新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第4節(jié) 函數(shù)y=Asinωxφ的圖象及應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理

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2、 1 【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第4節(jié) 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 三角函數(shù)圖象及變換 1、2、11、13 求解析式 4、5、9 三角函數(shù)模型及應(yīng)用 6、8、12 綜合問(wèn)題 3、7、10、14、15、16 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 一、選擇題 1.(20xx高考四川卷)為了得

3、到函數(shù)y=sin(2x+1)的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點(diǎn)(　A　) (A)向左平行移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度 (B)向右平行移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度 (C)向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度 (D)向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度 解析:y=sin(2x+1)=sin[2（x+12）],所以只需把y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度,故選A. 2.函數(shù)f(x)的圖象由函數(shù)g(x)=4sinxcosx的圖象向左平移π3個(gè)單位得到,則f(π8)等于(　C　) (A)6+23 (B)6-23 (C)6-22 (D)6+22 解析:函數(shù)g(x)=4sinxcosx=2sin

4、2x的圖象向左平移π3個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin(2x+2π3)的圖象, 即f(x)=2sin(2x+2π3), 則f（π8）=2sin（2×π8+2π3） =2sin（π4+2π3） =2（sinπ4cos2π3+cosπ4sin2π3） =2[22×（-12）+22×32] =6-22. 3.(20xx德州月考)已知a是實(shí)數(shù),則函數(shù)f(x)=1+asin ax的圖象可能是(　B　) 解析:函數(shù)圖象均沿y軸,向上平移1個(gè)單位,三角函數(shù)的周期為T(mén)=2π|a|,觀察選項(xiàng),振幅大于1的有B,D,振幅小于1的有A,C,當(dāng)振幅大于1時(shí),∵|a|>1,∴T<2π,D不符合要求;對(duì)于B

5、,振幅大于1,周期小于2π,符合要求;對(duì)于A,應(yīng)該a<1,T>2π,但此圖周期看是恰為2π,不可能;對(duì)于C,-11,圖象不滿足此要求.故選B. 4.(20xx昆明一模)已知函數(shù)f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期為2,且f(16)=1,則函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移13個(gè)單位所得圖象的解析式為(　A　) (A)y=2sin(πx+π3) (B)y=12sin(πx-π3) (C)y=2sin(πx+13) (D)y=12sin(πx+13) 解析:由最小正周期為2,得2πω=2,則ω=π,又f(16)=1,所以Asinπ6=1,A=2

6、,所以f(x)=2sinπx,向左平移13個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin(πx+π3).故選A. 5.(20xx廣州一模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π2)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的解析式為(　A　) (A)y=sin(2x+π6) (B)y=sin(2x-π6) (C)y=cos（2x+π6） (D)y=cos（2x-π6） 解析:由圖象知f(x)max=A=1, 34T=1112π-π6=34π?T=π, ∴ω=2πT=2ππ=2, ∴f(x)=sin(2x+), f（π6）=sin（2·π6+） =sin（π3+） =1

7、, 因?yàn)?π2<<π2,所以-π6<π3+<5π6, 所以π3+=π2?=π6, 因此f(x)=sin（2x+π6）. 6.(20xx鄭州模擬)如表所示是某地近十年月平均氣溫(華氏) 月份 1 2 3 4 5 6 平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份減1為x,平均氣溫為y,以下四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)(　C　) (A)y=Acosπ6x (B)y=Acosπ6x-46

8、(C)y=-Acosπ6x+46 (D)y=Asinπ6x+26 解析:最高氣溫73.0,最低氣溫21.4,故2A=73.0-21.4=51.6,A=25.8, x=2時(shí),分別代入A,B,C,D,與y=36.0相比較,只有C最接近. 二、填空題 7.(20xx高考重慶卷)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+)（ω>0,-π2≤<π2）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin x的圖象,則f（π6）=　　　　.? 解析:把函數(shù)y=sin x的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin（x+π6）的圖象,再把函數(shù)y=sin（x+π6）圖象上每一點(diǎn)

9、的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)f(x)=sin（12x+π6）的圖象,所以f（π6）= sin（12×π6+π6）=sinπ4=22. 答案:22 8.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)來(lái)表示,已知6月份的平均氣溫最高,為28 ℃,12月份的平均氣溫最低,為18 ℃,則10月份的平均氣溫值為　　　　℃.? 解析:依題意知,a=28+182=23,A=28-182=5, ∴y=23+5cosπ6(x-6), 當(dāng)x=10時(shí),y=23+5cosπ6×4=20.5. 答案:20.5 9.

10、如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù),使得函數(shù)f(x)=cos2(ωx+)的部分圖象如圖所示,且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),那么ω的值為　　　　.? 解析:f(x)=cos2(ωx+) =1+cos(2ωx+2φ)2, 由圖象知T2<1<34T,43

11、x+π3）的圖象向右平移π6個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2x的圖象. ⑤函數(shù)y=sin（x-π2）在(0,π)上是減函數(shù). 其中真命題的序號(hào)是　　　　.? 解析:①化簡(jiǎn)得y=-cos2x,最小正周期為2π2=π,真命題. ②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπ+π2,k∈Z,},假命題. ③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象,只有一個(gè)公共點(diǎn),假命題. ④把函數(shù)y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin[2（x-π6）+π3]=3sin 2x的圖象,真命題. ⑤函數(shù)y=sin(x-π2)在(0,π)上是增函數(shù),假命題. 答案:①④ 三、

12、解答題 11.設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+sin(x+π3). (1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合; (2)不畫(huà)圖,說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到. 解:(1)因f(x)=sin x+sin(x+π3) =sin x+sin xcosπ3+cos xsinπ3 =sin x+12sin x+32cos x =32sin x+32cos x =3(32sin x+12cos x) =3sin(x+π6). 所以f(x)的最小值是-3,這時(shí)x+π6=2kπ-π2,k∈Z, 即x=2kπ-23π,k∈Z, 此時(shí),

13、x取值集合為{x|x=2kπ-23π,k∈Z}. (2)把函數(shù)y=sin x的圖象向左平移π6個(gè)單位得函數(shù)y=sin(x+π6)的圖象,再把所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),即得函數(shù)f(x)=3sin(x+π6)的圖象. 12.如圖所示,某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為S(3,23),賽道的后一部分為折線段MNP,求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離. 解:依題意,有A=23,T4=3,又T=2πω, 所以ω=π6, 所以

14、y=23sinπ6x,x∈[0,4], 所以當(dāng)x=4時(shí),y=23sin2π3=3, 所以M(4,3),又P(8,0), 所以MP=(8-4)2+(0-3)2=42+32=5(km), 即M,P兩點(diǎn)間的距離為5 km. 能力提升 13.(20xx上海市嘉定區(qū)一模)將函數(shù)y=sin 2x(x∈R)的圖象分別向左平移m(m>0)個(gè)單位,向右平移n(n>0)個(gè)單位,所得到的兩個(gè)圖象都與函數(shù)y=sin(2x+π6)的圖象重合,則m+n的最小值為(　C　) (A)2π3 (B)5π6 (C)π (D)4π3 解析:利用圖象變換的結(jié)論,函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)

15、單位,得函數(shù)y=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m)的圖象,向右平移n(n>0)個(gè)單位,得函數(shù)y=sin[2(x-n)]=sin(2x-2n)的圖象,它們都與函數(shù)y=sin(2x+π6)的圖象重合,則最小的m,n應(yīng)該為2m=π6,2π-2n=π6,從而m+n=π. 14. 已知函數(shù)y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,| |<π2)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,M,N分別是最大、最小值點(diǎn),且OM→·ON→=0,則ωA= 　　　　.? 解析:由圖象知T=4(π3-π12)=π,所以ω=2ππ=2. 又M(π12,A),N(7π12,-A), 由已知OM→·ON→=0,得(π

16、12,A)·(7π12,-A)=0,解得A=712π,所以ωA=76π. 答案:76π 15.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(x∈R,A>0,ω>0,0<<π2)的部分圖象如圖所示,P是圖象的最高點(diǎn),Q為圖象與x軸的交點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OQ=4,OP=5,PQ=13. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),求函數(shù)h(x)=f(x)·g(x)的值域. 解:(1)由條件,cos∠POQ=42+(5)2-(13)22×4×5=55,所以P(1,2). 所以A=2,周期T=4×(4-1

17、)=12,又2πω=12,則ω=π6. 將點(diǎn)P(1,2)代入f(x)=2sin（π6x+）,得sin（π6+）=1, 因?yàn)?<<π2,所以=π3,所以f(x)=2sin(π6x+π3). (2)由題意,可得g(x)=2sinπ6x. 所以h(x)=f(x)·g(x)=4sin（π6x+π3）·sinπ6x=2sin2π6x+23sinπ6x·cosπ6x =1-cosπ3x+3sinπ3x=1+2sin（π3x-π6）,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),π3x-π6∈[-π6,5π6],所以sin(π3x-π6)∈[-12,1], 所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0,3]. 探究創(chuàng)新 16.(20

18、xx上海市黃浦區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=3sin ωx+cos ωx+c(ω>0,x∈R,c是實(shí)數(shù)常數(shù))的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)是(π6,1),與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是(2π3,-3), (1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間; (2)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且AB→·BC→=-12ac,角A的取值范圍是區(qū)間M,當(dāng)x∈M時(shí),試求函數(shù)f(x)的取值范圍. 解:(1)∵f(x)=3sin ωx+cos ωx+c, ∴f(x)=2sin(ωx+π6)+c, ∵(π6,1)和(2π3,-3)分別是函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn), ∴T2=2π3-π6,ω=2

19、πT,2sin(π6·ω+π6)+c=1.解得T=π,c=-1,ω=2. ∴f(x)=2sin(2x+π6)-1. 由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z. (2)∵在△ABC中,AB→·BC→=-12ac, ∴accos(π-B)=-12ac,0