9、>b>0)的離心率是，過(guò)點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)l平行于x軸時(shí)，直線(xiàn)l被橢圓E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得＝恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解 (1)由已知，點(diǎn)(，1)在橢圓E上，因此，解得a＝2，b＝.
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．
如果存在定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，則有＝＝1，即|QC|＝|QD|.
所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0)．
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交
10、于M，N兩點(diǎn)，
則M，N的坐標(biāo)分別為(0，)，(0，－)．
由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2.
所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0,2)．
下面證明：對(duì)任意直線(xiàn)l，均有＝.
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因此＋＝＝2k.
易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－x2，y2)．
又kQA＝＝
11、＝k－，
kOB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三點(diǎn)共線(xiàn)．
所以＝＝＝.
故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0,2)，使得＝恒成立．
8．已知拋物線(xiàn)C1：x2＝4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.
(1)求C2的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向．
①|(zhì)AC|＝|BD|，求直線(xiàn)l的斜率；
②設(shè)C1在點(diǎn)A處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M.證明：直線(xiàn)l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，△MFD總是鈍角三角形．
解 (1)由C1：x2＝4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)．因?yàn)镕也是橢圓C2的一
12、個(gè)焦點(diǎn)，所以a2－b2＝1.①
又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且C1的方程為x2＝4y，
由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以＋＝1.②
聯(lián)立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程為＋＝1.
(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
①因?yàn)榕c同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，從而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
設(shè)直線(xiàn)方程有兩種形式，第一種，y＝kx＋m，注意斜率不存在的情況；第二種，x＝ty＋n.注意與x軸平行的情
13、況．
設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是這個(gè)方程的兩根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是這個(gè)方程的兩根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
將④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直線(xiàn)l的斜率為±.
②證明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0得x＝，即M，所以＝.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠
14、AFM是銳角，從而∠MFD＝180°－∠AFM是鈍角．故直線(xiàn)l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，△MFD總是鈍角三角形．
9．已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|＝|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直線(xiàn)l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，
①證明直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解 (1)由題意知F，
設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點(diǎn)為.
因?yàn)閨FA|＝|FD
15、|，由拋物線(xiàn)的定義知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2.
所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2＝4x.
(2)①證明：由(1)知F(1,0)．
設(shè)A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，
因?yàn)閨FA|＝|FD|，則|xD－1|＝x0＋1.
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直線(xiàn)AB的斜率kAB＝－.
因?yàn)橹本€(xiàn)l1和直線(xiàn)AB平行，設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y＝－x＋b，
代入拋物線(xiàn)方程得y2＋y－＝0，
由題意Δ＝＋＝0，得b＝－.
設(shè)E(xE，yE)，則yE＝－，xE＝.
當(dāng)y≠4時(shí)，kAE＝＝－＝，
可得直線(xiàn)AE的方程為
16、y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，
直線(xiàn)AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0)．
當(dāng)y＝4時(shí)，直線(xiàn)AE的方程為x＝1，過(guò)點(diǎn)F(1,0)．
所以直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0)．
②由①知直線(xiàn)AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
設(shè)直線(xiàn)AE的方程為x＝my＋1，
因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線(xiàn)AE上，故m＝.
設(shè)B(x1，y1)，直線(xiàn)AB的方程為y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入拋物線(xiàn)方程得y2＋y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
17、
所以點(diǎn)B到直線(xiàn)AE的距離為
d＝
＝＝4.
則△ABE的面積S＝×4·≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)＝x0，即x0＝1時(shí)等號(hào)成立．
所以△ABE的面積的最小值為16.
10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線(xiàn)x＝－3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
①證明：OT平分線(xiàn)段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；
②當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
解 (1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)①證明：由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)
18、是(－2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，m)．則直線(xiàn)TF的斜率kTF＝＝－m.
當(dāng)m≠0時(shí)，直線(xiàn)PQ的斜率kPQ＝.直線(xiàn)PQ的方程是x＝my－2.
當(dāng)m＝0時(shí)，直線(xiàn)PQ的方程是x＝－2，也符合x(chóng)＝my－2的形式．
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線(xiàn)PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
所以直線(xiàn)OM的斜率kOM＝－，
又直線(xiàn)OT的斜率kOT＝－，所以點(diǎn)M在直線(xiàn)OT上，因此OT平分線(xiàn)段PQ
19、.
②由①可得，|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝
＝≥ ＝.
當(dāng)且僅當(dāng)m2＋1＝，即m＝±1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值．所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3,1)或(－3，－1)．
11．如圖，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)，動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限．
(1)已知直線(xiàn)l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線(xiàn)l1的距離的最大值為a－b.
解 (1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m(k<0)，由
消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.
由于l與
20、C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.
(2)證明：由于直線(xiàn)l1過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直，故直線(xiàn)l1的方程為x＋ky＝0，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l1的距離d＝，
整理得d＝ .
因?yàn)閍2k2＋≥2ab，所以
≤＝a－b，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝時(shí)等號(hào)成立．
所以，點(diǎn)P到直線(xiàn)l1的距離的最大值為a－b.
12．已知雙曲線(xiàn)E：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別為l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求雙曲線(xiàn)E的離心率；
(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l分別交直線(xiàn)l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且△O
21、AB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線(xiàn)l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E？若存在，求出雙曲線(xiàn)E的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
解 解法一：(1)因?yàn)殡p曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)分別為y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，
從而雙曲線(xiàn)E的離心率e＝＝.
(2)由(1)知，雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1.
設(shè)直線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)C.
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|＝a，|AB|＝4a，
又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此時(shí)雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1.
若存在滿(mǎn)足條件的雙曲線(xiàn)E，則E的方程只能為－＝
22、1.
以下證明：當(dāng)直線(xiàn)l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線(xiàn)E：－＝1也滿(mǎn)足條件．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，依題意，得k>2或k<－2，則C.記A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝，
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得，
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因?yàn)?－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，
又因?yàn)閙2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E，且E的方程
23、為－＝1.
解法二：(1)同解法一．
(2)由(1)知，雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1.
設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依題意得－
24、2＋4(1－4m2)－a2＝0，
即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E，且E的方程為－＝1.
解法三：(1)同解法一．
(2)當(dāng)直線(xiàn)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依題意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因?yàn)?－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，
又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化簡(jiǎn)得x1x2＝4.所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0，
因?yàn)?－k2<0，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1.
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由△OAB的面積等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2與雙曲線(xiàn)E：－＝1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E，且E的方程為－＝1.
新編數(shù)學(xué)理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：1052 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用 Word版含解析
