山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題6 二次函數(shù)
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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 專題六:二次函數(shù) 【近3年臨沂市中考試題】 1. (2014?臨沂,14,3分).在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)≥的圖象為,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象為,則直線(a為常數(shù))與,的交點(diǎn)共有 (A)1個(gè). (B)1個(gè),或2個(gè). (C)1個(gè),或2個(gè),或3個(gè). (D)1個(gè),或2個(gè),或3個(gè),或4個(gè). A B C D O 2.(2014?臨沂,26,13分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸 交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0),直線 與y軸交于點(diǎn)
2、C,與拋物線交于點(diǎn)C,D. (1)求拋物線的解析式; (2)求點(diǎn)A到直線CD的距離; (3)平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)P在直線 CD上,拋物線與直線CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,點(diǎn) G在y軸正半軸上,當(dāng)以G,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的 三角形為等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的 G點(diǎn)的坐標(biāo). 3.(2016?臨沂,13,3分) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … 4 0 -2 -2 0 4 … 下列說法正確的是 (第26題圖) O x y A C B
3、 (A)拋物線的開口向下 (B) 當(dāng)x>—3時(shí),y隨x的增大而增大. (C) 二次函數(shù)的最小值是—2 (D) 拋物線的對(duì)稱軸是x=—. 4.(2015?臨沂,26,13分) 在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),直線y =-2x-1與y軸交于點(diǎn)A,與直線y =-x交于點(diǎn)B, 點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C. (1)求過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式; (2)P為拋物線上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q. ①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo); ②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(-1<t<1),當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PBQC面積最大,并說明理由.
4、 【知識(shí)點(diǎn)】 二次函數(shù)定義;二次函數(shù)圖像及性質(zhì);二次函數(shù)解析式的確定。 【規(guī)律方法】 1.求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),分別設(shè)x=0,或y=0即可。 2.二次函數(shù)的平移以及配方法求二次函數(shù)解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)以及交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式。拋物線平移規(guī)律:上加下減,左加右減。 3.由拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置確定a、b、c的符號(hào)規(guī)律:拋物線開口方向決定了a的符號(hào),當(dāng)開口向上時(shí),a>0;當(dāng)開口向下時(shí),a<0; b的符合的確定看直線x=的位置,與a的符號(hào)左同右異;c看圖像與y軸的交點(diǎn)。 4.解答二次函數(shù)增減性問題,一般需要考慮將二次函數(shù)的解析式配方,得到其對(duì)稱軸,再結(jié)合其圖象與所求問題,作出回答.
5、
5.確定構(gòu)成等腰三角形點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí),分別以各邊為底邊找出各種情況,然后把重復(fù)的、不符合的去掉即可。
【中考集錦】
一、選擇題
1、(2014?濟(jì)寧) “如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m 6、4?東營(yíng))若函數(shù)y=mx2+(m+2)x+m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么m的值為( ?。?
A. 0 B. 0或2 C. 2或﹣2 D. 0,2或﹣2
3、(2016?煙臺(tái))11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.
其中正確的有( ?。?
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
4.(2016?棗莊)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下四個(gè)結(jié)論:①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b2<0;其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) 7、D.4個(gè)
5、(2014?威海)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列說法:
①c=0;②該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣1;③當(dāng)x=1時(shí),y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
6.(2016?日照)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,其對(duì)稱軸為x=1,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2其中結(jié)論正確的是( ?。?
A.①② B.②③ C.②④ D.①③④
7.(2014?濟(jì)寧) “如果二 8、次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m 9、段拋物線:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…如此進(jìn)行下去,直至得到C6,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線C6上,則m= ?。?
3(2016青島).已知二次函數(shù)y=3x2+c與正比例函數(shù)y=4x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則c的值為 ?。?
三、解答題
1.(2014?濟(jì)寧)(11分)如圖,拋物線與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸,交直線于點(diǎn)C;
(1) 求該拋物線的解析式;
(2) 求點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),判定 10、點(diǎn)是否在拋物線上,并說明理由;
(第22 題)
(3) 點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線,交線段于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
2.(2014?威海)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若將直線BC平移,使其經(jīng)過點(diǎn)A,且與拋物線相交于點(diǎn)D,連接BD,試求 11、出∠BDA的度數(shù).
3.(2014?日照)已知拋物線經(jīng)過A(2,0). 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求b的值,求出點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖,在直線 y=x上是否存在點(diǎn)D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△AMP≌△AMB?如果存在,試舉例驗(yàn)證你的猜想;如果不存在,試說明理由.
4(2016威海)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4),與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC,連接AC 12、,CD.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)E是拋物線上的點(diǎn),求滿足∠ECD=∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方,點(diǎn)N在直線BC上,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),若以點(diǎn)C,M,N,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求菱形的邊長(zhǎng).
【特別提醒】
1對(duì)二次函數(shù)概念理解有誤,漏掉二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一限制條件;
2對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)存在思維誤區(qū);
3忽略二次函數(shù)自變量取值范圍;
4平移拋物線時(shí),弄反方向。
5.二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù),可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì),還可建立起函數(shù)、方程 13、、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系;作為拋物線,可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系,使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.
答案
【近3年臨沂市中考試題】
1. C.
A
B
C
D
O
F
E
M
2. (1)(本小問3分)
解:在中,令,得
.
∴C(0,-1) (1分)
∵拋物線與x軸交于A(-1,0), B(1,0),
圖1
∴C為拋物線的頂點(diǎn).
設(shè)拋物線的解析式為,將A(-1,0)代入,得 0=a-1.
∴a=1.
∴拋物線的解析式為. (3分)
(2)(本小問5分)
方法一:
設(shè)直線與x軸交于E 14、,
則,0). (1分)
∴,
. (2分)
連接AC,過A作AF⊥CD,垂足為F,
S△CAE , (4分)
即,
∴. (5分)
方法二:由方法一知,
∠AFE=90°,,. (2分)
在△COE與△AFE中,∠COE=∠AFE=90°,∠CEO=∠AEF,∴△COE∽△AFE .
∴, (4分)
即. ∴. (5分)
(3)(本小問5分)
由,得,.
∴D(2,3). (1分)
如圖1,過D作y軸的垂線,垂足為M,
由勾股定理,得
. (2分)
在拋物線的平移過程中,PQ=CD.
(i)當(dāng)PQ為斜邊時(shí),設(shè)PQ中點(diǎn)為N,G(0,b),
則GN 15、=.
∵∠GNC=∠EOC=90°,∠GCN=∠ECO,
Q
∴△GNC ∽△EOC.
G
∴,
N
∴,
E
∴b=4.
O
圖2
P
∴G(0,4) . (3分)
(ii)當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),
設(shè)G(0,b),
C
則,
同(i)可得b=9,
則G(0,9) . (4分)
(iii)當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),
同(ii)可得G(0,9) .
綜上所述,符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè),分別是(0,4),(0,9). (5分)
3. C.
4.解:(1)解方程組得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1). 1分
∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-1) 16、. 2分
又∵點(diǎn)A是直線y=-2x-1與y軸的交點(diǎn),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1). 3分
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∴解得
∴拋物線的解析式為y=x2-x-1. 5分
(2)①如圖1,∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1).
當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí),O為菱形的中心,
∴PQ⊥BC,即點(diǎn)P,Q在直線y = x上,
∴m = m2-m-1, 7分
解得m = 1±. 8分
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+,1+)或(1-,1-). 9分
O
x
y
P
A
C
B
Q
F
D
E
O
x
y
P
A
C 17、
B
Q
圖1 圖2
②方法一:
如圖2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2 - t - 1).
過點(diǎn)P作PD∥y軸,交直線y = - x于點(diǎn)D,則D(t,- t).
分別過點(diǎn)B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn).
∴PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1,BE + CF = 2, 10分
∴S△PBC=PD·BE +PD·CF
=PD·(BE + CF)
=(- t2 + 1)×2
=- t2 + 1. 18、12分
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2. 13分
方法二:
如圖3,過點(diǎn)B作y軸的平行線,過點(diǎn)C作x軸的平行線,兩直線交于點(diǎn)D,連接PD.
∴S△PBC=S△BDC-S△PBD-S△PDC
=×2×2-×2(t+1)-×2(t2-t-1+1)
=-t2+1. 12分
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2. 13分
O
x
y
P
A
C
B
Q
E
F
O
x
y
P
A
C
B
Q
D
圖3 19、 圖4
方法三:如圖4,過點(diǎn)P作PE⊥BC,垂足為E,作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F.
∴PE=EF.
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-t-1),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-t2+t+1,t2-t-1).
∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1.
∴PE=(-t2+1). 11分
∴S△PBC=BC·PE=××(-t2+1)
=-t2+1. 12分
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2.
【中考集錦答案】
一、 選擇題
1、A 2、D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A
二、填空題
1、2米. 2、m= ﹣1 20、 3、
三、解答題
1. 解:(1)∵與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),
(第22題)
∴, 解得
∴拋物線的解析式為.························································3分
8. 過點(diǎn)作⊥x軸于E,AA/與OC交于點(diǎn)D,
∵點(diǎn)C在直線y=2x上, ∴C(5,10)
∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對(duì)稱,
∴OC⊥,=AD.
∵OA=5,AC=10,
∴.
∵, ∴.∴.·············5分
在和Rt中,
∵∠+∠=90°,∠ACD+∠=90°,
∴∠=∠ACD.
21、
又∵∠=∠OAC=90°,
∴∽.
∴即.
∴=4,AE=8.
∴OE=AE-OA=3.
∴點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(﹣3,4).·······························7分
當(dāng)x=﹣3時(shí),.
所以,點(diǎn)A/在該拋物線上.································8分
(3) 存在.
理由:設(shè)直線的解析式為y=kx+b,
則,解得
∴直線的解析式為.··················9分
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)M為.
∵PM∥AC,
∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方,
∴ .
解得(不合 22、題意,舍去)當(dāng)x=2時(shí),.
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí),四邊形PACM是平行四邊形.····················11分
2. 解:(1)∵該拋物線過點(diǎn)C(0,2),
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2.
將A(﹣1,0),B(4,0)代入,
得 ,
解得 ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+2.
(2)存在.
由圖象可知,以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形.
在Rt△BOC中,OC=2,OB=4,
∴BC==.
在Rt△BOC中,設(shè)BC邊上的高為h,則×h=×2×4,
∴h=.
∵△BEA∽△COB,設(shè)E 23、點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
∴=,∴y=±2
將y=2代入拋物線y=﹣x2+x+2,得x1=0,x2=3.
當(dāng)y=﹣2時(shí),不合題意舍去.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(3,2).
(3)如圖2,連結(jié)AC,作DE⊥x軸于點(diǎn)E,作BF⊥AD于點(diǎn)F,
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°.
設(shè)BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得
,
∴,
yBC=﹣x+2.
由BC∥AD,設(shè)AD的解析式為y=﹣x+n,由圖象,得
0=﹣×(﹣1)+n
∴n=﹣,
yAD=﹣x﹣.
∴﹣x2+x+2=﹣x﹣,
解得:x1=﹣1,x2=5
∴D(﹣1,0)與A重合,舍去,D(5,﹣3 24、).
∵DE⊥x軸,
∴DE=3,OE=5.
由勾股定理,得BD=.
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),
∴OA=1,OB=4,OC=2.
∴AB=5
在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得
AC=,BC=2,
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,
∴∠ACB=90°.
∵BC∥AD,
∴∠CAF+∠ACB=180°,
∴∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°,
∴四邊形ACBF是矩形,
∴AC=BF=,
在Rt△BFD中,由勾股定理,得DF=,
∴DF= 25、BF,
∴∠ADB=45°.
3.解:(1)由于拋物線經(jīng)過A(2,0),
所以,
解得.…………………………1分
所以拋物線的解析式為. (*)
將(*)配方,得,
所以頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-2)…………………………2分
令y=0,得,
解得. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0). ………………3分
(2)在直線 y=x上存在點(diǎn)D,使四邊形OPBD為平行四邊形. ……4分
理由如下:
設(shè)直線PB的解析式為+b,把B(6,0),P(4,-2)分別代入,得 解得
所以直線PB的解析式為.…………………………5分
又直線OD的解析式為
26、 所以直線PB∥OD. …………………………6分
設(shè)設(shè)直線OP的解析式為,把P(4,-2)代入,得
解得.如果OP∥BD,那么四邊形OPBD為平行四邊形.…………7分
A
P
B
x
y
O
第24題答案圖
C
M
D
設(shè)直線BD的解析式為,將B(6,0)代入,得0=,所以
所以直線BD的解析式為,
解方程組得
所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)…………………8分
(3)符合條件的點(diǎn)M存在.驗(yàn)證如下:
過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為為C,則PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等邊三角形,只要 27、作∠PAB的平分線交拋物線于M點(diǎn),連接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此即存在這樣的點(diǎn)M,使△AMP≌△AMB.…………………………11分
4、解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)D(2,4),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如圖1,
①點(diǎn)E在直線CD上方的拋物線上,記E′,
連接CE′,過E′作E′F′⊥CD,垂足為F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠A 28、CO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
設(shè)線段E′F′=h,則CF′=2h,
∴點(diǎn)E′(2h,h+4)
∵點(diǎn)E′在拋物線上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②點(diǎn)E在直線CD下方的拋物線上,記E,
同①的方法得,E(3,),
點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,),(3,)
(3)①CM為菱形的邊,如圖2,
在第一象限內(nèi)取點(diǎn)P′,過點(diǎn)
P′作P′N′∥y軸,交BC于N′,過點(diǎn)P′作P′M′∥BC,
交y軸于M′,
∴四邊形CM′P′N′是平行四邊形,
∵四邊形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N 29、′,
過點(diǎn)P′作P′Q′⊥y軸,垂足為Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
設(shè)點(diǎn)P′(m,﹣ m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4,
∵P′N′∥y軸,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的邊長(zhǎng)為(4﹣2)=4﹣4.
②CM為菱形的對(duì)角線,如圖3,
在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM∥BC,
交y軸于點(diǎn)M,連接CP,過點(diǎn)M作MN∥CP,交BC于N,
∴四邊形CPMN是平行四邊形,連接PN交CM于點(diǎn)Q,
∵四邊形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
設(shè)點(diǎn)P(n,﹣ n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此種情況不存在.
∴菱形的邊長(zhǎng)為4﹣4.
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