直線與方程 知識點總結(jié) 例題習(xí)題精講 詳細(xì)答案 提高訓(xùn)練

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1、精品文檔，值得收藏！ 課程星級：★★★★ 知能梳理 【知識點一：傾斜角與斜率】 （1）直線的傾斜角 ①關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。 ②直線與軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為 ③傾斜角的范圍 （2）直線的斜率 ①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在. 記作 ⑴當(dāng)直線與軸平行或重合時, , ⑵當(dāng)直線與軸垂直時, ,不存在. ②經(jīng)過兩點的直線的斜率公式是 ③每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式求斜率； ②已知直線

2、的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來求斜率； （4）利用斜率證明三點共線的方法： 已知，若，則有A、B、C三點共線。 【知識點二：直線平行與垂直】 （1）兩條直線平行：對于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有 特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時，的關(guān)系為平行 （2）兩條直線垂直：如果兩條直線斜率存在，設(shè)為，則有 注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確； 由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，互相垂直. 【知識點三：直線的方程】 （1） 直線方程的幾種形式 需要更

3、多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪..： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】 名稱 方程的形式 已知條件 局限性 ①點斜式 為直線上一定點， 為斜率 不包括垂直于軸的直線 ②斜截式 為斜率，是直線在軸 上的截距 不包括垂直于軸的直線 ③兩點式 不包括垂直于軸和軸的直線 ④截距式 是直線在軸上的非零截距，是直線在軸上的非零截距 不包括垂直于軸和軸或過原點的直線 ⑤一般式 無限制，可表示任何位置的直線 問題：過兩點的直線是否一定可用兩點式

4、方程表示？ 【不一定】 (1)若，直線垂直于軸,方程為； (2)若，直線垂直于軸,方程為； (3)若，直線方程可用兩點式表示 直線的點斜式方程實際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式； 利用斜截式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否. 用截距式方程表示直線時，要注意以下幾點：方程的條件限制為，即兩個截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長度. 截距與距離的區(qū)別：截距的值有正、負(fù)、零。距離的值是非負(fù)數(shù)。截距是實數(shù)，不是“距離”，可正可負(fù)。 截距式方程的應(yīng)用 ①與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為: |a|+

5、|b|+； ②直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為: S= ； ③直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則或直線過原點，常設(shè)此方程為 （2）線段的中點坐標(biāo)公式 【知識點四 直線的交點坐標(biāo)與距離】 （1）兩條直線的交點 設(shè)兩條直線的方程是, 兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組的解。 ①若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)； ②若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行. （2）幾種距離 兩點間的距離：平面上的兩點間的距離公式 特別地，原點與任一點的距離 點到直線的距離：點到直線的距離 兩條平行線間的距離：兩條平行線間的距離 注:1求點到直

6、線的距離時，直線方程要化為一般式； 2求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計算。 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪..： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】 精講精練 【例】已知，，直線過原點O且與線段AB有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（　?。? A B C D 答案：B 分析：由于直線與線段AB有公共點，故直線的斜率應(yīng)介于OA，OB斜率之間． 解：由題意，，，由于直線與線段AB有

7、公共點， 所以直線的斜率的取值范圍是 考點：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線與線段AB有公共點，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解． 【例】在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有（　?。? A 1條 B 2條 C 3條 D 4條 答案：B 分析：由題意，A、B到直線距離是1和2，則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條數(shù)即可． 解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求． 考點：本題考查點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想 【例】將直線l1：y

8、=2x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得直線l2，則直線l2到直線l3：x+2y﹣3=0的角為（　　） A 30° B 60° C 120° D 150° 答案：A 分析：結(jié)合圖象，由題意知直線l1l3互相垂直，不難推出l2到直線l3：x+2y﹣3=0的角． 解：記直線l1的斜率為k1，直線l3的斜率為k3，注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依題意畫出示意圖，結(jié)合圖形分析可知，直線l2到直線l3的角是30° 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解

9、答) 或者搜.店.鋪..： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】 考點：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式 【例】方程所表示的圖形的面積為_________。 答案： 解：方程所表示的圖形是一個正方形，其邊長為 【例】設(shè)，則直線恒過定點 ． 答案： 解：變化為 對于任何都成立，則 【例】一直線過點，并且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為，這條直線方程是__________． 答案：，或 解：設(shè) 【例】已知A（1，2），B（3，4），直線l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、設(shè)Pi是li（i=1，2，3）上與

10、A、B兩點距離平方和最小的點，則△P1P2P3的面積是________ 答案： 分析：設(shè)出P1，P2，P3，求出P1到A，B兩點的距離和最小時，P1坐標(biāo)，求出P2，P3的坐標(biāo)，然后再解三角形的面積即可． 解：設(shè)P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0） 由題設(shè)點P1到A，B兩點的距離和為 顯然當(dāng)b=3即P1（0，3）時，點P1到A，B兩點的距離和最小，同理P2（2，0），P3（1，0），所以 考點：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題． 【例】已知直線（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，為使這條直線不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)a的范圍是

11、___ ___ 答案：[2，+∞） 分析：由已知中直線（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a﹣2=0（斜率不存在），a﹣2≠0（斜率存在）兩種情況，討論滿足條件的實數(shù)a的取值，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，得到答案． 解：若a﹣2=0，即a=2時，直線方程可化為x=，此時直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件； 若a﹣2≠0，直線方程可化為y=x﹣，此時若直線不經(jīng)過第二象限，則≥0，≥0，解得a＞0 綜上滿足條件的實數(shù)a的范圍是[2，+∞） 考點：本題考查的知識點是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程中，當(dāng)k≥0且b≤0時，直線不過第二象限得到關(guān)于a的不等式組，是

12、解答本題的關(guān)鍵，但解答時，易忽略對a﹣2=0（斜率不存在）時的討論，而錯解為（2，+∞）。 【例】過點作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為。 解：設(shè)直線為交軸于點，交軸于點， 得，或 解得或 ，或為所求。 【例】直線和軸，軸分別交于點，在線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊△，如果在第一象限內(nèi)有一點使得△和△的面積相等，求的值。 解：由已知可得直線，設(shè)的方程為 則，過 得 【例】已知點，，點在直線上，求取得最小值時點的坐標(biāo)。 解：設(shè)，則 當(dāng)時，取得最小值，即 【例】求函數(shù)的最小值。 解：可看作點到點和點的距離之和，作點關(guān)于軸對稱

13、的點 【例】在△ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x﹣2y+1=0，∠ A的平分線所在直線的方程為y=0．若點B的坐標(biāo)為（1，2），求點C的坐標(biāo)． 分析：根據(jù)三角形的性質(zhì)解A點，再解出AC的方程，進(jìn)而求出BC方程，解出C點坐標(biāo)．逐步解答． 解：點A為y=0與x﹣2y+1=0兩直線的交點，∴ 點A的坐標(biāo)為（﹣1，0）． ∴ kAB==1． 又∵∠A的平分線所在直線的方程是y=0，∴ kAC=﹣1． ∴ 直線AC的方程是y=﹣x﹣1． 而BC與x﹣2y+1=0垂直，∴ kBC=﹣2． ∴ 直線BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）． 由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，

14、 解得C（5，﹣6） 考點：直線的點斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解 【例】直線l過點P（2，1），且分別與x ，y軸的正半軸于A，B兩點，O為原點． （1）求△AOB面積最小值時l的方程； （2）|PA|?|PB|取最小值時l的方程． 分析：（1）設(shè)AB方程為，點P（2，1）代入后應(yīng)用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面積面積的最小值．（2）設(shè)直線l的點斜式方程，求出A，B兩點的坐標(biāo)，代入|PA|?|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件． 解：（1）設(shè)A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程為，點P（2

15、，1）代入得 ≥2，∴ab≥8 （當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時，等號成立）， 故三角形OAB面積S=ab≥4，此時直線方程為：，即x+2y﹣4=0． （2）設(shè)直線l：y﹣1=k（x﹣2），分別令y=0，x=0，得A（2﹣，0），B（0，1﹣2k）． 則|PA|?|PB|==≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)k2=1，即k=±1時，|PA|?|PB|取最小值， 又∵ k＜0，∴ k=﹣1，這時l的方程為x+y﹣3=0． 考點：本題考查直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用． 【例】求傾斜角是直線y＝－x＋1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(，－

16、1)；(2)在y軸上的截距是－5. 解：∵直線的方程為y＝－x＋1，∴k＝－，傾斜角α＝120°， 由題知所求直線的傾斜角為30°，即斜率為. (1)∵直線經(jīng)過點(，－1)，∴所求直線方程為y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0. (2)∵直線在y軸上的截距為－5，∴由斜截式知所求直線方程為y＝x－5，即x－3y－15＝0. 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪..： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】 【例】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0 (1)證明：直線l過定點； (2)若直線l

17、交x負(fù)半軸于A，交y正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程。 解：(1) 證明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0， ∴無論k取何值，直線過定點(－2,1)。 (2) 令y＝0得A點坐標(biāo)為(－2－，0)， 令x＝0得B點坐標(biāo)為(0,2k＋1)(k＞0)， ∴S△AOB＝|－2－||2k＋1| ＝(2＋)(2k＋1) ＝(4k＋＋4) ≥(4＋4)＝4 當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時取等號。 即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0 ， 即x－2y＋4＝0 【例】已知函數(shù)，g（x）=x+a（a＞0） （1）求a的值，使點M（f（

18、x），g（x））到直線x+y﹣1=0的最短距離為； （2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍。 分析：（1）先用點到直線的距離公式表示距離，利用換元法，進(jìn)而利用二次函數(shù)的配方法即可求解； （2）將絕對值符號化去，從而轉(zhuǎn)化為上恒成立，進(jìn)而利用換元法轉(zhuǎn)化為at2﹣2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，從而得解． 解：（1）由題意得M到直線的距離， 令 則 ∵ t≥0 ∴ a≥1時， 即t=0時， ∴ a =30＜a＜1時，dmin=0，不合題意 綜上a=3 （2）由 即上恒成立，也就是在[1，4]上恒成立 令，且x=t2，t∈[1，2] ，由題

19、意at2﹣2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立 設(shè)?（t）=at2﹣2t+a2，則要使上述條件成立，只需 即滿足條件的a的取值范圍是 考點：本題以函數(shù)為載體，考查點線距離，考查恒成立問題，關(guān)鍵是掌握距離公式，熟練恒成立問題的處理策略． 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.： 高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答) 或者搜.店.鋪..： 龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】 學(xué)習(xí)感悟 通過本課程的學(xué)習(xí)： 一、“知能梳理”模塊里的知識點你都掌握了嗎？ 1、需要鞏固的知識點： 2、尚未掌握的知識點： 二、“精講精練”模塊里的例題你都掌握了嗎？ 1、完全掌握的例題： 2、需要再次復(fù)習(xí)得例題： 3、尚未掌握的例題： 三、其他備注 精品文檔，值得下載！