數(shù)學第二章 函數(shù) 2.8 函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、2.8 函數(shù)模型及其應(yīng)用高考數(shù)學高考數(shù)學考點函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用考點函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度的比較:一般地,在區(qū)間(0,+)上,盡管函數(shù)y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函數(shù),但是它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大,y=ax(a1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn(n0)的增長速度;而y=logax(a1)的增長速度會越來越慢.因此,總會存在一個x0,當xx0時,有l(wèi)ogaxxn1,n0).2.函數(shù)模型及其應(yīng)用(1)常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)

2、函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.知識清單(2)函數(shù)模型的應(yīng)用實例的基本類型:給定函數(shù)模型解決實際問題;建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題;建立擬合函數(shù)模型解決實際問題.(3)函數(shù)建模的基本流程 建立確定性函數(shù)模型解決實際問題建立確定性函數(shù)模型解決實際問題1.在現(xiàn)實生活中,有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系,對這類問題,可以構(gòu)建一次函數(shù)模型,其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0).有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系,如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等.對這些問題,可以構(gòu)建二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決.2.當兩變量之間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式表示,而是由幾

3、個不同的關(guān)系式構(gòu)成時,可以構(gòu)造分段函數(shù)模型,先將其作為幾個不同問題,將各段的變化規(guī)律找出來,再將其合在一起,要注意各段自變量的范圍,特別是端點值.3.指數(shù)函數(shù)模型常與人口增長、銀行利率、細胞分裂等相結(jié)合進行考方法技巧方法1查;而對數(shù)函數(shù)模型常與價格指數(shù)、環(huán)境承載力等有一定的聯(lián)系.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型或?qū)?shù)函數(shù)模型時,關(guān)鍵是對模型的判定,從而建立形如y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(a0,b0,且b1,c0)的函數(shù)模型,再利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象來處理.例1 (2016湖北荊州中學質(zhì)檢,9)我們處在一個有聲世界里,不同場合,人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分

4、貝(dB),對于一個強度為I的聲波,其音量的大小可由如下公式計算:=10lg(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度),則70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的()A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍0II767676C解析由=10lg 得I=I01,所以I1=I0107,I2=I0106,所以=10,所以70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的10倍,故選C. 0II10012II例2 (2017江蘇南京、鹽城一模,18)如圖所示,某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心,其中AE=30米.活動中心東西走向

5、,與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下半部分是長方形ABCD,上半部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿足tan =.(1)若設(shè)計AB=18米,AD=6米,問能否保證題干中的采光要求?(2)在保證題干中的采光要求的前提下,如何設(shè)計AB與AD的長度,可使得活動中心的截面面積最大?(注:計算中取3)34 解析如圖所示,以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.(1)因為AB=18米,AD=6米,所以半圓的圓心坐標為H(9,6),半徑r=9米.設(shè)太陽光

6、線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,則由=9,解得b=24或b=(舍).故太陽光線所在直線方程為y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米2.5米.所以此時能保證采光要求.(2)設(shè)AD=h米,AB=2r米,則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r.解法一:設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),3422|27244 |34b3234323422|344 |34rhb12故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y,得h25-2r,所以S=2rh+r2=2rh+r22r(2

7、5-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,當且僅當r=10時取等號.所以當AB=20米且AD=5米時,可使得活動中心的截面面積最大.解法二:易知當EG恰為2.5米時,活動中心的截面面積最大,此時點G的坐標為(30,2.5),設(shè)過點G的太陽光線所在直線為l1,則l1的方程為y-=-(x-30),即3x+4y-100=0.344525212323252525234由直線l1與半圓H相切,得r=.而點H(r,h)在直線l1的下方,則3r+4h-1000,即r=-,從而h=25-2r.S=2rh+r2=2r(25-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,當且僅當r=10時取等號,所以當AB=20米且AD=5米時,可使得活動中心的截面面積最大.|34100|5rh341005rh12325252