物理第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 4.4 萬有引力與航天

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1、第4講萬有引力與航天 【知識(shí)導(dǎo)圖】橢圓一個(gè)焦點(diǎn)面積半長(zhǎng)軸周期質(zhì)量m1和m2的乘積它們之間距離r的二次方122m mGr質(zhì)量分布均勻GMRgR【微點(diǎn)撥】1.同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”:(1)軌道平面一定:軌道平面與赤道平面共面。(2)周期一定:與地球自轉(zhuǎn)周期相同。(3)角速度一定:與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。(4)高度一定:h= 6R。(5)速率一定:v= 。(6)繞行方向一定:與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。232GMTR4GMR h2.近地衛(wèi)星特點(diǎn):(1)近地衛(wèi)星的軌道半徑約等于地球半徑。(2)近地衛(wèi)星的速度即第一宇宙速度,是最大環(huán)繞速度?！净垩奂m錯(cuò)】(1)只有較大物體如天體間存在萬有引力。糾錯(cuò):_。(2)所

2、有行星繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓,太陽位于橢圓的中心。糾錯(cuò):_。所有物體間都存在萬有引力太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上(3)兩物體間的距離趨近于零時(shí),萬有引力趨近于無窮大。糾錯(cuò):_。(4)同步衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京市的上方。糾錯(cuò):_。兩物體間的距離趨近于零時(shí),萬有引力定律不適用同步衛(wèi)星只能定點(diǎn)于赤道正上方(5)各天體的第一宇宙速度都是7.9 km/s。糾錯(cuò):_。(6)第一宇宙速度是最大發(fā)射速度、最小環(huán)繞速度。 糾錯(cuò):_。不同天體的第一宇宙速度不同第一宇宙速度是最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度考點(diǎn)1中心天體質(zhì)量和密度的估算【典題探究】 【典例1】(多選)(2016海南高考)通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的

3、質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),除了引力常量外,至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是()導(dǎo)學(xué)號(hào)04450092A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑【解題探究】(1)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),_提供向心力,_= (2)衛(wèi)星質(zhì)量對(duì)運(yùn)算結(jié)果有無影響?提示:因?yàn)殛P(guān)系式中的衛(wèi)星質(zhì)量m被約掉,所以衛(wèi)星質(zhì)量對(duì)運(yùn)算結(jié)果無影響。萬有引力2MmGr2222v4 rmm rmrT 【解析】選A、D。根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r= 根據(jù)萬有引力提供向心力: 整理可以得到: 故選項(xiàng)A正確,B、C錯(cuò)誤;若知道衛(wèi)星的周期和半徑

4、,則 整理得到:M= 故選項(xiàng)D正確。v，22GMmvmrr，23v rvMGG，22GMm2m() rrT，2 324 rGT， 【通關(guān)秘籍】 天體質(zhì)量和密度計(jì)算兩法1.“g、R”法:已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由 ，得天體質(zhì)量 。(2)天體密度 2MmGmgR2gRMG3MM3g4V4 GRR3。2.“T、r”法:測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由 ,得M= 。(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度 222Mm4GmrrT2 324 rGT3MM4VR33233 rGT R。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行,可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度 故只

5、要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體的密度。23GT?！究键c(diǎn)沖關(guān)】 1.(多選)我國計(jì)劃在2018年發(fā)射“嫦娥四號(hào)”,它是嫦娥探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星,主要任務(wù)是更深層次、更加全面地科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息,完善月球檔案資料。已知月球的半徑為R,月球表面的重力加速度為g,引力常量為G,“嫦娥四號(hào)”離月球中心的距離為r,繞月周期為T。根據(jù)以上信息可求出()A. “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為 B. “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為 C.月球的平均密度為 D.月球的平均密度為 2gRr2grR3233 rGT R23GT【解析】選A、C。月球表面任意一物體重

6、力等于萬有引力mg= ,則有GM=R2g,“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行時(shí),萬有引力提供向心力 =m ,得v= ,由得v= ,故A正確,B錯(cuò)誤;“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行時(shí),根據(jù)萬有引力提供向心力,有 ,得M= ;月球的平均密度為= ,故C正確,D錯(cuò)誤。2GMmR2GMmR2vrGMr2gRr222GMm4mrrT2 324 rGT2 3322334 rM3 rGT4VGT RR32.假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G。地球的密度為()0022000223 gg3 gA. B. GT gGT gg3 g3C. D.GT

7、GT g【解析】選B。在兩極時(shí)有G =mg0,得地球質(zhì)量M= ;在赤道時(shí)有mg0-mg=m R,得地球半徑R= ,所以地球密度= ,選項(xiàng)B正確。2MmR20g RG224T202gg T40230gM34GT ggR3【加固訓(xùn)練】(多選)如圖所示, 飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),星球相對(duì)飛行器的張角為。下列說法正確的是()A.軌道半徑越大,周期越長(zhǎng)B.軌道半徑越大,速度越大C.若測(cè)得周期和張角,可得到星球的平均密度D.若測(cè)得周期和軌道半徑,可得到星球的平均密度【解析】選A、C。萬有引力提供向心力 ,可得 ,軌道半徑越大,周期越長(zhǎng),A項(xiàng)正確;萬有引力提供向心力 可得 ,軌道半徑越大,速度越小,

8、B項(xiàng)錯(cuò)誤;如果測(cè)出周期,則有 ,如果再知道張角,則能通過幾何222Mm4GmRRT3RT 2GM 22MmvGmRRGMvR2324 RMGT關(guān)系求得該星球半徑為 ,從而求出星球的體積 ,兩者結(jié)合可求得星球的平均密度 ,C項(xiàng)正確;而D項(xiàng)中由軌道半徑無法求得星球半徑,故不能得到星球的平均密度,D項(xiàng)錯(cuò)誤。rRsin234Vr3 334R (sin )32 MV23233234 R3GT4R (sin )GT (sin )322考點(diǎn)2衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律【典題探究】 【典例2】(2017全國卷)2017年4月,我國成功發(fā)射的“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接,對(duì)接形成的組合體仍

9、沿“天宮二號(hào)”原來的軌道(可視為圓軌道)運(yùn)行。與“天宮二號(hào)”單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比,組合體運(yùn)行的()導(dǎo)學(xué)號(hào)04450093 A.周期變大B.速率變大C.動(dòng)能變大D.向心加速度變大【解析】選C。根據(jù)萬有引力提供向心力有 ,可得周期T=2 ,速率v= ,向心加速度a= ,對(duì)接前后,軌道半徑不變,則周期、速率、向心加速度均不變,質(zhì)量變大,則動(dòng)能變大,選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤。222GMm2vm(rmmarTr）3rGMGMr2GMr 【遷移訓(xùn)練】 遷移1:衛(wèi)星的定性判斷問題(多選)(2017江蘇高考)“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空,與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接

10、前,“天舟一號(hào)”在距離地面約380 km的圓軌道上飛行,則其 ()A.角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度B.線速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自轉(zhuǎn)周期D.向心加速度小于地面的重力加速度【解析】選B、C、D。根據(jù)G =m2r=ma知,“天舟一號(hào)”的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度,而同步衛(wèi)星的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度,所以“天舟一號(hào)”的角速度大于地球自轉(zhuǎn)角速度,周期小于地球自轉(zhuǎn)的周期,選項(xiàng)A錯(cuò)誤、C正確;第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度,2Mmr所以“天舟一號(hào)”的線速度小于第一宇宙速度,B正確;地面重力加速度為 g= ,故“天舟一號(hào)”的向心加速度a小于地面的重力加速度g,故D正確。2GMR遷移2:衛(wèi)星的定量計(jì)

11、算問題(2016全國卷)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星,可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊。目前,地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍,假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小,若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的,則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()A.1 h B.4 hC.8 hD.16 h【解析】選B。由于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同,假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小,則同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期變小,軌道半徑變小,由幾何關(guān)系可知軌道半徑最小值為2R,據(jù) 可得T最小= T自=4 h,故選B。222Mm4GmrrT322R()6.6R遷移3:幾類特殊衛(wèi)星的比較(2018淄博模擬)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星

12、,a還未發(fā)射,在赤道表面上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng),b是近地軌道衛(wèi)星,c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測(cè)衛(wèi)星,它們均做勻速圓周運(yùn)動(dòng),各衛(wèi)星排列位置如圖所示,則()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)C.c在4小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是 D.d的運(yùn)動(dòng)周期有可能是20小時(shí)6【解析】選B。a與c的角速度相等,由a向=2r知a的向心加速度小于c的向心加速度,c的向心加速度小于g,所以a的向心加速度小于g,A錯(cuò)誤。a、b、c、d四顆衛(wèi)星中,b的線速度最大,所以在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng),B正確。c的周期為24小時(shí),c在4小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角=t= ,C錯(cuò)誤。由T= 知d的周期大于c的周期,大于

13、24小時(shí),D錯(cuò)誤。24243 2 34 rGM 【通關(guān)秘籍】 利用萬有引力解決衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題的思路:(1)一個(gè)模型:衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)兩組公式。 =mg(g為星體表面的重力加速度)。222n22Mmv4GmmrmrmarrT 2MmGr(3)一句口訣:越遠(yuǎn)越慢,越遠(yuǎn)越小。越遠(yuǎn)越慢:衛(wèi)星離中心天體越遠(yuǎn),v、越小、T越大。越遠(yuǎn)越小:衛(wèi)星離中心天體越遠(yuǎn),an越小。考點(diǎn)3航天器的變軌問題【典題探究】 【典例3】(2016天津高考)我國即將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室,之后發(fā)射“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”對(duì)接。假設(shè)“天宮二號(hào)”與“神舟十一號(hào)”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),為了實(shí)現(xiàn)飛

14、船與空間實(shí)驗(yàn)室的對(duì)接,下列措施可行的是導(dǎo)學(xué)號(hào)04450094()A.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行,然后飛船加速追上空間實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)對(duì)接B.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行,然后空間實(shí)驗(yàn)室減速等待飛船實(shí)現(xiàn)對(duì)接C.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室,兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接D.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室,兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接 【解題探究】(1)原來做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的飛船,若速度增大,飛船將如何運(yùn)動(dòng)?提示:飛船加速后,萬有引力不足以提供向心力,飛船將遠(yuǎn)離原來的軌道。(2)原來做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的飛船,若速度減小,飛船將如何運(yùn)

15、動(dòng)?提示:飛船減速后,萬有引力大于所需向心力,飛船將進(jìn)入低軌道。【解析】選C。若使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行,然后飛船加速,則由于所需向心力變大,F供F需,空間實(shí)驗(yàn)室將脫離原軌道而進(jìn)入更低的軌道,不能實(shí)現(xiàn)對(duì)接,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;要想實(shí)現(xiàn)對(duì)接,可使飛船在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑較小的軌道上加速,F供F需,則飛船將進(jìn)入更低的軌道,從而不能實(shí)現(xiàn)對(duì)接,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 【通關(guān)秘籍】 1.變軌分析:(1)衛(wèi)星在圓軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí), 222mMvGmm rrr 22m() rT。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時(shí), ,即萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng),脫離原來的圓軌道,軌道半徑變大。當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)

16、,由 v= 可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小,但重力勢(shì)能、機(jī)械能均增加。22MmvGmrrGMr(3)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí), ,即萬有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng),脫離原來的圓軌道,軌道半徑變小。當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí),由 v= 可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大,但重力勢(shì)能、機(jī)械能均減小。22MmvGmrrGM r2.三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較:(1)速度:變軌前后,航天器在不同軌道上的速度大小,或根據(jù)離心運(yùn)動(dòng)的條件判斷,或根據(jù)近心運(yùn)動(dòng)的條件判斷,或根據(jù)開普勒第二定律判斷,或根據(jù)“越遠(yuǎn)越慢”判斷。(2)加速度:變軌前后,航天器的加速度大小可根據(jù)牛頓第二定律判斷。(3)周期:變軌前后,

17、航天器在不同軌道上的運(yùn)行周期的大小可根據(jù)開普勒第三定律 =k判斷。32rT 【考點(diǎn)沖關(guān)】 1.(多選)(2018鄂州模擬)目前,在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運(yùn)轉(zhuǎn),其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓,且軌道半徑逐漸變小。若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中,只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用,則下列判斷正確的是()A.衛(wèi)星的動(dòng)能逐漸減小B.由于地球引力做正功,引力勢(shì)能一定減小C.由于氣體阻力做負(fù)功,地球引力做正功,機(jī)械能保持不變D.衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢(shì)能的減小量【解析】選B、D。當(dāng)衛(wèi)星的半徑減小時(shí),由v= 可知,其動(dòng)能增大;由于引力做正功,故引力勢(shì)能一定減小,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B正確。氣體阻力

18、做功,使系統(tǒng)的機(jī)械能減小,且有 =E,由于動(dòng)能增加,故引力勢(shì)能的減小量大于機(jī)械能的減小量,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確。GMrfFW2.(2016北京高考改編)如圖所示,一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運(yùn)行,在P點(diǎn)變軌后進(jìn)入軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是()A.不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)的速度都相同B.不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度都相同C.衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度D.衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同速度【解析】選B。衛(wèi)星在軌道1經(jīng)過P點(diǎn)后做近心運(yùn)動(dòng),則有 ,衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則有 ,故vP2vP1,因此衛(wèi)星從軌道1變軌到軌道2,需要加速,

19、選項(xiàng)A錯(cuò)誤;不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行,衛(wèi)星在P點(diǎn)只受萬有引力,由牛頓第二定律 =ma得a= ,故只要半徑相同,加速度的大小就相同,由于衛(wèi)2P12vMmGmrr2P22vMmGmrr。2MmGr2GMr星在軌道1做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)半徑在變化,所以加速度在變化,故選項(xiàng)B正確,C錯(cuò)誤;衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng),速度的大小不變,方向時(shí)刻改變,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。3.(多選)發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí),先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點(diǎn)火,使其沿橢圓軌道2運(yùn)行,最后再次點(diǎn)火,將衛(wèi)星送入同步圓軌道3,軌道1和2相切于Q點(diǎn),軌道2和3相切于P點(diǎn),設(shè)衛(wèi)星在軌道1和軌道3正常運(yùn)行的速度和加速度分別為v1、v3和a1、a

20、3,在軌道2經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度和加速度為v2和a2,且當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)周期分別為T1、T2、T3,以下說法正確的是導(dǎo)學(xué)號(hào)04450095()A.v1v2v3B.v1v3v2C.a1a2a3D.T1T2a3,在軌道2經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度a2=a3,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。根據(jù)開普勒第三定律,衛(wèi)星在軌道1、2、3上正常運(yùn)行時(shí)周期T1T2T3,選項(xiàng)D正確?！炯庸逃?xùn)練】已知某衛(wèi)星在赤道上空軌道半徑為r1的圓形軌道上繞地運(yùn)行的周期為T,衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,赤道上某城市的人每三天恰好五次看到衛(wèi)星掠過其正上方,假設(shè)某時(shí)刻,該衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道(如圖所示),近地點(diǎn)B到地心距離為r2。

21、設(shè)衛(wèi)星由A到B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,地球自轉(zhuǎn)周期為T0,不計(jì)空氣阻力,則()A.T= T0B.t= C.衛(wèi)星在圖中橢圓軌道由A到B時(shí),機(jī)械能增大D.衛(wèi)星由圖中圓軌道進(jìn)入橢圓軌道過程中,機(jī)械能不變38121211rrT rr2r2r（）【解析】選A。根據(jù)題意有: ,得T= T0,所以A正確;由開普勒第三定律有得t= ,所以B錯(cuò)誤;衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí),機(jī)械能是守恒的,所以C錯(cuò)誤;衛(wèi)星從圓軌道進(jìn)入橢圓軌道過程中在A點(diǎn)需點(diǎn)火減速,衛(wèi)星的機(jī)械能減小,所以D錯(cuò)誤。000223T3T 52TT38 33121221rr r2,T2t121211rr Trr4r2r考點(diǎn)4雙星或多星問題【典題探究】 【典例4】(

22、2018丹東模擬)2016年2月11日,美國科學(xué)家宣布探測(cè)到引力波的存在,引力波的發(fā)現(xiàn)將為人類探索宇宙提供新視角,這是一個(gè)劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)。在如圖所示的雙星系統(tǒng)中,A、B兩個(gè)恒星靠著相互之間的引力正在做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知恒星A的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的29倍,恒星B的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的36倍,兩星之間的距離L=2105 m,太陽質(zhì)量M=21030 kg,萬有引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2。若兩星在環(huán)繞過程中會(huì)輻射出引力波,該引力波的頻率與兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率具有相同的數(shù)量級(jí),則根據(jù)題目所給信息估算該引力波頻率的數(shù)量級(jí)是()A.102 HzB.104 HzC.106 HzD.108 Hz【題眼

23、直擊】(1)雙星系統(tǒng)_提供向心力。(2)引力波的頻率與兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率具有相同的數(shù)量級(jí)。相互的引力【解析】選A。A、B的周期相同,角速度相等,靠相互的引力提供向心力,由牛頓第二定律得,對(duì)A有 對(duì)B有 又有rA+rB=L,解得則 1.6102 Hz,故選項(xiàng)A正確。2ABAA22m m4 rGmLT，2ABBB22m m4 rGmLT，3BABB36Lm363665LLL T 2mm36 2965Gm ，1130B35 3Gm1116.67 1036 2 10fHz 3636T22 3.14L(2 10 )6565 【通關(guān)秘籍】 1.“雙星”問題:(1)特點(diǎn)。兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力

24、是由它們之間的萬有引力提供的,故兩行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等。兩顆行星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的。兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系:r1+r2=L。(2)規(guī)律。G =m12r1G =m22r2(3)推論:由(2)中兩式可得:m1r1=m2r2。122mmL122mmL2.“多星”問題:(1)多顆行星在同一軌道繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),每顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他各個(gè)行星對(duì)該行星的萬有引力的合力提供。(2)每顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同,運(yùn)行周期、角速度和線速度大小相等。 【考點(diǎn)沖關(guān)】 1. (多選)(2018西

25、安模擬)如圖,甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠(yuǎn)的三顆恒星,甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運(yùn)行,若三顆星質(zhì)量均為M,引力常量為G,則()A.甲星所受合外力為 B.乙星所受合外力為 C.甲星和丙星的線速度相同D.甲星和丙星的角速度相同225GM4R22GMR【解析】選A、D。由萬有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之間的萬有引力為F1=G ,甲、丙之間的萬有引力為F2=G ,甲星所受兩個(gè)引力的方向相同,故合力為F1+F2= ,A項(xiàng)正確;乙星所受兩個(gè)引力等大、反向,合力為零,B項(xiàng)錯(cuò)誤;甲、丙兩星線速度方向始終不同,C項(xiàng)錯(cuò)誤;由題知甲、丙兩星周期相同,由角速度定義可知,兩星角速度相同,D項(xiàng)正確。

26、2MMR222MMGM2R4R（ ）225GM4R2.美國宇航局利用開普勒太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的雙星系統(tǒng),命名為“開普勒-47”,該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi),距離地球大約5 000光年。這一新的系統(tǒng)有一對(duì)互相圍繞運(yùn)行的恒星,運(yùn)行周期為T,其中一顆大恒星的質(zhì)量為M,另一顆小恒星質(zhì)量只有大恒星質(zhì)量的三分之一。已知引力常量為G,則下列判斷正確的是()A.兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1 1B.兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1 2C.兩顆恒星相距 D.兩顆恒星相距 232GMT3232GMT4【解析】選C。兩恒星運(yùn)動(dòng)的周期相同,向心力都來源于萬有引力,所以M r1= r2,解得 。又r1+r2=L,G =M r1,聯(lián)立

27、得L= ,選項(xiàng)C正確。22()T2M 2()3T12r1r322M3L22()T232GMT33.宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng),通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m,半徑均為R,四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上,其中L遠(yuǎn)大于R。已知萬有引力常量為G。忽略星體自轉(zhuǎn)效應(yīng),關(guān)于四星系統(tǒng),下列說法正確的是()A.四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為 B.四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度均為 C.四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為 D.四顆星表面的重力加速度均為 L2Gm22L4（）32L242 Gm2mGR【解析】選C、D。如圖所示,四顆星均圍繞正方形對(duì)

28、角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑均為 取任一頂點(diǎn)上的星體為研究對(duì)象,它受到相鄰的兩個(gè)星體與對(duì)角線上的星體的萬有引力的合力為 由2rL2。2222mmF2GGL( 2L)合。222v4FFmmrrT合向 ，可解得 故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤,C正確;對(duì)于星體表面質(zhì)量為m0的物體,受到的重力等于萬有引力,則有m0g= 故g= 選項(xiàng)D正確。3Gm22Lv(1T 2L442 Gm)， ，02mmGR，2mGR，4.雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成,兩恒星在相互引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn),雙星系統(tǒng)演化過程中,兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,經(jīng)過一段時(shí)間演化后,兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍,兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍,則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為()3322nnnnA.T B.T C.T D.Tkkkk【解析】選B。設(shè)兩顆星的質(zhì)量分別為m1、m2,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2,根據(jù)萬有引力提供向心力得 解得m1+m2= 即T2= 因此當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍,兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí),兩星圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T= T,故選項(xiàng)B正確,A、C、D錯(cuò)誤。221212112222221212m mm m44Gmr,Gmr ,TTrrrr321224rr,GT3212124rr,G mm3nk