隨機積分與Ito定理[共62頁]

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1、第八章第八章 隨機積分隨機積分 Ito積分積分第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言第二節(jié)第二節(jié) Ito積分的理論積分的理論第三節(jié)第三節(jié) Ito積分的特征積分的特征第四節(jié)第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用定理及應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的更復(fù)雜情況下的Ito公式公式 第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言一、一、 Ito積分的導(dǎo)出積分的導(dǎo)出 在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。 但在隨機環(huán)境中，由于不可預(yù)測的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無法定義一個有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個積分

2、Ito積分，建立積分方程。首頁首頁 前面討論的隨機微分等式，其中的項 都只是近似討論，而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過來才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價格 的動態(tài)行為，那么能否對兩邊取積分，即,),(),(ttttdWtSdttSadStSutututudWuSduuSadS),(),(000也就是說，是否等式右邊第二項的積分有意義？為解釋此項積分的含義，需引進(jìn)Ito積分ttdWdS、首頁首頁也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時間間隔。若則上等式改寫為uhttuhttuthtdWuSduuSaSS),(),(httuthtttth

3、tdWtSdutSaSS),(),(即),(),(thtttthtWWtShtSaSS或ttttWtShtSaS),(),(這正是在固定間隔下的隨機微分方程表示式),(uSau和),(uSu是uS和 u 的平滑函數(shù)，即當(dāng)h很小，它們在,httu內(nèi)變化都不大首頁首頁此表示式為一近似式，其精確公式為ttttdWtSdttSadS),(),(二、二、Ito積分的重要性積分的重要性首先隨機微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來定義，要理解隨機微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實際運用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時間間隔，得出隨機微分方程的近似值，然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首

4、頁首頁第二節(jié)第二節(jié) Ito積分的理論積分的理論Ito積分是用來定義隨時間的變化無法統(tǒng)計和不可預(yù)測的隨機增量的總和。布朗運動維納過程)(tW，0t0)(tWE),min(),(2tstsR|)()(2stsWtWVar如果11)(tW標(biāo)準(zhǔn)布朗運動/ )(tW一、一、Ito積分的定義積分的定義首頁首頁定義定義1滿足設(shè))(tX,bat 為二階矩過程，ba 0。)(tW是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動),min(),(tstsR|)()(stsWtWVar對, ba的一組分點btttan10)(max11kknkntt作和式)()()(111kkknkntWtWtXI如果均方極限nIn nl.i.ml.i.m存在則稱此

5、極限為)(tX關(guān)于)(tW的 Ito 積分，記為)()()(tWdtXIba首頁首頁注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點。)()()(11kkknkntWtWtXY,1kkkttt當(dāng)kt在,1kktt中任意選擇時，nY的均方極限將不存在定理定理1設(shè))(tX均方連續(xù)，且對任意kkttss121,及121ktss),(),(21sXsX)()(12sWsW與)()(1kktWtW相互獨立則)(tX關(guān)于)(tW的 Ito 積分存在且唯一首頁首頁定理定理2設(shè))(tW,0t是維納過程對,ba的一組分點：btttan10)(max11kknkntt則n nl.i.ml.

6、i.m211)()(kknktWtW)(ab 證證令)()(1kkktWtWW1kkkttt則221)(abWEknk221)(kknktWE221)(kknktWE)( 22jjiijitWtWE)2(2241kkkknkttWWE首頁首頁因為)23(2221kkknkttt)2(2241kkkknktEtWEWE212knktknknt12)(2abn0n0), 0()(kktNtW4)(ktWE dxextktxk24221dxexttktxkk222232)(3kktWEt首頁首頁例例1解試求)()()(tWdtWIba對,ba的一組分點：btttan10)(max11kknkntt)

7、()()(111kkknkntWtWtWI)()()(1002tWtWtW)()()(2112tWtWtW+)()()(112nnntWtWtW)(2102tW)()()(2211nkknktWtWtW)()(2122aWbW211)()(21kknktWtW故)()()(tWdtWIba)()(2122aWbWn nl l. .i i. .m m21211)()(kknktWtW)()(2122aWbW)(21ab首頁首頁注表明Ito隨機積分不同于黎曼積分二、二、Ito積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1則因為如果)(tW是普通函數(shù)，積分不能有)(21ab若 Ito 積分)()(tWdtXba，)

8、()(tWdtYba存在（1）)()()(tWdtYtXba)()(tWdtXba)()(tWdtYba（2）)()(tWdtXba)()(tWdtXca)()(tWdtXbcbca證明證明與黎曼積分相仿（略）首頁首頁性質(zhì)性質(zhì)2則證明證明設(shè)維納過程)()()(sWdsXtYta，)(tY的均值和相關(guān)函數(shù)為0)(tYE),min(022121)(),(ttYdssXttR略首頁首頁性質(zhì)性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明證明若)()(tWdtXba存在，)()()(sWdsXtYtabta)()(2tYhtYE2)()(sWdsXEhttsdsXEhtt)(20（0h）故)(tY關(guān)于 t 是均

9、方連續(xù)首頁首頁三、三、Ito微分法則微分法則)()()()()(sWdsBdssAaXtXtata其中)(sA為二階矩過程且均方可積,設(shè)二階矩過程)(tX (bta)滿足)(sB滿足定理 1 的條件則第二個積分作為Ito積分存在，且)(aX與)(tW,at 相互獨立（1）這時稱(1)式定義的隨機過程 有(Ito)隨機微分)(tX)()()(tdWtBdttA并記為)()()()(tdWtBdttAtdX首頁首頁例例2求隨機微分解解由例可知)(2tWd)()(0tWdtWtttW21)(212即ttW)(2)()(20tWdtWt由隨機微分的定義)()(2)(2tdWtWdttWd首頁首頁定理定

10、理3Ito公式公式的二次微分函數(shù)，則設(shè))(,(tXtf是關(guān)于 t 和隨機過程)(tX,Tt 若)(tX的隨機微分是)()()()(tdWtBdttAtdX)(,()(tXtftY在上也有隨機微分，且)()(,()(,()(tAtXtftXtftdYXtdttBtXtfXX)()(,(212 )()()(,(tdWtBtXtfX首頁首頁例例3求隨機微分解解設(shè)因為所以由Ito公式得)(2ttWd)()(,(2ttWtXtf)()(10)(tdWtdWdttdX)(2ttWddtttW)(2)()(2tdWttW)()(,(2tWtXtft)(2)(,(ttWtXtfXttXtfXX2)(,( 首頁

11、首頁定理定理4設(shè)普通函數(shù)),(),(21mxxxtFxtF及其導(dǎo)數(shù)),(),(),(212100mmxxxtFtxxxtFxtF),(),(),(2121mimiixxxtFxxxxtFxtF),(),(),(21221mjimijijxxxtFxxxxxtFxtFmji, 1,都是連續(xù)函數(shù)如果隨機過程 有隨機微分)(tXi)()()()(tdWtBdttAtdXiii則)(,),(),(,()(,()(21tXtXtXtFtXtFtYm有隨機微分首頁首頁miiitAtXtFtXtFtdY10)()(,()(,()(dttBtBtXtFmjijiij1,)()()(,(21)()()(,(1t

12、dWtBtXtFmiii注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式公式首頁首頁四、四、Ito隨機微分方程隨機微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機微分方程稱為Ito隨機微分方程設(shè))(tW,Tt 是布朗運動，00)()()(,()(,()(XtXtdWtXtgdttXtftdX與Ito隨機微分方程等價的Ito隨機積分方程隨機積分方程ttttsdWsXsgdssXsfXtX00)()(,()(,()(0其中右邊第一個積分是均值積分，第二個積分是Ito積分首頁首頁例例4考慮Ito方程1)0()()()(21)(XtdWtXdttXtdX 取xxtfln),(由Ito公式得)(

13、,(tXtdfdttXtXtXtX)()(121)()21()(122)()()(1tdWtXtX即)()(lntdWdttXd所以)()(lntWttX即)(exp)(tWttX注將 看作普通函數(shù)，則解為)(tW)(21exp)(tWttX返回首頁首頁第三節(jié)第三節(jié) Ito積分的特征積分的特征資產(chǎn)價格理論意義下Ito積分tTtdWtS),(0 其中 在信息集 下是非預(yù)期的),(tSt一、一、Ito積分是鞅積分是鞅在間隔 內(nèi)影響資產(chǎn)價格不可預(yù)測的干擾總和可表示為uttudWtI則此Ito積分就是鞅。因為首頁首頁給定時間t的信息集 ，如果每個增量是不可預(yù)測的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測的，即 于

14、是故Ito積分 是鞅。0ttuutdWEtuusdWE0stsuuuusdWdWE0suudW00stsuusuusdWEdWEts 0utudW0首頁首頁下面考慮兩種有意思的情況：1第一種情況第一種情況假設(shè)方差),(tSt是獨立于資產(chǎn)價格tS和時間t的常數(shù)),(tSt此時Ito積分就等同于Riemann積分即有ttttuWWdW則tuttuudWdWdWE000即積分是鞅首頁首頁因為因為維納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，ttuudWdWE00故此積分是鞅00WWWWEtt00)(WWWWWWEtttt)(0WWttudW0注當(dāng) 是常數(shù)時，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅),(t

15、St首頁首頁2第二種情況第二種情況若此時Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差與tS有關(guān)，進(jìn)而也與tW有關(guān)，ttStS),(則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來大致估計Ito積分會導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過程如下例：首頁首頁3一個例子一個例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價格滿足隨機微分方程即兩個參數(shù)都比例于資產(chǎn)價格考慮一個小時間間隔 ，對隨機微分方程積分ttttdWtSdttSadS),(),(ttStSa),(ttStS),(tSuttuttuttudWS

16、duSdS現(xiàn)在用Rieman求和來討論上式右邊的第二項積分的近似計算，看會有什么結(jié)果？首頁首頁Rieman求和的一種近似計算是用子間隔的中點處的維納過程測值來計算。首先計算然后再乘以矩形的底得)(2(ttttWWWWS)2(ttWWSttWW從而有0)(2(ttttWWWWSE兩項相關(guān)下面考慮上隨機微分方程的簡單形式tttdWWdS則其新增項形式為uttudWW首頁首頁用Riemann求和來大致估計這樣一個積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測的，ttttuttuWWWWdWW)2(| )(2(tttttWWWWWE| )(2122tttWWWE2

17、10)(2)(222tttttttWWWWWWW首頁首頁從而可知，用Riemann求和來估計Ito積分意味著新增干擾項有一個非零期望值，即但由于Ito積分存在條件： 即有00),(ttttdWtSE),(tSt的非預(yù)期性則Ito積分 的近似計算必須是)(,(tttWWtSttttdWtS),(其中),(tSt與增量tW不相關(guān)的矛盾0),(ttttdWtSE首頁首頁注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會收斂為一個有效的隨機變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分二、路徑積分考察在期間0，T內(nèi)資產(chǎn)價格tSTtttn100間隔長度為 ppSSiitt11以概

18、率以概率 nT分割：且有這個過程的一個通常路徑是由和組成的序列首頁首頁 tTtdSSf0假設(shè)一個金融分析家要計算積分其有限求和形式為 )1110iiittnitnSSSfV（取特殊路徑,則)()(ffVn)()(ff顯然nV的值依靠tS的特定軌線如果nV收斂，就可叫做路徑積分但路徑積分在隨機過程中并不一定收斂。如首頁首頁取符號函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機過程中不收斂。)(11iiitttSSsignSfnVnin10T當(dāng)0時，nV會趨于無窮大注路徑積分意義在計算路徑積分時，沒有用到與 相聯(lián)系的概率，而是用實際測值來計算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來計算并由隨機等式來決定。1itS非預(yù)

19、期重要性由于可預(yù)測 的符號，函數(shù)能“看到未來情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時， 就會發(fā)散。iittSS1)(fnV首頁首頁三、三、Ito積分存在性積分存在性隨機函數(shù)),(tSft的 Ito 積分utudSuSf0,存在的條件是)(f連續(xù)且非預(yù)期也就是說10),(1nittitiiiSStSf的均方會收斂到某個稱為Ito積分的隨機變量首頁首頁四、相關(guān)性四、相關(guān)性Ito積分是一隨機過程，因此它有各種不同的量一次量即0,0TttdWtWfE非預(yù)期函數(shù))(f關(guān)于維納過程tW的積分具有鞅特性二次量協(xié)方差duuWfEdWuWfEtuutu2020),(),(方差ttuuuudWuWgdWuWf

20、E00,),(duuWguWfEtuu0),(),(返回首頁首頁第四節(jié)第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用定理及應(yīng)用在隨機環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價格的變動被認(rèn)為是不可預(yù)測的，且在連續(xù)時間內(nèi)變動太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機微分來代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計算。Ito規(guī)則給出了一個簡化隨機微分的公式，并給出了詳細(xì)的計算。一、一、 導(dǎo)數(shù)類型導(dǎo)數(shù)類型 在標(biāo)準(zhǔn)計算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類型的導(dǎo)數(shù)：設(shè)),(tSFt是由變量tS和t決定的函數(shù)，tS是隨著t變化而變化的一個隨機過程。首頁首頁偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)ttsStSFF,ttSFFtt,dtFdSFdFttstttstFdtdSF

21、dttSdF,導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用偏導(dǎo)數(shù)為計算資產(chǎn)價格相對于風(fēng)險因子的變化反應(yīng)提供了一個“乘數(shù)”。典型例子：是在計算套期保值參數(shù) 中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個市場參與者知道 的函數(shù)形式，tSFt,偏導(dǎo)數(shù)sF衡量的是tS每變動一單位衍生資產(chǎn)價格會變動多少1則首頁首頁因此對維納過程定義一個關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知道的不是 隨時間的變化，而是假定在時間固定情況下，它對的小變化有什么反應(yīng)。23),(tSFttS全微分是在假定時間和標(biāo)的資產(chǎn)的價格都發(fā)生變動，而導(dǎo)致 的變化，其結(jié)果就是隨機微分。它代表了在時間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價格的變化，對市場交易者很有用。),(tSFt在標(biāo)準(zhǔn)計算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個

22、變量相對于初始變量經(jīng)過某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機計算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機形式。首頁首頁例例1設(shè)),(1trF是到期日為 T 的票據(jù)的價格，1r為固定的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利，且tTrttetrF100,則trrFFtTrtetT 100tFFttTrtter100trdFt, ttTrdretTt100dtertTrtt100注無論tr是確定性的還是隨機變量，偏導(dǎo)數(shù)不變但全微分同隨機事件的實際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對 為非隨機變量的情況。tr首頁首頁二、二、Ito定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得設(shè)),(tSFt是關(guān)于t和隨

23、機過程tS的二次微分函數(shù)，ttttdWdtadStS具有正常的漂移和波動參數(shù)ta和tttttttttdWSFdtSFtFaSFdF22221dtSFdttFdSSFdFttttt22221或首頁首頁說明說明在分析金融衍生產(chǎn)品時，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機微分方程，運用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價格的變化。例例2設(shè)標(biāo)準(zhǔn)維納過程tW的函數(shù)2,ttWtWFttdWdtdW10求tdF解tttdWWdtdF2因故有Ito定理可得首頁首頁因此因此得到在信息集 下的 的隨機微分方程，其偏移率和方差項為即漂移率是常數(shù)，方差依賴于信息集。tWFt,例例3tI1,tIat 和ttW

24、tI2,tWtettWF 3,若tW為標(biāo)準(zhǔn)維納過程則有tWWtdWedtedFtt211此時此時得到在信息集 下的 的隨機微分方程，其偏移率和方差項為tWFt,tItWtetIa211,tWtetI,首頁首頁例例4計算Ito積分解解設(shè)stsdWW0221,ttWtWF對tWFt,運用 Ito 定理得tttdWWdtdF21其相關(guān)積分等式ststtdWWdstWF0021,故tttsdstWFdWW0021,即tWdWWtts212120注這個結(jié)果與本章第二節(jié)計算出來的結(jié)果相同，可作為計算作為計算Ito積分的工具。積分的工具。首頁首頁例例5計算積分解解定義定義tssdW0其中tW是一個維納過程t

25、ttWtWF,由Ito定理得ttttdWdtWdF其對應(yīng)的積分等式tststssdWdsWsWd000tsttsdsWtWsdW00故首頁首頁注注用Ito定理計算Ito積分的步驟123對新得到的隨機微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個新的積分等式，該等式所包含的積分的計算要比原積分簡單。寫出函數(shù)tWFt,的形式根據(jù) Ito 定理得到tWFt,的隨機微分方程4重新排列積分等式各項，得到最終結(jié)果。首頁首頁（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價中的應(yīng)用（補充內(nèi)容） 現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。 假定各個時期的無風(fēng)險利率 r 等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價格用F表示，則遠(yuǎn)期價格F與即期價格S之

26、間的關(guān)系可表示為 )(tTrSeF所以)(tTreSF022SF)(tTrrSetF首頁首頁如果股票價格S遵循幾何布朗運動，并且預(yù)期收益和波動率分別是 和 ，即 那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價格F變化的隨機過程為 將 代入上式，得)(tTrSeFdWSedtrSeSedFtTrtTrtTr)()()(SdWSdtdSFdWFdtrdF)(可見，遠(yuǎn)期價格F與股票價格S一樣，也遵循幾何布朗運動。但是，遠(yuǎn)期價格的預(yù)期增長率是 ，而不是 。r首頁首頁三、三、 Ito定理的積分形式定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：dtFdtFdSFtSdFtssttst221,utstussutdSFduF

27、FSFtSF0020210 ,duFFSFtSFdSFtussututs0200210 ,兩邊取積分，得積分形式該式說明關(guān)于維納過程和其它連續(xù)時間隨機過程的積分是用時間的積分函數(shù)表達(dá)出來的。注返回首頁首頁第五節(jié)第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的更復(fù)雜情況下的Ito公式公式第一種是在某些條件下，函數(shù) 可能不只是依賴于單一隨機變量 ，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場受到小概率事件影響，這樣需要對隨機微分方程加上跳躍過程來決定資產(chǎn)價格，相應(yīng)的Ito公式會改變很多。FtS首頁首頁一、多變量情況一、多變量情況設(shè) 為 兩個受維納過程影響的隨機過程)(),(21tSt

28、S tdWttdWtdttatdS21211111 tdWttdWtdttatdS22212122其中2 , 1,),(),(jittaiji為依賴于)(tSi的漂移和方差參數(shù)，)(),(21tWtW為兩個獨立的維納過程。設(shè)ttStSF),(),(21是)(),(21tStS的連續(xù)、二重微分函數(shù)則?tdF首頁首頁 是兩個獨立的維納過程的增量結(jié)果這個問題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：由于2121dSFdSFdtFdFsstt2122212122212)()(21dSdSFdSFdSFssssss在單變量Ito定理中，等交叉項在均方意義下都等于0。2)(dt和)(1tdtdW、)(2td

29、tdW且)()(21tdWtdW若在一個固定的間隔內(nèi)，有 021tWtWE則在均方意義下，有 021tdWtdW首頁首頁由此可得 dttttdS21221121 dttttdS22222122 dttttttdStdS2212211121這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁首頁例例1（金融衍生品）（金融衍生品） 在評價利率期權(quán)衍生品的價值時，收益曲線起到很大作用。 利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線依賴于兩個狀態(tài)變量，分別是短期利率 和長期利率trtR則利率衍生品的價格就可表示為TttRrFtt, 0,假定利率服從隨機微分方程 tdWttdWtdttadrt2121111 tdWttdWtd

30、ttadRt2221212其中，長短期利率誤差項具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為 httttRrCorrtt22122111,首頁首頁市場參與者可通過參數(shù) 的選擇，由該等式得到長短期利率的相關(guān)性和方差特性。在評估利率期權(quán)時，需要知道期權(quán)價格對收益曲線的變化 和 會怎樣變化，也就是要知道隨機微分 ，即有Ito公式的多變量形式可得)(tijtdrtdRtdFtRtrttdRFdrFdtFdFdtFFFrRRRrr22122111222221212211221首頁首頁例2 財富假設(shè)市場有n種資產(chǎn)，一個投資者以價格)(tPi購買了)(tNi份第i種資產(chǎn)且)(tNi和)(tPi都是連續(xù)時間的隨機過

31、程， 都是受同一隨機變動影響的連續(xù)時間的隨機過程)(tNi和)(tPi投資總價格可由財富函數(shù) 表示 tW tPtNtWinii1則由Ito定理可得隨著時間的變化而財富的增量 tdPtNtdWinii1 niiitdNtP1 tdPtdNinii1首頁首頁二、二、Ito公式和跳躍公式和跳躍假設(shè)觀測一個過程 ，它服從隨機微分方程：tStttttdJdWdtadS其中tdW是一個標(biāo)準(zhǔn)的維納過程，tdJ表示的是不可預(yù)測的跳躍，且假定在一個固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：0tJE原因：任何可預(yù)測的跳躍成分可被包含在漂移項 中ta對跳躍過程，作如下假定：1在兩個跳躍之間，tJ保持不變，而在跳躍時間, 2 ,

32、1,jtjtJ是離散和隨機的首頁首頁2假定有k種跳躍，跳躍大小為kiai, 1,跳躍發(fā)生率t依賴于tS的最終觀測值。每一大小的跳躍ia發(fā)生的概率為ip跳躍類型是隨機和獨立的。則在一個小的固定間隔h內(nèi)，增量tJ為kiiitttpahNJ1其中tN表示的是至?xí)r間t所有發(fā)生的跳躍大小總和若在間隔h內(nèi)發(fā)生一次大小為ta的跳躍，則ttaN ht表示的是跳躍發(fā)生的概率ikiipa1為跳躍的期望值則tJ是不可預(yù)測。首頁首頁在這些條件下漂移參數(shù) 可被看作為兩個分散的漂移的總和：takiiitttpaa1其中 是連續(xù)運動的維納過程部分，第二項為 中純跳躍部分ttS跳躍過程兩個隨機性跳躍的發(fā)生為隨機事件，發(fā)生大小

33、也是隨機的。假定這兩個隨機性是相互獨立的。則Ito公式為首頁首頁itittttptSFtaSFFtSdF),(),(),(FtsssdJdSFdtF212其中),(),(tSFtSFdJttFdtptSFtaSFkiititt1,tsSSstst,lim首頁首頁首先要計算由可能發(fā)生的隨機跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第二項，要計算此項，需要用到在時間 內(nèi)跳躍發(fā)生的概率和由 跳躍所引起的函數(shù) 跳躍的大小期望值。tS在實際中如何計算 呢？FdJdtF其次如果在特定的時間內(nèi)發(fā)生跳躍， 還應(yīng)包含式上式的第一項。FdJ首頁首頁在隨機計算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)運動方程情況下，由Ito定理可得到金融衍生品的隨機微分方程；本章說明第二， Ito定理完全獨立 Ito積分的。返回首頁首頁