新版一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第8章 第4節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr

3、?相離． (2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式Δ＝b2－4ac，Δ>0?相交，Δ＝0?相切，Δ<0?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置 關(guān)系　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r2－r1|

4、實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(　　) (2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交．(　　) (4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程．(　　) [解析]　依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有(4)正確． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)

5、圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

6、線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為__________． 　[圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長為2＝2＝.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝

7、4π.] 直線與圓的位置關(guān)系 　(1)(20xx·豫南九校聯(lián)考)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相離 D．不確定 (2)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 (1)A　(2)C　[(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<. 故直線l與圓相交． 法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2

8、＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交． (2)由圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. ∴圓心為C(2,1)，半徑r＝2， 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． 于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，則|AB|＝6.] [規(guī)律方法]　1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系； (2)注意靈活運用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡化

9、運算．如“切線與過切點的半徑垂直”等． 2．與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構(gòu)成直角三角形進行求解． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·山西忻州模擬)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：57962385】 A．2x＋y－5＝0　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 (2)(20xx·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝__________. (1)B　(2)4　[(1

10、)依題意知，點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點． ∴圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為. 因此切線的斜率k＝－2. 故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. (2)由圓x2＋y2＝12知圓心O(0,0)，半徑r＝2. ∴圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的 距離d＝＝3，|AB|＝2＝2. 過C作CE⊥BD于E. 如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2. ∵直線l的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，則∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°. ∴|CD|＝＝＝＝4.] 圓與圓的位置關(guān)系 　(20xx·山東高考)已知圓M：

11、x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[法一：由得兩交點為(0,0)，(－a，a)． ∵圓M截直線所得線段長度為2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0

12、)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. ∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2. 以下同法一．] [規(guī)律方法]　1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關(guān)系． 2．若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到． 3．若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦． [變式訓(xùn)練2]　若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是__________． 4　[由題意⊙O1與

13、⊙O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心， ∴O1A⊥OA. 又∵|OA|＝，|O1A|＝2， ∴|OO1|＝5. 又A，B關(guān)于OO1對稱， ∴AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍． 又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2. ∴AB＝4.] 直線與圓的綜合問題 　(20xx·江蘇高考改編)如圖8-4-1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． 圖8-4-1 (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于

14、B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程． [解]　圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圓心M(6,7)，半徑為5. 1分 (1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因為圓N與x軸相切，與圓M外切， 所以0

15、25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標準方程．(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點到直線的距離公式及勾股定理求解． 2．求弦長常用的方法：①弦長公式；②半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·天津南開中學(xué)模擬)在平面直角坐標系xOy中，圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切． (1)求圓C的方程； (2)若圓C上有兩點M，N關(guān)于直

16、線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2，求直線MN的方程． [解]　(1)將圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m. 1分 ∵圓C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0與直線x－y＋－2＝0相切， ∴圓心(－2,1)到直線x－y＋－2＝0的距離d＝＝2＝r， 4分 ∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝4. 5分 (2)若圓C上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，則可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋c＝0. 7分 ∵|MN|＝2，半徑r＝2， ∴圓心(－2,1)到直線MN的距離為＝1. 則＝1，∴c＝5±.10分 ∴直線MN的方程為2x－y＋5±＝

17、0. 12分 [變式訓(xùn)練3]　(文)在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：x－y＝4相切． (1)求圓O的方程； (2)若圓O上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2，求直線MN的方程． [解]　(1)依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y＝4的距離， 則r＝＝2. 所以圓O的方程為x2＋y2＝4. 5分 (2)由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋m＝0. 則圓心O到直線MN的距離d＝. 7分 由垂徑分弦定理，得＋()2＝22，即m＝±. 10分 所以直線MN的方程為2x－y＋＝0或2x－y－＝0. 12分 [思想與方法] 1．直線

18、與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用． 2．計算直線被圓截得的弦長的常用方法： (1)幾何方法：運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算． (2)代數(shù)方法：弦長公式|AB|＝|xA－xB|＝. [易錯與防范] 1．求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“－1”列方程來簡化運算． 2．過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．