新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 學案7

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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案7　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 導學目標： 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算． 3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點.4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 自主梳理 1．指數(shù)冪的概念 (1)根式 如果一個數(shù)的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，則x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子叫做________，這里n叫做________，a叫做____________． (2)根式的性質(zhì) ①當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次

2、方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號________表示． ②當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n次方根用符號________表示，負的n次方根用符號________表示．正負兩個n次方根可以合寫成________(a>0)． ③()n＝____. ④當n為偶數(shù)時，＝|a|＝ ⑤當n為奇數(shù)時，＝____. ⑥負數(shù)沒有偶次方根． ⑦零的任何次方根都是零． 2．有理指數(shù)冪 (1)分數(shù)指數(shù)冪的表示 ①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪是 ＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)． ②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪是 ＝______

3、______＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)． ③0的正分數(shù)指數(shù)冪是______，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義． (2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) ①aras＝________(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00時，______；當x<0時，______ (5)當x

4、>0時，________；當x<0時，______ (6)在(－∞，＋∞) 上是______ (7)在(－∞，＋∞) 上是______ 自我檢測 1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是 (　　) ①當a<0時，＝a3； ②＝|a|； ③函數(shù)y＝－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)； ④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1. A．0 B．1 C．2 D．3 2．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有 (　　

5、) A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠1 3．如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 (　　) A．a(chǎn)1，b>0，且ab＋a－b＝2，則ab－a－b的值等于 (　　) A.

6、 B．2或－2 C．－2 D．2 5．(2011·六安模擬)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0 C．00 D．00)的結(jié)果是 (　　) A. B．a(chǎn)b C. D．a(chǎn)2

7、b 探究點二　指數(shù)函數(shù)的圖象及其應用 例2　已知函數(shù)y＝()|x＋1|. (1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)； (2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間； (3)由圖象指出當x取什么值時有最值，并求出最值． 變式遷移2　(2009·山東)函數(shù)y＝的圖象大致為 (　　) 探究點三　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用 例3　如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 變式遷移3　(2011·龍巖月考)已知函數(shù)f(x)＝(＋)x3. (1)求f(x)的定義域； (2)證明：f(－x)

8、＝f(x)； (3)證明：f(x)>0. 分類討論思想的應用 例　(12分)已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)． (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)討論f(x)的單調(diào)性； (3)當x∈[－1,1]時f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍． 【答題模板】 解　(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱． 又因為f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù)．[3分] (2)當a>1時，a2－1>0， y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)， 所以f(x)為增函數(shù)．[5分] 當0

9、0， y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)， 所以f(x)為增函數(shù)． 故當a>0，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．[7分] (3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)， ∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)， ∴f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝· ＝－1.[10分] ∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1， 故b的取值范圍是(－∞，－1]．[12分] 【突破思維障礙】 本例第(2)(3)問是難點，討論f(x)的單調(diào)性對參數(shù)a如何分類，分類的標準和依據(jù)是思維障礙之一． 【易錯點

10、剖析】 在(2)中，函數(shù)的單調(diào)性既與ax－a－x有關(guān)，還與的符號有關(guān)，若沒考慮的符號就會出錯，另外分類討論完，在表達單調(diào)性的結(jié)論時，要綜合討論分類的情況，如果沒有一個總結(jié)性的表達也要扣分，在表達時如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯誤的． 1．一般地，進行指數(shù)冪的運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于用運算性質(zhì)進行乘、除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的． 2．比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。? 3．指數(shù)函數(shù)在同一

11、直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0

12、1)的圖象的大致形狀是 (　　) 3．(2010·重慶)函數(shù)f(x)＝的圖象 (　　) A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱 C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱 4．定義運算ab＝則函數(shù)f(x)＝12x的圖象是(　　) 5．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，) 題號

13、 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2011·嘉興月考)函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是________． 7．(2010·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 8．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011·衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a，b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2

14、－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 10．(12分)(2010·北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定義域為[0,1]． (1)求a的值． (2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍． 11．(14分)(2011·東莞模擬)函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值范圍． 答案 自主梳理 1．(1)a的n次方根　根式　根指數(shù)　被開方數(shù)　(2)① ②?。　馈、踑　⑤a　2.(1)①?、凇　、?　(2)①ar＋s

15、?、赼rs?、踑rbr　3.(1)R　(2)(0，＋∞)　(3)(0,1)　(4)y>1　01　(6)增函數(shù)　(7)減函數(shù) 自我檢測 1．B　[只有④正確．①中a<0時，>0，a3<0，所以≠a3；②中，n為奇數(shù)時且a<0時，＝a；③中定義域為[2，)∪(，＋∞)．] 2．C　[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．] 3．D　[y軸左、右的圖象對應函數(shù)的底數(shù)按逆時針方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.] 4．D　[(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝4， ∵a>1，b>0，∴ab>1

16、,0

17、1＝，x2＝9，且a

18、y＝()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y＝()x的圖象，保留x≥0的部分，當x<0時，其圖象是將y＝()x(x≥0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y＝()|x|的圖象． ②將y＝()|x|向左移動1個單位，即可得y＝()|x＋1|的圖象，如圖所示． (2)由圖象知函數(shù)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，在[－1，＋∞)上是減函數(shù)． (3)由圖象知當x＝－1時，有最大值1，無最小值． 變式遷移2　A　[y＝＝1＋，當x>0時，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．]

19、 例3　解題導引　1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1與01時，t∈[a－1，a]， ∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，滿足 a>1； (2)當0

20、 所以定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)證明　f(x)＝(＋)x3可化為f(x)＝·x3， 則f(－x)＝(－x)3 ＝x3＝f(x)， 所以f(－x)＝f(x)． (3)證明　當x>0時，2x>1，x3>0， 所以(＋)x3>0. 因為f(－x)＝f(x)， 所以當x<0時，f(x)＝f(－x)>0. 綜上所述，f(x)>0. 課后練習區(qū) 1．B　[由y＝中≥0，所以y＝≥20＝1，即函數(shù)的值域為[1，＋∞)．] 2．D　[函數(shù)的定義域為{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝.當x>0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿足0

21、象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)遞增．] 3．D　[函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱， ∵f(－x)＝＝＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．] 4．A　[當x<0時，0<2x<1，此時f(x)＝2x； 當x≥0時，2x≥1，此時f(x)＝1. 所以f(x)＝12x＝] 5．D　[方程|ax－1|＝2a有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與函數(shù)y＝2a有兩個不同交點，作出函數(shù)y＝|ax－1|的圖象，從圖象觀察可知只有0<2a<1時，符合題意，即0

22、析　設(shè)g(x)＝ex＋ae－x，則f(x)＝xg(x)是偶函數(shù)． ∴g(x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)． ∴g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0， ∴a＝－1. 8. 解析　當a>1時，f(2)＝2， ∴a2－1＝2，a＝，經(jīng)驗證符合題意； 當0

23、……………………………………………(4分) (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．…………………………………………(6分) 又因f(x)是奇函數(shù)， 從而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k) ＝f(－2t2＋k)．……………………………………………………………………………(8分) 因為f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即對一切t∈R有3t2－2t－k>0. 從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.………………………………………………(12分) 10．解　方法一　(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝

24、log32.…………………………(4分) (2)此時g(x)＝λ·2x－4x， 設(shè)0≤x10恒成立，……………………………(8分) 即λ<恒成立．由于＝2，所以，實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(12分) 方法二　(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝log32. ……………………………………………………………………………………………(4分) (2)此時g(x)＝λ·2x－4x， 因為g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)

25、減函數(shù)， 所以有g(shù)′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝2xln 2(－2·2x＋λ)≤0成立，…………………………(8分) 所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.…………………………(12分) 11．解　由題意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立， 即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分) 又因為－＝－()2x－()x， 設(shè)t＝()x， ∵x≤1，∴t≥ 且函數(shù)f(t)＝－t2－t＝－(t＋)2＋(t≥) 在t＝時，取到最大值． ∴()x＝即x＝1時，－的最大值為－，………………………………………(12分) ∴a>－.…………………………………………………………………………………(14分)