系,并給出證明.
(1) 證明:因為AB∥CD,所以PEPF=PBPD,
因為AD∥BC,所以PHPG=PBPD,
所以PEPF=PHPG,所以PE·PG=PF·PH.
(2)解:由題意可得到圖形,關系式為PC2=PE·PG.證明如下:
因為AB∥CD,所以PEPC=PBPD,
因為AD∥BC,所以PCPG=PBPD,
所以PEPC=PCPG,即PC2=PE·PG.
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