必修5《第二章解三角形》章末測試卷含答案解析

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1、 ［學(xué)生用書單獨成冊］） （時間：100分鐘，滿分：120分） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1 .已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是（） A.（8,10）B.（乖，亞） C.（乖,10）D.（Vw,8） 12+32—a2>0 解析：選B.依題意，三角形為銳角三角形，則j〔2+a232>o'解得W

2、析：選C.根據(jù)題意，由正弦定理得, b2+ c2 a2 由余弦定理得， cos A = - > - 2bc 兀) a2wb2+c2—bc, 即 b2+ c2 — a2>bc, bc _ 1 2bc=2. ~.兀 又0VA<兀,所以0

3、兀），所以A=B=C. 所以△ABC是等邊三角形. 4 .在△ABC中，A=60°,a=b=4,那么滿足條件的4ABC（） A.有一個解B.有兩個解 C.無解D.不能確定 解析：選C.由正弦定理得asinB=bsinA=4Xsin60°=4*4=2眼. 又a=乖,且乖<2m，故^ABC無解. 5 .將村莊甲、乙、丙看成三點A、B、C,正好構(gòu)成^ABC,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,tanC=3巾.若CB?CA=|,且甲到丙的距離與乙到丙的距離之和為9,則甲、乙之間的距離為（） B. 5 C. 6D.7 解析：選C.因為tanC=3",所以sn￡=3幣,又因為sin2C

4、+cos2C=1得cosC=±\.因為tancosC18 C>0,所以C是銳角. 所以cosC=8.因為CB.Ca=|,所以abcosC=2,所以ab=20.又因為a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6,故選C. 6 .在△ABC中，若A=120°,AB=5,BC=7,則sinT的值為() sinC 85 A.5B.8 53 C.3D.5 解析：選D.由余弦定理得BC2=AB2+AC2—2AB?AC?cosA,即72=52+AC2—10AC-cos120。, 所以AC=3（負(fù)值舍去）.由正弦定

5、理得駕=第=1. sinCAB5 ,a, b, c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若 abc=16V2,則三角形的面積 7 .已知圓的半徑為4 為（） B. 872 A.2事 c2 C..2口方 解析：選C.因為 sin A sin B sin C 2R= 8, 所以 sin C= c, 8 所以 SaABc = 2absin C= a|bc = 16-6-2= V2. 8.在△ ABC 中，AB=3, A= 60° , AC = 4,則邊 BC上的高是（ ） A. C. 6 ,'13 13 3 .'39 13 B. D. 6 ,'39 13

6、 12 39 13 解析：選 B.由余弦定理，得 BC2=AB2 + AC2—2AB ? AC ? cos A, 因為 AB=3, AC = 4, A=60° , 所以BC= 713,設(shè)邊BC上的高為h, 所以 o 1 1 Saabc = 2BC - h = 2AB - AC - sin A, 即1? ^3h = 2X3X 4X^3, 所以h=6f 9. 某班設(shè)計了一個八邊形的班徽 成的正方形所組成，該八邊形的面積為 （ ） a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu) A . B. C. D. 2sin sin a 3sin 2sin a —2cos （

7、 —3cos a — #COs a — COS a + 1 解析：選 方形的邊長為 1 A.四個等腰二角形的面積之和為 4X2X 1 X 1 x sin a = 2sin a 小2+ 12—2X 1X 1X cos a =72—2cos a ,故正方形的面積為 ,再由余弦定理可得正 2—2cos a ,所以所求 八邊形的面積為2sina—2cosa+2. 10.在△ABC中，B=30°,AB=273,AC=2,則△ABC的面積為（ A.2%B.S C.2V3或4V3D.V3或2V3 解析： 選D.如圖，因為AD=AB-sinB=CD=4AC2—AD2=1,

8、 Cd=>/ac/2-ad2=1. 所以BC=3-1=2,BC'=3+1=4, 故^ABC有兩解， Saabc=1BC-AD=V3或S^ABC=1BC'-AD=2^3. 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上） 11,已知△abc的面積s=V3,a=A，則Ab-AC= 3 1 一 i 即 73=2 - AB - AC - 所以 AB - AC=4, 于是 AB - AC=|AB| . =4X 1=2. 2 答案：2 12 .在^ ABC中，若 解析：由正弦定理知 又因為B=2A,所以 |AC| ? cos A b=V2a, B =

9、 2A,則△ ABC 為 sin B= 2sin A, 三角形. sin 2A = 42sin A 所以 2sin Acos A= 2sin A, 所以 cos A=*,所以 A=45° , B=90° . 故4 ABC為等腰直角三角形. 答案：等腰直角 13 .某小區(qū)的綠化地有一個三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個頂點分別用 A, B, C表示，其 斛析：Saabc=2,AB-AC-sinA, 對邊分別為a,b,c,且滿足（2b—c）cosA-acosC=0,則在A處望B,C所成的角的大小為 解析：在^ABC中，（2b—c）cosA—acosC=0,結(jié)合正弦定理得2sin

10、BcosA—sinCcosA—sinAcosC=0,即2sinBcosA-sin（A+C）=0,即2sinBcosA-sinB=0.又因為A,BC（0,兀），所以sinBw 1兀.兀 0,所以cosA=2,所以A=—,即在A處望B,C所成的角的大小為—. ?一兀 答案：V 3 ,AC的取值范圍為 AC，. 14 .在銳角△ABC中，BC=1,B=2A,則CACa的值等于 解析：設(shè)A=0?B=20.由正弦定理得s^=sfr, 所以 2cos 0 cos 0 由銳角△ABC得0°<20<90°?0°<0<45°.又0°<180°-30<90°?30°<0<60°,故3

11、0°<0<45°?乎

12、 m. sin 45 sin 60 MN 777= sin 60 , AM 一.3 所以MN=100y3xB-=150(m). 答案：150 三、解答題(本大題共5小題，共55分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16 .(本小題滿分10分)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A +sinBsinC,且ACAB=4,求△ABC的面積S. 解：由已知得b2+c2=a2+bc, 所以bc=b2+c2—a2=2bccosA, 所以cosA=2,sinA=^23. 由AC-Ab=4,得bccosA=4,所以bc=8

13、, 所以S=2bcsinA=243. 17 .(本小題滿分10分)設(shè)^ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,7 cosB=g (1)求a,c的值； (2)求sin(A—B)的值. 解：(1)由余弦定理b2=a2+c2—2accosB, 得b2=(a+c)2_2ac(1+cosB), 又b=2,a+c=6,cosB=9, 所以ac=9,解得a=3,c=3. 4.2 9 ， (2)在△ABC中，sinB=，1-cos2B=由正弦定理得sinA=asn_B=平. b3 因為 所以 a=c,所以A為銳角. cosA=5-sin2A=3.

14、 因此 sin(A— B) = sin Acos B— cos Asin B_W_J B — 27 . V3 km有一條北偏東 18 .（本小題滿分10分）為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考 點周圍1km處不能收到手機(jī)信號，檢查員抽查青島市一考點，在考點正西約 12 km的速度沿公路行駛，問最長需要 60。方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時 多少分鐘，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多少時間該考點才算合格？ 解：如圖，考點為A,檢查開始處為B,設(shè)公路上C、D兩點到考點的距離為1km. 在△ABC中，AB=0AC=1,

15、 由正弦定理，得sin/ACB=sinA0?AB=^3, 所以/ACB=120°(/ACB=60°不合題意), 所以/BAC=30°,所以BC=AC=1, 在AACD中，AC=AD,/ACD=60°, 所以△ACD為等邊三角形，所以CD=1.BC 因為7!*60=5(min), 所以在BC上需5min,CD上需5min.最長需要5min檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)5min才算合格. 19 .(本小題滿分12分)如圖，A,B是海面上位于東西方向相距5(3+J3)海里的兩個觀測點，現(xiàn) 位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°與B點

16、相距205海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)點需要多長時間？ 北D 北 B 解：連接DC. B |北D 45 ［北 由題意知AB=5(3+43)海里， /DBA=90°—60°=30°,/DAB=90°—45°=45°,則/ADB=180°—(45°+30°)=105°. 在△DAB中，由正弦定理得 DB AB sin/DABsin/ADB' 所以DB = ABsin/ DAB sin/ADB 5(3+g)sin45° sin105° 得CD=30（海里），則需要的時間tn^nM小時）. 30 所以該救援船

17、到達(dá)D點需要1小時. a, b, c,右 a = 20 .（本小題滿分13分）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為2bsinA. （1）求B的大?。? （2）求cosA+sinC的取值范圍. 解：⑴由a=2bsinA, 根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA, 所以sinB=J,由^ABC為銳角三角形得B=~~.26 一..-...兀A、 (2)cosA+sinC=cosA+sin(兀———A) 兀 =cosA+sin(-+A) 13 =cosA+2cosA+sinA U?….兀 =V3sin(A+-3-). 由^ABC為銳角三角形且B=p口，

18、 A+C=t，因0