新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第4節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

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1、 1

2、 1 第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 考點(diǎn)一 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 　 [例1]　(1)(20xx·陜西高考)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 (2)(20xx·南昌模擬)若過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓x

3、2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________． [自主解答]　(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝<1，所以直線與圓相交． (2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋(y＋1)2＝16－k2， 所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)·(k＋3)>0， 解得k>2或k<－3， 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪. [答案]　(1)B　(2)∪ 【互動探究】 在本例(2)中的條件“總

4、可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”，結(jié)果如何？ 解：依題意知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部，所以有 解得－3≤k≤2.　　　　　 【方法規(guī)律】 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 (1)幾何法：①明確圓心C的坐標(biāo)(a，b)和半徑r，將直線方程化為一般式；②利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；③比較d與r的大小，寫出結(jié)論． (2)代數(shù)法：①直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量；②判斷二次方程根的個(gè)數(shù)(Δ與0的關(guān)系)；③得出結(jié)論． 2．圓與圓的位置關(guān)系 判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是： (1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長； (2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)

5、間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|； (3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論． 1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交但直線不過圓心 C．直線過圓心 D．相離 解析：選B　法一：由消去y，整理得x2＋x＝0， 因?yàn)棣ぃ?2－4×1×0＝1>0，所以直線與圓相交． 又圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，且0≠0＋1，所以直線不過圓心． 法二：圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑長為1，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝.因?yàn)?<<1，所以直線y＝x＋1與圓x

6、2＋y2＝1相交但直線不過圓心． 2．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：選D　圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圓心C1(－1，－1)，半徑長r1＝2； 圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C2(2,1)，半徑長r2＝1. ∴d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴兩圓外離， ∴兩圓有4條公切線． 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的弦長問題 　 [例2]　(1)(20xx·安徽高考)直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－

7、4y＝0截得的弦長為(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 (2)(20xx·江西高考)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于(　　) A. B．－ C．± D．－ [自主解答]　(1)因?yàn)閳A心(1,2)到直線x＋2y－5＋＝0的距離d＝＝1，且圓的半徑r＝.所以所得弦長＝2＝4. (2)由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直線l與x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，S△AOB＝×1×1×sin∠AOB≤，且當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，S

8、△AOB取得最大值，此時(shí)AB＝，點(diǎn)O到直線l的距離為，則∠OCB＝30°，所以直線l的傾斜角為150°，則斜率為－. [答案]　(1)C　(2)B 【方法規(guī)律】 計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法 (1)幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算． (2)代數(shù)方法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式 |AB|＝|xA－xB|＝. 1．直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________． 解析：法一：幾何法：圓心到直線的距離為d＝＝，圓的半徑r＝2，所以弦長l＝2×＝2＝2. 法二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程 消去y可得x

9、2－2x＝0，所以直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,2)，(0,0)，弦長為＝2. 答案：2 2．(20xx·濟(jì)南模擬)已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________． 解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)．因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3

10、＝0 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 圓的切線問題　　 1．與圓有關(guān)的切線問題，是近年來高考在本節(jié)命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中、低檔題目． 2．高考對圓的切線問題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程； (2)過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程； (3)與切線長有關(guān)的問題； (4)與切線夾角有關(guān)的問題． [例3]　(1)(20xx·江西高考)過直線x＋y－2＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． (2)(20xx·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO

11、y中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． ①若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； ②若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． [自主解答]　(1)如圖所示，|OP|＝＝2， 設(shè)P(x，y)，則?故P(，)． (2)①由題意知，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 依題意知，＝1，所以k＝0或－，因此，切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即切線方程為y－3＝0或3x＋4y－12＝0. ②因?yàn)閳A心在

12、直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以＝2， 化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1， 即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0，]. [答案]　(1)(，) 與圓的切線有關(guān)的問題的常見類型與解題策略 (1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程．首先考慮切線斜率不存在時(shí)，是

13、否符合要求，其次考慮斜率存在時(shí)，由直線與圓相切，求出斜率k，進(jìn)而得出切線方程． (2)過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程．方法同上． (3)與切線長有關(guān)的問題．解題時(shí)應(yīng)注意圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，從而得出一個(gè)直角三角形，然后求解． (4)與切線有關(guān)的夾角問題．與(3)相同，利用直角三角形解決問題． 1．(20xx·大慶模擬)已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 解析：選D　設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a

14、,0)(a>0)，又因?yàn)橹本€3x＋4y＋4＝0與圓C相切， 所以＝2，解得a＝2或－(舍)，因此圓的方程為(x－2)2＋y2＝22， 即x2＋y2－4x＝0. 2．(20xx·豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y＝(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－3)2＝2 D．(x－)2＋(y－)2＝9 解析：選A　設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)是(a>0)，則點(diǎn)(a>0)到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝，即a＝2時(shí)取等號，因此所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是3

15、，圓的方程為(x－2)2＋2＝9. ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種方法——解決直線與圓位置關(guān)系的兩種方法 　見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律]． 3個(gè)注意點(diǎn)——直線與圓相切、相交的三個(gè)注意點(diǎn) (1)涉及圓的切線時(shí)，要注意過切點(diǎn)的半徑與切線垂直； (2)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用，解題時(shí)要注意把它與點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用； (3)判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點(diǎn)求圓的切線時(shí)，應(yīng)有兩條．在解題中，若只求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點(diǎn)經(jīng)常忽視，應(yīng)注意檢驗(yàn)、防止出錯．