新版新課標高三數(shù)學一輪復習 第2篇 第10節(jié) 導數(shù)的概念與計算課時訓練 理

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2、 1 【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第2篇 第10節(jié) 導數(shù)的概念與計算課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 導數(shù)的概念與運算 1、4、9、10 導數(shù)的幾何意義 2、3、6、7、11、12 導數(shù)的綜合 5、8、13、14、15、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx合肥模擬)若f(x)=2xf′(1)+x2,則f′(0)等

3、于(　D　) (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4 解析:f′(x)=2f′(1)+2x, 則f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2, 所以f′(0)=2f′(1)+0=-4. 2.(20xx青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為(　C　) (A)2 (B)-14 (C)4 (D)-12 解析:因為曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1, 所以g′(1)=2. 又f′(x)=g′(x)+2x, 故曲線y=f(x)在

4、點(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=g′(1)+2=4. 3.(20xx長沙模擬)曲線y=13x3+x在點(1,43)處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為(　B　) (A)29 (B)19 (C)13 (D)23 解析:y′=x2+1,在點(1,43)處的切線斜率為 k=2, 所以切線方程為y-43=2(x-1), 即y=2x-23,與坐標軸的交點坐標為(0,-23),(13,0), 所以三角形的面積為12×13×-23=19. 4.函數(shù)f(x)=sin2(2x+π3)的導數(shù)是(　D　) (A)f′(x)=2sin(2x+π3) (B)f′(x)=4sin(2x+π3

5、) (C)f′(x)=sin(4x+2π3) (D)f′(x)=2sin(4x+2π3) 解析:由于f(x)=sin2(2x+π3) =1-cos(4x+2π3)2 =12-12cos(4x+2π3), ∴f′(x)=4×12sin(4x+2π3)=2sin(4x+2π3), 故選D. 5.設(shè)曲線y=1+cosxsinx在點(π2,1)處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實數(shù)a等于(　A　) (A)-1 (B)12 (C)-2 (D)2 解析:∵y′=-sin2x-(1+cosx)cosxsin2x =-1-cosxsin2x, ∴y′|x=π2=-1, 由條件知1a

6、=-1, ∴a=-1. 6.(20xx東營一模)設(shè)曲線y=sin x上任一點(x,y)處切線的斜率為g(x),則函數(shù)y=x2g(x)的部分圖象可以為(　C　) 解析:根據(jù)題意得g(x)=cos x, ∴y=x2g(x)=x2cos x為偶函數(shù). 又x=0時,y=0.故選C. 二、填空題 7.(20xx衡陽模擬)若曲線y=2x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則切線l的方程為　　　　.? 解析:設(shè)切點為(x0,y0),y′=4x, 則4x0=4?x0=1, 所以y0=2, 所以切線方程為y-2=4(x-1)?4x-y-2=0. 答案:4x-y-2=0 8

7、.若函數(shù)f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:f′(x)=x-a+1x. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線, ∴x+1x-a=0有解, ∴a=x+1x≥2. 答案:[2,+∞) 9.(20xx黃岡一模)已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)·(x-4)(x-5),則f′(0)=　　　　.? 解析:f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′, ∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 答案:-120

8、 10.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的導函數(shù),則1+sin2xcos2x-sin2x=　　　　.? 解析:f′(x)=cos x-sin x, 由f′(x)=2f(x)得-cos x=3sin x, 即tan x=-13. 1+sin2xcos2x-sin2x=2sin2x+cos2xcos2x-2sinxcosx =2tan2x+11-2tanx =29+11+23=1115. 答案:1115 11.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f(x)在點M(1,f(1))處的

9、切線方程為　 .? 解析:f′(x)=2f′(1)+1x, 令x=1得f′(1)=2f′(1)+1, 即f′(1)=-1, 此時f(x)=-2x+ln x, f(1)=-2, 故所求的切線方程為y+2=-(x-1), 即x+y+1=0. 答案:x+y+1=0 三、解答題 12.已知點M是曲線y=13x3-2x2+3x+1上任意一點,曲線在M處的切線為l,求:(1)斜率最小的切線方程; (2)切線l的傾斜角α的取值范圍. 解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, ∴當x=2時,y′=-1,y=53, ∴斜率最小的切線過

10、(2,53),斜率k=-1, ∴切線方程為x+y-113=0. (2)由(1)得k≥-1, ∴tan α≥-1,∴α∈[0,π2)∪[3π4,π). 能力提升 13.(20xx鄭州模擬)已知曲線方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若對任意實數(shù)m,直線l:x+y+m=0都不是曲線y=f(x)的切線,則a的取值范圍是(　B　) (A)(-∞,-1)∪(-1,0) (B)(-∞,-1)∪(0,+∞) (C)(-1,0)∪(0,+∞) (D)a∈R且a≠0,a≠-1 解析:f′(x)=2sin xcos x+2a=sin 2x+2a,直線l的斜率為-1, 由題意知關(guān)于x的方程

11、sin 2x+2a=-1無解, 所以|2a+1|>1, 解得a<-1或a>0. 14.曲線y=ln(2x)上任意一點P到直線y=2x的距離的最小值是　　　　.? 解析:如圖,所求最小值即曲線上斜率為2的切線與y=2x兩平行線間的距離, 也即切點到直線y=2x的距離. 由y=ln(2x), 則y′=1x=2, 得x=12,y=ln(2×12)=0, 即與直線y=2x平行的曲線y=ln(2x)的切線的切點坐標是(12,0),y=ln(2x)上任意一點P到直線y=2x的距離的最小值,即15=55. 答案:55 15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=1,f′(x)為f(

12、x)的導函數(shù),已知y=f′(x)的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)a、b滿足f(2a+b)<1,則b+1a+1的取值范圍是　　　　.? 解析:觀察圖象,可知f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),在[0,+∞)上是增函數(shù), 由f(2a+b)<1=f(4),可得2a+b<4,a>0,b>0,畫出以(a,b)為坐標的可行域(如圖陰影部分所示), 而b+1a+1可看成(a,b)與點P(-1,-1)連線的斜率,可求得(13,5)為所求. 答案:(13,5) 探究創(chuàng)新 16.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3. (1)求f(x)

13、的解析式; (2)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求出此定值. 解:(1)f′(x)=a-1(x+b)2, 于是2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0, 解得a=1,b=-1或a=94,b=-83. 因a,b∈Z,故f(x)=x+1x-1. (2)在曲線上任取一點(x0,x0+1x0-1). 由f′(x0)=1-1(x0-1)2知,過此點的切線方程為 y-x02-x0+1x0-1=[1-1(x0-1)2](x-x0). 令x=1得y=x0+1x0-1, 切線與直線x=1交點為(1,x0+1x0-1). 令y=x, 得y=2x0-1, 切線與直線y=x交點為(2x0-1,2x0-1). 直線x=1與直線y=x的交點為(1,1). 從而所圍成的三角形的面積為 12x0+1x0-1-1|2x0-1-1| =122x0-1|2x0-2| =2. 所以,所圍成的三角形的面積為定值2.