山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題6 二次函數(shù)

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 專題六:二次函數(shù) 【近3年臨沂市中考試題】 1. (2014?臨沂,14,3分).在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)≥的圖象為,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象為,則直線(a為常數(shù))與,的交點(diǎn)共有 (A)1個(gè). (B)1個(gè),或2個(gè). (C)1個(gè),或2個(gè),或3個(gè). (D)1個(gè),或2個(gè),或3個(gè),或4個(gè). A B C D O 2.(2014?臨沂,26,13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸 交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0),直線 與y軸交于點(diǎn)

2、C,與拋物線交于點(diǎn)C,D. (1)求拋物線的解析式; (2)求點(diǎn)A到直線CD的距離; (3)平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)P在直線 CD上,拋物線與直線CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,點(diǎn) G在y軸正半軸上,當(dāng)以G,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的 三角形為等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的 G點(diǎn)的坐標(biāo). 3.(2016?臨沂,13,3分) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … 4 0 -2 -2 0 4 … 下列說法正確的是 (第26題圖) O x y A C B

3、 (A)拋物線的開口向下 (B) 當(dāng)x>—3時(shí),y隨x的增大而增大. (C) 二次函數(shù)的最小值是—2 (D) 拋物線的對(duì)稱軸是x=—. 4.(2015?臨沂,26,13分) 在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),直線y =-2x-1與y軸交于點(diǎn)A,與直線y =-x交于點(diǎn)B, 點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C. (1)求過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式; (2)P為拋物線上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q. ①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo); ②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(-1<t<1),當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PBQC面積最大,并說明理由.

4、 【知識(shí)點(diǎn)】 二次函數(shù)定義;二次函數(shù)圖像及性質(zhì);二次函數(shù)解析式的確定。 【規(guī)律方法】 1.求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),分別設(shè)x=0,或y=0即可。 2.二次函數(shù)的平移以及配方法求二次函數(shù)解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)以及交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式。拋物線平移規(guī)律:上加下減,左加右減。 3.由拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置確定a、b、c的符號(hào)規(guī)律:拋物線開口方向決定了a的符號(hào),當(dāng)開口向上時(shí),a>0;當(dāng)開口向下時(shí),a<0; b的符合的確定看直線x=的位置,與a的符號(hào)左同右異;c看圖像與y軸的交點(diǎn)。 4.解答二次函數(shù)增減性問題,一般需要考慮將二次函數(shù)的解析式配方,得到其對(duì)稱軸,再結(jié)合其圖象與所求問題,作出回答.

5、 5.確定構(gòu)成等腰三角形點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),分別以各邊為底邊找出各種情況,然后把重復(fù)的、不符合的去掉即可。 【中考集錦】 一、選擇題 1、(2014?濟(jì)寧) “如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m

6、4?東營(yíng))若函數(shù)y=mx2+(m+2)x+m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么m的值為( ?。?   A. 0 B. 0或2 C. 2或﹣2 D. 0,2或﹣2 3、(2016?煙臺(tái))11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論: ①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0. 其中正確的有( ?。? A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(2016?棗莊)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下四個(gè)結(jié)論:①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b2<0;其中正確的結(jié)論有(  ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)

7、D.4個(gè) 5、(2014?威海)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列說法: ①c=0;②該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣1;③當(dāng)x=1時(shí),y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1). 其中正確的個(gè)數(shù)是( )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.(2016?日照)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,其對(duì)稱軸為x=1,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2其中結(jié)論正確的是( ?。? A.①② B.②③ C.②④ D.①③④ 7.(2014?濟(jì)寧) “如果二

8、次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m

9、段拋物線:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…如此進(jìn)行下去,直至得到C6,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m= ?。? 3(2016青島).已知二次函數(shù)y=3x2+c與正比例函數(shù)y=4x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則c的值為     ?。? 三、解答題 1.(2014?濟(jì)寧)(11分)如圖,拋物線與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸,交直線于點(diǎn)C; (1) 求該拋物線的解析式; (2) 求點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),判定

10、點(diǎn)是否在拋物線上,并說明理由; (第22 題) (3) 點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線,交線段于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 2.(2014?威海)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn). (1)求這條拋物線的解析式; (2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)若將直線BC平移,使其經(jīng)過點(diǎn)A,且與拋物線相交于點(diǎn)D,連接BD,試求

11、出∠BDA的度數(shù). 3.(2014?日照)已知拋物線經(jīng)過A(2,0). 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B. (1)求b的值,求出點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)如圖,在直線 y=x上是否存在點(diǎn)D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△AMP≌△AMB?如果存在,試舉例驗(yàn)證你的猜想;如果不存在,試說明理由. 4(2016威海)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4),與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC,連接AC

12、,CD. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)E是拋物線上的點(diǎn),求滿足∠ECD=∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo); (3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線BC上,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),若以點(diǎn)C,M,N,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求菱形的邊長(zhǎng). 【特別提醒】 1對(duì)二次函數(shù)概念理解有誤,漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一限制條件; 2對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)存在思維誤區(qū); 3忽略二次函數(shù)自變量取值范圍; 4平移拋物線時(shí),弄反方向。 5.二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù),可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì),還可建立起函數(shù)、方程

13、、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系;作為拋物線,可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系,使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題. 答案 【近3年臨沂市中考試題】 1. C. A B C D O F E M 2. (1)(本小問3分) 解:在中,令,得 . ∴C(0,-1) (1分) ∵拋物線與x軸交于A(-1,0), B(1,0), 圖1 ∴C為拋物線的頂點(diǎn). 設(shè)拋物線的解析式為,將A(-1,0)代入,得 0=a-1. ∴a=1. ∴拋物線的解析式為. (3分) (2)(本小問5分) 方法一: 設(shè)直線與x軸交于E

14、, 則,0). (1分) ∴, . (2分) 連接AC,過A作AF⊥CD,垂足為F, S△CAE , (4分) 即, ∴. (5分) 方法二:由方法一知, ∠AFE=90°,,. (2分) 在△COE與△AFE中,∠COE=∠AFE=90°,∠CEO=∠AEF,∴△COE∽△AFE . ∴, (4分) 即. ∴. (5分) (3)(本小問5分) 由,得,. ∴D(2,3). (1分) 如圖1,過D作y軸的垂線,垂足為M, 由勾股定理,得 . (2分) 在拋物線的平移過程中,PQ=CD. (i)當(dāng)PQ為斜邊時(shí),設(shè)PQ中點(diǎn)為N,G(0,b), 則GN

15、=. ∵∠GNC=∠EOC=90°,∠GCN=∠ECO, Q ∴△GNC ∽△EOC. G ∴, N ∴, E ∴b=4. O 圖2 P ∴G(0,4) . (3分) (ii)當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí), 設(shè)G(0,b), C 則, 同(i)可得b=9, 則G(0,9) . (4分) (iii)當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí), 同(ii)可得G(0,9) . 綜上所述,符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè),分別是(0,4),(0,9). (5分) 3. C. 4.解:(1)解方程組得 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1). 1分 ∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-1)

16、. 2分 又∵點(diǎn)A是直線y=-2x-1與y軸的交點(diǎn), ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1). 3分 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, ∴解得 ∴拋物線的解析式為y=x2-x-1. 5分 (2)①如圖1,∵點(diǎn)P在拋物線上, ∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1). 當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí),O為菱形的中心, ∴PQ⊥BC,即點(diǎn)P,Q在直線y = x上, ∴m = m2-m-1, 7分 解得m = 1±. 8分 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+,1+)或(1-,1-). 9分 O x y P A C B Q F D E O x y P A C

17、 B Q 圖1 圖2 ②方法一: 如圖2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2 - t - 1). 過點(diǎn)P作PD∥y軸,交直線y = - x于點(diǎn)D,則D(t,- t). 分別過點(diǎn)B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn). ∴PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1,BE + CF = 2, 10分 ∴S△PBC=PD·BE +PD·CF =PD·(BE + CF) =(- t2 + 1)×2 =- t2 + 1.

18、12分 ∴=-2t2+2. ∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2. 13分 方法二: 如圖3,過點(diǎn)B作y軸的平行線,過點(diǎn)C作x軸的平行線,兩直線交于點(diǎn)D,連接PD. ∴S△PBC=S△BDC-S△PBD-S△PDC =×2×2-×2(t+1)-×2(t2-t-1+1) =-t2+1. 12分 ∴=-2t2+2. ∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2. 13分 O x y P A C B Q E F O x y P A C B Q D 圖3

19、 圖4 方法三:如圖4,過點(diǎn)P作PE⊥BC,垂足為E,作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F. ∴PE=EF. ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-t-1), ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-t2+t+1,t2-t-1). ∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1. ∴PE=(-t2+1). 11分 ∴S△PBC=BC·PE=××(-t2+1) =-t2+1. 12分 ∴=-2t2+2. ∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2. 【中考集錦答案】 一、 選擇題 1、A 2、D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A   二、填空題 1、2米. 2、m= ﹣1

20、  3、 三、解答題 1. 解:(1)∵與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn), (第22題) ∴, 解得 ∴拋物線的解析式為.························································3分 8. 過點(diǎn)作⊥x軸于E,AA/與OC交于點(diǎn)D, ∵點(diǎn)C在直線y=2x上, ∴C(5,10) ∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對(duì)稱, ∴OC⊥,=AD. ∵OA=5,AC=10, ∴. ∵, ∴.∴.·············5分 在和Rt中, ∵∠+∠=90°,∠ACD+∠=90°, ∴∠=∠ACD.

21、 又∵∠=∠OAC=90°, ∴∽. ∴即. ∴=4,AE=8. ∴OE=AE-OA=3. ∴點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(﹣3,4).·······························7分 當(dāng)x=﹣3時(shí),. 所以,點(diǎn)A/在該拋物線上.································8分 (3) 存在. 理由:設(shè)直線的解析式為y=kx+b, 則,解得 ∴直線的解析式為.··················9分 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)M為. ∵PM∥AC, ∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方, ∴ . 解得(不合

22、題意,舍去)當(dāng)x=2時(shí),. ∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí),四邊形PACM是平行四邊形.····················11分 2. 解:(1)∵該拋物線過點(diǎn)C(0,2), ∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2. 將A(﹣1,0),B(4,0)代入, 得 , 解得 , ∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+2. (2)存在. 由圖象可知,以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形. 在Rt△BOC中,OC=2,OB=4, ∴BC==. 在Rt△BOC中,設(shè)BC邊上的高為h,則×h=×2×4, ∴h=. ∵△BEA∽△COB,設(shè)E

23、點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), ∴=,∴y=±2 將y=2代入拋物線y=﹣x2+x+2,得x1=0,x2=3. 當(dāng)y=﹣2時(shí),不合題意舍去. ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(3,2). (3)如圖2,連結(jié)AC,作DE⊥x軸于點(diǎn)E,作BF⊥AD于點(diǎn)F, ∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°. 設(shè)BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得 , ∴, yBC=﹣x+2. 由BC∥AD,設(shè)AD的解析式為y=﹣x+n,由圖象,得 0=﹣×(﹣1)+n ∴n=﹣, yAD=﹣x﹣. ∴﹣x2+x+2=﹣x﹣, 解得:x1=﹣1,x2=5 ∴D(﹣1,0)與A重合,舍去,D(5,﹣3

24、). ∵DE⊥x軸, ∴DE=3,OE=5. 由勾股定理,得BD=. ∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2), ∴OA=1,OB=4,OC=2. ∴AB=5 在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得 AC=,BC=2, ∴AC2=5,BC2=20,AB2=25, ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ACB是直角三角形, ∴∠ACB=90°. ∵BC∥AD, ∴∠CAF+∠ACB=180°, ∴∠CAF=90°. ∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°, ∴四邊形ACBF是矩形, ∴AC=BF=, 在Rt△BFD中,由勾股定理,得DF=, ∴DF=

25、BF, ∴∠ADB=45°. 3.解:(1)由于拋物線經(jīng)過A(2,0), 所以, 解得.…………………………1分 所以拋物線的解析式為. (*) 將(*)配方,得, 所以頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-2)…………………………2分 令y=0,得, 解得. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0). ………………3分 (2)在直線 y=x上存在點(diǎn)D,使四邊形OPBD為平行四邊形. ……4分 理由如下: 設(shè)直線PB的解析式為+b,把B(6,0),P(4,-2)分別代入,得 解得 所以直線PB的解析式為.…………………………5分 又直線OD的解析式為

26、 所以直線PB∥OD. …………………………6分 設(shè)設(shè)直線OP的解析式為,把P(4,-2)代入,得 解得.如果OP∥BD,那么四邊形OPBD為平行四邊形.…………7分 A P B x y O 第24題答案圖 C M D 設(shè)直線BD的解析式為,將B(6,0)代入,得0=,所以 所以直線BD的解析式為, 解方程組得 所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)…………………8分 (3)符合條件的點(diǎn)M存在.驗(yàn)證如下: 過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為為C,則PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等邊三角形,只要

27、作∠PAB的平分線交拋物線于M點(diǎn),連接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此即存在這樣的點(diǎn)M,使△AMP≌△AMB.…………………………11分 4、解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4), ∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4), ∴﹣8a=4, ∴a=﹣, ∴拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4; (2)如圖1, ①點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上,記E′, 連接CE′,過E′作E′F′⊥CD,垂足為F′, 由(1)知,OC=4, ∵∠A

28、CO=∠E′CF′, ∴tan∠ACO=tan∠E′CF′, ∴=, 設(shè)線段E′F′=h,則CF′=2h, ∴點(diǎn)E′(2h,h+4) ∵點(diǎn)E′在拋物線上, ∴﹣(2h)2+2h+4=h+4, ∴h=0(舍)h= ∴E′(1,), ②點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上,記E, 同①的方法得,E(3,), 點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,),(3,) (3)①CM為菱形的邊,如圖2, 在第一象限內(nèi)取點(diǎn)P′,過點(diǎn) P′作P′N′∥y軸,交BC于N′,過點(diǎn)P′作P′M′∥BC, 交y軸于M′, ∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形, ∵四邊形CM′P′N′是菱形, ∴P′M′=P′N

29、′, 過點(diǎn)P′作P′Q′⊥y軸,垂足為Q′, ∵OC=OB,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°, ∴∠P′M′C=45°, 設(shè)點(diǎn)P′(m,﹣ m2+m+4), 在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m, ∵B(4,0),C(0,4), ∴直線BC的解析式為y=﹣x+4, ∵P′N′∥y軸, ∴N′(m,﹣m+4), ∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m, ∴m=﹣m2+2m, ∴m=0(舍)或m=4﹣2, 菱形CM′P′N′的邊長(zhǎng)為(4﹣2)=4﹣4. ②CM為菱形的對(duì)角線,如圖3, 在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM∥BC, 交y軸于點(diǎn)M,連接CP,過點(diǎn)M作MN∥CP,交BC于N, ∴四邊形CPMN是平行四邊形,連接PN交CM于點(diǎn)Q, ∵四邊形CPMN是菱形, ∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ, ∵∠OCB=45°, ∴∠NCQ=45°, ∴∠PCQ=45°, ∴∠CPQ=∠PCQ=45°, ∴PQ=CQ, 設(shè)點(diǎn)P(n,﹣ n2+n+4), ∴CQ=n,OQ=n+2, ∴n+4=﹣n2+n+4, ∴n=0(舍), ∴此種情況不存在. ∴菱形的邊長(zhǎng)為4﹣4.

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