新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問題課時(shí)訓(xùn)練 理

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2、 1 【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問題課時(shí)訓(xùn)練 理 　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 圓錐曲線間的綜合問題 2、4、7、10 直線與圓錐曲線的綜合問題 1、6、9、12、13 圓與圓錐曲線的綜合問題 8、11、14、15、16、17 圓錐曲線與其他知識(shí)的綜合

3、 3、5 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx泉州質(zhì)檢)“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的(　B　) (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析:直線與雙曲線相切時(shí),只有一個(gè)公共點(diǎn),但直線與雙曲線相交時(shí),也可能有一個(gè)公共點(diǎn),例如:與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).故選B. 2.已知雙曲線x24-y2b2=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　A　) (A)5 (B)42 (C)3 (D)5 解析:拋物線y2=12x的焦點(diǎn)是(3,0),

4、 ∴c=3,b2=c2-a2=5. ∴雙曲線的漸近線方程為y=±52x, 焦點(diǎn)(3,0)到y(tǒng)=±52x的距離d=5. 故選A. 3.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn),若3DF1→=DA→+2DF2→,則該橢圓的離心率為(　D　) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 解析:設(shè)D(0,b),則DF1→=(-c,-b), DA→=(-a,-b),DF2→=(c,-b), 由3DF1→=DA→+2DF2→ 得-3c=-a+2c, 即a=5c, ∴e=ca=15. 4.(20xx海口調(diào)研)拋物線y

5、2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線x29-y23=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于(　A　) (A)33 (B)23 (C)2 (D)3 解析:y2=-12x的準(zhǔn)線方程為x=3, 雙曲線x29-y23=1的漸近線為y=±33x. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A、B, 由x=3,y=33x, 求得A(3,3),同理B(3,-3), 所以|AB|=23, 而O到直線AB的距離d=3, 故所求三角形的面積S=12|AB|×d=12×23×3=33. 5.(20xx河南省中原名校模擬)設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),離心率e=2,右焦點(diǎn)F(c,0)

6、,方程ax2-bx-c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則點(diǎn)P(x1,x2)與圓x2+y2=8的位置關(guān)系(　C　) (A)在圓內(nèi) (B)在圓上 (C)在圓外 (D)不確定 解析:由e=2得a=b,故c=2a, 所以方程ax2-bx-c=0化為ax2-ax-2a=0, 即x2-x-2=0, 故x1+x2=1,x1·x2=-2. x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=12-2×(-2)=1+22, 顯然(1+22)2=9+42>8, 所以點(diǎn)P(x1,x2)在圓外. 6.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ab的

7、值為(　A　) (A)32 (B)233 (C)932 (D)2327 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 中點(diǎn)為M(x0,y0), 將y=1-x代入ax2+by2=1, 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b, ∴y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b, ∴kOM=y0x0=ab=32. 二、填空題 7.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　.? 解析:對(duì)于橢圓C1,a=13,c=5,曲

8、線C2為雙曲線,c=5,a=4,b=3,則標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-y29=1. 答案:x216-y29=1 8.(20xx哈師大附中模擬)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),以原點(diǎn)為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A,若此圓在A點(diǎn)處切線的斜率為33,則雙曲線C的離心率為　　　　.? 解析:如圖,由題知∠ABO=30°, 所以∠AOB=60°,OA=c, 設(shè)A(x0,y0), 則x0=-c·cos 60°=-c2, y0=csin 60°=32c, 由雙曲線定義知 2a=(-c2-c)?2+(32c)?2-(-c2+c)?2+(

9、32c)?2 =(3-1)c, ∴e=ca=3+1. 答案:3+1 9.(20xx太原五中模擬)直線l過橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F,且與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn),O為原點(diǎn).若△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形,則直線l的方程為　　　　.? 解析:法一　由橢圓方程得a=2,b=c=1,則F(-1,0). 在△FMO中 ,|MF|=|MO|, 所以M在線段OF的中垂線上, 即xM=-12, 設(shè)直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x+1), 由y=k(x+1),x22+y2=1?得x2+2k2(x+1)2-2=0, 即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)

10、=0, ∴xP+xQ=-4k22k2+1, 而M為PQ的中點(diǎn), 故xM=12(xP+xQ)=-2k22k2+1=-12, ∴k2=12, 解得k=±22. 故直線l的方程為y=±22(x+1), 即x±2y+1=0. 法二　設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0), 由題意知kPQ=-kOM, 由P、Q在橢圓上知x122+y12=1,x222+y22=1, 兩式相減整理得kPQ=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0, 而kOM=y0x0,故x02y0=y0x0, 即x02=2y02, 所以kPQ=±22, 直線PQ的方程為

11、y=±22(x+1), 即x±2y+1=0. 答案:x±2y+1=0 10.(20xx高考山東卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 解析:拋物線x2=2py的準(zhǔn)線方程為y=-p2,與雙曲線的方程聯(lián)立得x2=a2(1+p24b2), 根據(jù)已知得a2(1+p24b2)=c2,① 由|FA|=c,得p24+a2=c2,② 由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求雙曲線的漸近線方程是y=±x. 答案:y=±x 三

12、、解答題 11.如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為83,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上. (1)求拋物線E的方程; (2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn). (1)解:依題意,|OB|=83,∠BOy=30°. 設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin 30°=43, y=|OB|cos 30°=12. 因?yàn)辄c(diǎn)B(43,12)在x2=2py上, 所以(43)2=2p×12,解得p=2. 故拋物線E的方程為x2=4y. (2)證明:由(1)知y=14x2,y′=12x. 設(shè)P(x0,y0),則x0

13、≠0,y0=14x02,且l的方程為 y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02. 由y=12x0x-14x02,y=-1,得x=x02-42x0,y=-1. 所以Q為x02-42x0,-1. 設(shè)M(0,y1),令MP→·MQ→=0對(duì)滿足y0=14x02(x0≠0)的x0,y0恒成立. 由于MP→=(x0,y0-y1),MQ→=x02-42x0,-1-y1, 由MP→·MQ→=0, 得x02-42-y0-y0y1+y1+y12=0, 即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 由于(*)式對(duì)滿足y0=14x02(x0≠0)的y0恒成立, 所以1-

14、y1=0,y12+y1-2=0, 解得y1=1. 故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1). 12.(20xx長(zhǎng)葛三模)已知圓C1的圓心的坐標(biāo)原點(diǎn)O,且恰好與直線l1:x-2y+35=0相切,點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),AM⊥x軸于點(diǎn)M,且動(dòng)點(diǎn)N滿足ON→=33OA→+(1-33)OM→,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)直線l與直線l1垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn),求△OBD面積的最大值. 解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y),A(x0,y0), 因?yàn)锳M⊥x軸于M, 所以M(x0,0), 設(shè)圓C1的方程為x2+y2=r2, 由題意得r=|35|1+4=3,

15、所以圓C1的方程為x2+y2=9. 由題意,ON→=33OA→+(1-33)OM→, 所以(x,y)=33(x0,y0)+(1-33)(x0,0), 所以x=x0,y=33y0, 即x0=x,y0=3y. 將A(x,3y)代入x2+y2=9, 得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為x29+y23=1. (2)由題意可設(shè)直線l:2x+y+m=0, 設(shè)直線l與橢圓x29+y23=1交于B(x1,y1),D(x2,y2), 聯(lián)立方程y=-2x-m,x2+3y2=9 得13x2+12mx+3m2-9=0, Δ=144m2-13×4(3m2-9)>0, 解得m2<39. 又∵點(diǎn)O到直線l的距離d

16、=|m|5, BD=5·|x1-x2|=5·2117-3m213, ∴S△OBD=12·|m|5·5·2117-3m213 =m2(117-3m2)13 =3m2(39-m2)13≤332 (當(dāng)且僅當(dāng)m2=39-m2,即m2=392時(shí)取到最大值). ∴△OBD面積的最大值為332. 能力提升 13.(20xx高考遼寧卷)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為(　D　) (A)12 (B)23 (C)34 (D)43 解析:∵A(-2,3)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上, ∴-p2=-2,

17、 ∴p=4, ∴y2=8x, 設(shè)直線AB的方程為x=k(y-3)-2,① 將①與y2=8x聯(lián)立, 即x=k(y-3)-2,y2=8x, 得y2-8ky+24k+16=0,② 則Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0, 即2k2-3k-2=0, 解得k=2或k=-12(舍去), 將k=2代入①②解得x=8,y=8 即B(8,8), 又F(2,0), ∴kBF=8-08-2=43. 故選D. 14.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P,若T為線段FP的中點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為

18、　　　　.? 解析:如圖所示,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′,連接OT、PF′. ∵FT為圓的切線, ∴FT⊥OT,且|OT|=a, 又∵T、O分別為FP、FF′的中點(diǎn), ∴OT∥PF′且|OT|=12|PF′|, ∴|PF′|=2a, 且PF′⊥PF. 又|PF|-|PF′|=2a, ∴|PF|=4a. 在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2, 即16a2+4a2=4c2,∴c2a2=5. ∴b2a2=c2a2-1=4,∴ba=2, 即漸近線方程為y=±2x, 即2x±y=0. 答案:2x±y=0 15.(20xx保定二模)設(shè)橢圓E:x2a

19、2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e=22,且過點(diǎn)(-1,-62). (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A,若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M、N(M、N與A均不重合),若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A,試判定直線l是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解:(1)由e2=c2a2=a2-b2a2=12, 可得a2=2b2, 則橢圓E的方程為x22b2+y2b2=1(a>b>0), 代入點(diǎn)(-1,-62)可得b2=2,a2=4, 故橢圓E的方程為x24+y22=1. (2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得 (m2+2)y2+

20、2mty+t2-4=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-4m2+2, x1+x2=m(y1+y2)+2t=4tm2+2, x1x2=(my1+t)(my2+t) =m2y1y2+tm(y1+y2)+t2 =2t2-4m2m2+2. 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A, 所以AM⊥AN, 所以AM→·AN→=(x1+2,y1)·(x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2 =2t2-4m2m2+2+2×4tm2+2+4+t2-4m2+2 =3t2+8t+4m2+2 =(t+2)(3t+2)m2+2 =0

21、. 因?yàn)镸、N與A均不重合, 所以t≠-2, 所以t=-23,直線l的方程是x=my-23, 直線l過定點(diǎn)T(-23,0), 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部,故滿足直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn), 所以直線l過定點(diǎn)T(-23,0). 探究創(chuàng)新 16.(20xx邯鄲二模)如圖所示點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是　　　　.? 解析:由拋物線方程知準(zhǔn)線l:x=-2,焦點(diǎn)F(2,0),圓的圓心C(2,0),半徑r=4. 作出拋物線的準(zhǔn)線l,過B作BM⊥l于M, 由拋物線

22、的定義得|AF|=|AM|, ∴△FAB的周長(zhǎng)為|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|. 又∵B在圓弧上移動(dòng),且A、B、F三點(diǎn)不重合不共線, ∴20,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為　　　　.? 解析:如圖,由題知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又OA=a,OF=c, ∴ac=OAOF=cos 60°=12, ∴ca=2. 答案:2