2021年蘇州市中考一輪復習第15講《二次函數(shù)綜合應用》學案

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1、2021年中考數(shù)學一輪復習第15講?二次函數(shù)綜合應用? 【考點解析】 知識點一、二次函數(shù)與一次函數(shù)及反比例函數(shù)的結合 【例題】〔2021貴州畢節(jié)3分〕一次函數(shù)y=ax+b〔a≠0〕與二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕在同一平面直角坐標系中的圖象可能是〔　　〕 A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】此題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象相比擬看是否一致． 【解答】解：A、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，故本選項錯誤； B、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，

2、b＞0，故本選項錯誤； C、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項正確； D、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＞0故本選項錯誤． 應選C． 【變式】 二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a，b，c是常數(shù)，且a≠0〕的圖象如下圖，那么一次函數(shù)y=cx+與反比例函數(shù)y=在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是〔　　〕 【答案】D． 【解析】∵拋物線開口向上， ∴a＞0， ∵拋物線的對稱軸為直線x=-＜0， ∴b＞0， ∵拋物線與y軸的交點在x軸下方， ∴c＜0， ∴一次函數(shù)y=cx+的圖象過第一、二、四象限，反比

3、例函數(shù)y=分布在第一、三象限． 應選D． 知識點二、二次函數(shù)與一元二次方程 【例題】〔2021·四川瀘州〕假設二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣1的圖象與x軸交于A〔x1，0〕、B〔x2，0〕兩點，那么+的值為　﹣?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】設y=0，那么對應一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標，利用根與系數(shù)的關系即可求出+的值． 【解答】解： 設y=0，那么2x2﹣4x﹣1=0， ∴一元二次方程的解分別是點A和點B的橫坐標，即x1，x2， ∴x1+x2=﹣=2，x1，?x2=﹣， ∵+==﹣， ∴原式==﹣， 故答案為：﹣． 【變式】 二次函數(shù)y=

4、x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=1，假設關于x的一元二次方程x2+bx-t=0〔t為實數(shù)〕在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，那么t的取值范圍是〔　　〕 A．t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8 【答案】C. 【解析】對稱軸為直線x=-=1， 解得b=-2， 所以，二次函數(shù)解析式為y=x2-2x， =〔x-1〕2-1， x=-1時，y=1+2=3， x=4時，y=16-2×4=8， ∵x2+bx-t=0相當于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標， ∴當-1≤t＜8時，在-1≤x＜4的范圍內(nèi)有解．

5、 應選：C． 知識點三 利用二次函數(shù)解決拋物線形問題 【例題】〔2021浙江金華〕圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成拋物線，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，有AC⊥x軸，假設OA=10米，那么橋面離水面的高度AC為〔 〕 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B． 【分析】主要是利用拋物線的解析式以及OA=10來進行解答，關鍵是根據(jù)圖象確定A點的坐標，從而確定C點的橫坐標，繼而得到問題的答案． 【解析】∵AC⊥x軸，OA=10米，∴點C的橫坐標為﹣

6、10，當x=﹣10時，==，∴C〔﹣10，〕，∴橋面離水面的高度AC為m．應選B． 【點評】此題考查了利用函數(shù)圖象上的點來解決實際問題中的距離問題，能正確地確定點的坐標是解決問題的關鍵． 【方法技巧規(guī)律】利用二次函數(shù)解決拋物線形問題，一般是先根據(jù)實際問題的特點建立直角坐標系，設出適宜的二次函數(shù)的解析式，把實際問題中條件轉(zhuǎn)化為點的坐標，代入解析式求解，最后要把求出的結果轉(zhuǎn)化為實際問題的答案． 【變式】 〔2021?銅仁市〕〔第3題〕河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如下圖的平面直角坐標系，其函數(shù)的關系式為y=﹣x2，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為〔　　

7、〕 A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 【解析】二次函數(shù)的應用．. 根據(jù)題意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根據(jù)題意B的縱坐標為﹣4， 把y=﹣4代入y=﹣x2， 得x=±10， ∴A〔﹣10，﹣4〕，B〔10，﹣4〕， ∴AB=20m． 即水面寬度AB為20m． 應選C． 【點評】此題考查了點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題． 知識點四、二次函數(shù)的應用 【例題】〔2021·湖北隨州·9分〕九年級〔3〕班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天〔1≤x

8、≤90，且x為整數(shù)〕的售價與銷售量的相關信息如下．商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y〔單位：元/件〕，每天的銷售量為p〔單位：件〕，每天的銷售利潤為w〔單位：元〕． 時間x〔天〕 1 30 60 90 每天銷售量p〔件〕 198 140 80 20 〔1〕求出w與x的函數(shù)關系式； 〔2〕問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤； 〔3〕該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結果． 【考點】二次函數(shù)的應用；一元一次不等式的應用． 【分析】〔1〕當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=kx

9、+b，由點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出此時y關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)圖形可得出當50＜x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關于x的函數(shù)關系式； 〔2〕根據(jù)w關于x的函數(shù)關系式，分段考慮其最值問題．當0≤x≤50時，結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當50＜x≤90時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值，兩個最大值作比擬即可得出結論； 〔3〕令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x

10、的取值范圍，由此即可得出結論． 【解答】解：〔1〕當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=kx+b〔k、b為常數(shù)且k≠0〕， ∵y=kx+b經(jīng)過點〔0，40〕、〔50，90〕， ∴，解得：， ∴售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=x+40； 當50＜x≤90時，y=90． ∴售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=． 由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關系， 設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n〔m、n為常數(shù)，且m≠0〕， ∵p=mx+n過點〔60，80〕、〔30，140〕， ∴，解得：， ∴p=﹣2x+200〔0≤x≤90，且x為整數(shù)〕，

11、當0≤x≤50時，w=〔y﹣30〕?p=〔x+40﹣30〕〔﹣2x+200〕=﹣2x2+180x+2000； 當50＜x≤90時，w=〔90﹣30〕〔﹣2x+200〕=﹣120x+12000． 綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關系式是w=． 〔2〕當0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2〔x﹣45〕2+6050， ∵a=﹣2＜0且0≤x≤50， ∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元． 當50＜x≤90時，w=﹣120x+12000， ∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小， ∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元． ∵6050＞6000

12、， ∴當x=45時，w最大，最大值為6050元． 即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元． 〔3〕當0≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0， 解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21〔天〕； 當50＜x≤90時，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0， 解得：50＜x≤53， ∵x為整數(shù)， ∴50＜x≤53， 53﹣50=3〔天〕． 綜上可知：21+3=24〔天〕， 故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元． 【變式】 〔2021·

13、湖北武漢·10分〕某公司方案從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件．產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關信息如下表： 產(chǎn)品 每件售價〔萬元〕 每件本錢〔萬元〕 每年其他費用〔萬元〕 每年最大產(chǎn)銷量〔件〕 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中a為常數(shù)，且3≤a≤5． 〔1〕 假設產(chǎn)銷甲、 乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元，直接寫出y1、y2與x的函數(shù)關系式； 〔2〕分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤； 〔3〕為獲得最大年利潤，該公司應該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由． 【考點】二次函數(shù)的應用，一次函數(shù)的應用 【答案】

14、 〔1〕y1=(6-a)x-20〔0＜x≤200〕，y2=-0.05x2+10x-40〔0＜x≤80〕；〔2〕 產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元；〔3〕當3≤a＜3.7時，選擇甲產(chǎn)品；當a=3.7時，選擇甲乙產(chǎn)品；當3.7＜a≤5時，選擇乙產(chǎn)品 【解析】解：〔1〕 y1=(6-a)x-20〔0＜x≤200〕，y2=-0.05x2+10x-40〔0＜x≤80〕； 〔2〕甲產(chǎn)品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1隨x的增大而增大． ∴當x＝200時，y1max＝1180－200a〔3≤a≤5〕 乙產(chǎn)品：y2=-0.05x2+10x-

15、40〔0＜x≤80〕 ∴當0＜x≤80時，y2隨x的增大而增大． 當x＝80時，y2max＝440〔萬元〕． ∴產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元；〔3〕1180－200＞440，解得3≤a＜3.7時，此時選擇甲產(chǎn)品； 1180－200＝440，解得a=3.7時，此時選擇甲乙產(chǎn)品； 1180－200＜440，解得3.7＜a≤5時，此時選擇乙產(chǎn)品． ∴當3≤a＜3.7時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤高； 當a=3.7時，生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的利潤相同； 當3.7＜a≤5時，上產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤高． 知識點五、二次函數(shù)在幾何圖形中的應用

16、【例題】〔2021·湖北武漢·12分〕拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方． 〔1〕如圖1，假設P(1，－3)、B(4，0)， ① 求該拋物線的解析式； ② 假設D是拋物線上一點，滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標； 〔2〕 如圖2，直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？假設是，試求出該定值；假設不是，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合；考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；平行線的判定；函數(shù)值相等的點關于對稱軸對稱。 【答案】 〔1〕①y＝x2-；②點D的坐標為(-1，-3)或(，)；〔2〕是定值，等于2

17、 【解析】解：〔1〕①將P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得 ，解得 ，拋物線的解析式為： ． ②如圖： 由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D與P關于y軸對稱，P(1，－3)得D(-1，-3)； 如圖，D在P右側(cè)，即圖中D2，那么∠D2PO＝∠POB，延長PD2交x軸于Q，那么QO＝QP， 設Q〔q，0〕，那么〔q－1〕2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q〔5，0〕，那么直線PD2為 ，再聯(lián)立 得：x＝1或 ，∴ D2〔 〕 ∴點D的坐標為(-1，-3)或〔 〕 〔2〕設B〔b，0〕，那么A〔-b，0〕有ab2＋c＝0，∴b2＝，過點P〔x0，y0〕作PH

18、⊥AB，有，易證：△PAH∽△EAO，那么 即，∴， 同理得∴，∴，那么OE＋OF＝ ∴，又OC＝－c,∴. ∴是定值，等于2． 【變式】 〔2021·吉林·10分〕如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于點D，點P從點A出發(fā)，沿A→C方向以cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°〔點M，C位于PQ異側(cè)〕．設點P的運動時間為x〔s〕，△PQM與△ADC重疊局部的面積為y〔cm2〕 〔1〕當點M落在AB上時，x=　4　； 〔2〕當點M落在AD上時，

19、x=　??； 〔3〕求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍． 【考點】三角形綜合題． 【分析】〔1〕當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題． 〔2〕如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得==，由此即可解決問題． 〔3〕分三種情形①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，那么重疊局部為△PEF，②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，那么重疊局部為四邊形PEGQ．③當＜x＜8時，如圖4中，那么重合局部為△PMQ，分別計算即可解決問題． 【解答】

20、解：〔1〕當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP=4，所以x==4． 故答案為4． 〔2〕如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E． ∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC ∴DQ=QE=EC， ∵PE∥AD， ∴==，∵AC=8， ∴PA=， ∴x=÷=． 故答案為． 〔3〕①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，那么重疊局部為△PEF， ∵AP=x， ∴EF=PE=x， ∴y=S△PEF=?PE?EF=x2． ②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、

21、G，那么重疊局部為四邊形PEGQ． ∵PQ=PC=8﹣x， ∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x， ∴y=S△PMQ﹣S△MEG=〔8﹣x〕2﹣〔16﹣3x〕2=﹣x2+32x﹣64． ③當＜x＜8時，如圖4中，那么重合局部為△PMQ， ∴y=S△PMQ=PQ2=〔8﹣x〕2=x2﹣16x+64． 綜上所述y=． 【典例解析】 【例題1】〔2021湖北隨州，23，?〕我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝〔萬元〕．當?shù)卣當M在“十二?五〞規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在

22、規(guī)劃前后對該工程每年最多可投人100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤〔萬元〕． 〔1〕假設不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？ 〔2〕假設按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤〔扣除修路后〕的最大值是多少？ 〔3〕根據(jù)〔1〕、〔2〕，該方案是否具有實施價值？ 【解析】二次函數(shù)的應用?！?〕由可獲得利潤P＝〔萬元〕，即可知當x＝60時，P最大，最大值為41，繼而求得5年所獲利潤的最大值； 〔2〕首

23、先求得前兩年的獲利最大值，注意前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x＝50時，P值最大；然后后三年：設每年獲利y，設當?shù)赝顿Y額為x，那么外地投資額為100－x，即可得函數(shù)y＝P+Q＝[－〔x－60〕2+41]+[－x2+x+160]，整理求解即可求得最大值，那么可求得按規(guī)劃實施，5年所獲利潤〔扣除修路后〕的最大值； 〔3〕比擬可知，該方案是具有極大的實施價值． 【解答】解：〔1〕∵每投入x萬元，可獲得利潤P＝〔萬元〕， ∴當x＝60時，所獲利潤最大，最大值為41萬元， ∴假設不進行開發(fā)，5年所獲利潤的最大值是：41×5＝205〔萬元〕； 〔2〕前兩年：0≤x≤50，

24、此時因為P隨x的增大而增大，所以x＝50時，P值最大，即這兩年的獲利最大為：2×[－〔50－60〕2+41]＝80〔萬元〕， 后三年：設每年獲利y，設當?shù)赝顿Y額為x，那么外地投資額為100－x， ∴y＝P+Q＝[－〔x－60〕2+41]+[－x2+x+160] ＝－x2+60x+165＝－〔x－30〕2+1065， ∴當x＝30時，y最大且為1065， ∴這三年的獲利最大為1065×3＝3495〔萬元〕， ∴5年所獲利潤〔扣除修路后〕的最大值是：80+3495－50×2＝3475〔萬元〕． 〔3〕該方案是具有極大的實施價值． 【點評】此題考查了二次函數(shù)的實際應用問題．解題的關鍵

25、是理解題意，找到適宜函數(shù)取得最大值，是解此題的關鍵，還要注意后三年的最大值的求解方法． 【例題2】〔2021·湖北荊門·3分〕假設二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，那么關于x的方程x2+mx=7的解為〔　　〕 A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先根據(jù)二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3， ∴﹣=3，解得m=﹣6， ∴關于x的方程x2

26、+mx=7可化為x2﹣6x﹣7=0，即〔x+1〕〔x﹣7〕=0，解得x1=﹣1，x2=7． 應選D． 【例題3】〔2021·湖北黃石·3分〕以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣2〔b﹣2〕x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，那么實數(shù)b的取值范圍是〔　　〕 A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2 【分析】由于二次函數(shù)y=x2﹣2〔b﹣2〕x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，所以拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項系數(shù)知道拋物線開口方向向上，由此可以確定拋物線與x軸有無交點，拋物線與y軸的交點的位置，由此即可得出關于b的不等式組，解不等式組即可求解．

27、【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2〔b﹣2〕x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限， ∴拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限， 當拋物線在x軸的上方時， ∵二次項系數(shù)a=1， ∴拋物線開口方向向上， ∴b2﹣1≥0，△=[2〔b﹣2〕]2﹣4〔b2﹣1〕≤0， 解得b≥； 當拋物線在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限時， 設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2， ∴x1+x2=2〔b﹣2〕≥0，b2﹣1≥0， ∴△=[2〔b﹣2〕]2﹣4〔b2﹣1〕＞0，① b﹣2＞0，② b2﹣1＞0，③ 由①得b＜，由②得b＞2， ∴此種情況不存在， ∴b≥， 應選

28、A． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是會根據(jù)圖象的位置得到關于b的不等式組解決問題． 【例題4】〔2021·吉林·10分〕如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以OB為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點 〔1〕當m=2時，a=﹣，當m=3時，a=﹣； 〔2〕根據(jù)〔1〕中的結果，猜測a與m的關系，并證明你的結論； 〔3〕如圖2，在圖1的根底上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當△APQ為等腰直角三角形時，a和n的關系式為 a=﹣； 〔4〕利用〔2〕〔3〕中的結論，求△

29、AOB與△APQ的面積比． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】〔1〕由△AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點A，B坐標，再由點A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結論，最后代m=2，m=3，求值即可； 〔2〕同〔1〕的方法得出結論 〔3〕由△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設A〔e，d+n〕，∴P〔e﹣n，d〕，Q〔e+n，d〕，建立方程組求解即可； 〔4〕由〔2〕〔3〕的結論得到m=n，再根據(jù)面積公式列出式子，代入化簡即可． 【解答】解：〔1〕如圖1， ∵點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m， ∴B〔2m，0〕， ∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB，

30、∴AM=m，OM=m， ∴A〔m， m〕， ∵拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點 ∴， ∴ 當m=2時，a=﹣， 當m=3時，a=﹣， 故答案為：﹣，﹣； 〔2〕a=﹣ 理由：如圖1，∵點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m， ∴B〔2m，0〕， ∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB， ∴AM=m，OM=m， ∴A〔m， m〕， ∵拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點 ∴， ∴ ∴a=﹣， 〔3〕如圖2， ∵△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n， 設A〔e，d+n〕，∴P〔e﹣n，d〕，Q〔e+n，d〕， ∵P，Q，

31、A，O在拋物線l：y=ax2+bx+c上， ∴， ∴， ①﹣②化簡得，2ae﹣an+b=1④， ①﹣③化簡得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤， ④﹣⑤化簡得，an=﹣1， ∴a=﹣ 故答案為a=﹣， 〔4〕∵OB的長度為2m，AM=m， ∴S△AOB=OB×AM=2m×m=m2， 由〔3〕有，AN=n ∵PQ的長度為2n， ∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2， 由〔2〕〔3〕有，a=﹣，a=﹣， ∴﹣=﹣， ∴m=n， ∴===， ∴△AOB與△APQ的面積比為3：1． 【中考熱點】 熱點1：〔2021·遼寧丹東·10分〕某片果園有果樹80棵，現(xiàn)準備多種

32、一些果樹提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產(chǎn)量隨之降低．假設該果園每棵果樹產(chǎn)果y〔千克〕，增種果樹x〔棵〕，它們之間的函數(shù)關系如下圖． 〔1〕求y與x之間的函數(shù)關系式； 〔2〕在投入本錢最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？ 〔3〕當增種果樹多少棵時，果園的總產(chǎn)量w〔千克〕最大？最大產(chǎn)量是多少？ 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】〔1〕函數(shù)的表達式為y=kx+b，把點〔12，74〕，〔28，66〕代入解方程組即可． 〔2〕列出方程解方程組，再根據(jù)實際意義確定x的值． 〔3〕構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決

33、問題． 【解答】解：〔1〕設函數(shù)的表達式為y=kx+b，該一次函數(shù)過點〔12，74〕，〔28，66〕， 得， 解得， ∴該函數(shù)的表達式為y=﹣0.5x+80， 〔2〕根據(jù)題意，得， 〔﹣0.5x+80〕〔80+x〕=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入本錢最低． ∴x2=70不滿足題意，舍去． ∴增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克． 〔3〕根據(jù)題意，得 w=〔﹣0.5x+80〕〔80+x〕 =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5〔x﹣40〕2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，那么拋物線開口向下，函數(shù)有最大值 ∴當x=40時，w最大

34、值為7200千克． ∴當增種果樹40棵時果園的最大產(chǎn)量是7200千克． 熱點2：〔2021·江西·12分〕設拋物線的解析式為y=ax2，過點B1〔1，0〕作x軸的垂線，交拋物線于點A1〔1，2〕；過點B2〔，0〕作x軸的垂線，交拋物線于點A2；…；過點Bn〔〔〕n﹣1，0〕〔n為正整數(shù)〕作x軸的垂線，交拋物線于點An，連接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1． 〔1〕求a的值； 〔2〕直接寫出線段AnBn，BnBn+1的長〔用含n的式子表示〕； 〔3〕在系列Rt△AnBnBn+1中，探究以下問題： ①當n為何值時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？ ②設1≤k＜m≤n〔k

35、，m均為正整數(shù)〕，問：是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？假設存在，求出其相似比；假設不存在，說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】〔1〕直接把點A1的坐標代入y=ax2求出a的值； 〔2〕由題意可知：A1B1是點A1的縱坐標：那么A1B1=2×12=2；A2B2是點A2的縱坐標：那么A2B2=2×〔〕2=；…那么AnBn=2x2=2×[〔〕n﹣1]2=； B1B2=1﹣=，B2B3=﹣==，…，BnBn+1=； 〔3〕因為Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據(jù)〔2〕的結論代入所得的對應邊的比列式，計算求

36、出k與m的關系，并與1≤k＜m≤n〔k，m均為正整數(shù)〕相結合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計算相似比． 【解答】解：〔1〕∵點A1〔1，2〕在拋物線的解析式為y=ax2上， ∴a=2； 〔2〕AnBn=2x2=2×[〔〕n﹣1]2=， BnBn+1=； 〔3〕由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，那么： =， 2n﹣3=n，n=3， ∴當n=3時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形， ②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°， 有兩種情況：i〕當Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1時， =， =，

37、 =， 所以，k=m〔舍去〕， ii〕當Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm時， =， =， =， ∴k+m=6， ∵1≤k＜m≤n〔k，m均為正整數(shù)〕， ∴取或； 當時，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5， 相似比為： ==64， 當時，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4， 相似比為： ==8， 所以：存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似，其相似比為64：1或8：1． 熱點3：〔2021·貴州安順·14分〕如圖，拋物線經(jīng)過A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，〕三點． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在拋物線的對稱軸上有一

38、點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標； 〔3〕點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？假設存在，求點N的坐標；假設不存在，請說明理由． 【分析】〔1〕設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕，再把A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，〕三點代入求出a、b、c的值即可； 〔2〕因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為〔5，0〕，連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可； 〔3〕分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論． 【解答】解：〔1〕設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕， ∵A〔﹣1，0〕，B〔5，0

39、〕，C〔0，〕三點在拋物線上， ∴， 解得． ∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣； 〔2〕∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣， ∴其對稱軸為直線x=﹣=﹣=2， 連接BC，如圖1所示， ∵B〔5，0〕，C〔0，﹣〕， ∴設直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕， ∴， 解得， ∴直線BC的解析式為y=x﹣， 當x=2時，y=1﹣=﹣， ∴P〔2，﹣〕； 〔3〕存在． 如圖2所示， ①當點N在x軸下方時， ∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C〔0，﹣〕， ∴N1〔4，﹣〕； ②當點N在x軸上方時， 如圖，過點N2作N2D⊥x軸于點D， 在△AN2D與△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO〔ASA〕， ∴N2D=OC=，即N2點的縱坐標為． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+或x=2﹣， ∴N2〔2+，〕，N3〔2﹣，〕． 綜上所述，符合條件的點N的坐標為〔4，﹣〕，〔2+，〕或〔2﹣，〕． 【點評】此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答〔3〕時要注意進行分類討論．