高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 75 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 （理） 新人教A版

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1、第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線和此平面垂直相交(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)直線垂直于同一直線的兩平面2斜線和平面所成的角斜線和所成的銳角任意平行它在平面內(nèi)的射影3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的，則這兩個(gè)平面垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平

2、面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于的直線垂直于另一個(gè)平面一條垂線交線4二面角的平面角從二面角的棱上一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱 的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角垂直1設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)l時(shí)，lm且ln.但當(dāng)lm，ln時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l.答案：A2已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正確命題的序號(hào)是()A BC D解析：由線面垂直的性質(zhì)知正確；由面面平行的定義知，m、n可能平行，也可能異面，

3、所以錯(cuò)誤；對(duì)于中n也可能n，正確答案：D3設(shè)平面，且l，直線a，直線b，且a不與l垂直，b不與l垂直，則a與b()A可能垂直，不可能平行B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行D不可能垂直，也不可能平行解析：當(dāng)al，bl時(shí)，ab.假設(shè)ab，如右圖：過a上一點(diǎn)作cl，則c.bc.b.bl，與已知矛盾答案：B4三棱錐PABC的頂點(diǎn)P在底面的射影為O，若PAPBPC，則點(diǎn)O為ABC的_心，若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為ABC的_心解析：當(dāng)PAPBPC時(shí)，OAOBOC，O為外心當(dāng)PA、PB、PC兩兩垂直時(shí)，AOBC，BOAC，COAB.O為垂心答案：外垂5m、n是空間兩條不同的直線，、是兩個(gè)不

4、同的平面，下面四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是_m，n，mn.mn，mn.mn，mn.m，mn，n.答案： 熱點(diǎn)之一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明直線和平面垂直的常用方法有1利用判定定理2利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)3利用面面平行的性質(zhì)(a，a)4利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直思路探究要證BD平面PAC，只需在平面PAC內(nèi)尋求兩相交直線與BD垂直，而PA顯然與BD垂直，故只需證BDAC.課堂記錄設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平

5、面PAC.即時(shí)訓(xùn)練 如右圖所示，P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求證：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PCEF.證明：(1)PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ABBC，ABPAA，BC平面PAB.(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面PBC.(3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC，AFPC，AEAFA，PC平面AEF.而EF平面AEF，PCEF. 熱點(diǎn)之二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90)(2)

6、面面垂直的判定定理(a，a)2關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶注意：在求平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，要熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化運(yùn)用，這種轉(zhuǎn)化方法是本章內(nèi)容的顯著特征掌握轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類問題的關(guān)鍵例2(2010蘇北四市調(diào)研)如右圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E、F、G分別為線段AC1、A1C1、BB1的中點(diǎn)，求證：(1)平面ABC平面ABC1；(2)FG平面AB1C1.思路探究(1)由面面垂直判定定理易證；(2)先證FGAC1，再證明

7、BCB1C1，B1C1BE，B1C1平面ABC1可得FGB1C1，則結(jié)論得證課堂記錄(1)ABBC，BCBC1，ABBC1B，BC平面ABC1，又BC平面ABC，平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中，E、F分別為AC1、A1C1的中點(diǎn)，EFBG，且EFBG，連接BE，四邊形BEFG為平行四邊形，F(xiàn)GEB. ABBC1，E為AC1的中點(diǎn)，BEAC1，則FGAC1.BCAB，BCBC1，B1C1BC，B1C1AB，B1C1BC1，又ABBC1B，B1C1平面ABC1.BE平面ABC1，B1C1BE，則B1C1FG，AC1B1C1C1，F(xiàn)G平面AB1C1.即時(shí)訓(xùn)練 (2010湛江模擬)如右圖

8、，已知三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且PMB為正三角形(1)求證：DM平面APC；(2)求證：平面ABC平面APC.證明：(1)M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，MDAP，又MD 平面APC，DM平面APC.(2)PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)MDPB.又由(1)知MDAP，APPB.又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC，又ACBC，APACA，BC平面APC，BC面ABC，平面ABC平面PAC.熱點(diǎn)之三 線面角與二面角的求法高考中對(duì)直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一，有時(shí)在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查求這兩種空間角的步驟：根據(jù)線

9、面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)認(rèn)(指)求在客觀題中，也可用射影法：例3在三棱錐PABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)(1)證明：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值思路探究(1)利用三角形中位線性質(zhì)線線線面面面；(2)利用定義作出二面角BAPC的平面角課堂記錄(1)證明：G、E、F分別為AP、AB、AC的中點(diǎn)，GFPC，EFBC，又GF 平面PBC，EF 平面PBC，PC平面PBC，BC平面PBC，GF平面PBC，EF平面PBC，又GFEFF，平面GFE平面PCB.(

10、2)解：過C作CHAP交AP于點(diǎn)H，連接BH，PC、AC、BC兩兩垂直，BC平面APC，BCAP，又CHBCC，AP平面BHC，APBH，CHB就是二面角BAPC的平面角即時(shí)訓(xùn)練 已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()答案：B高考本節(jié)內(nèi)容主要考查線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，其中線面的垂直是考查的重點(diǎn)，難度以中等為主，高考多以解答題出現(xiàn)，且有多問從能力上看，主要考查學(xué)生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的能力所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且P

11、AACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.1(2010山東高考)在空間，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行解析：A項(xiàng)，平行直線的平行投影也可以是兩條平行線；B項(xiàng)，平行于同一直線的兩個(gè)平面可平行、可相交；C項(xiàng)，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可平行、可相交；D項(xiàng)，正確答案：D解：(1)證明：連結(jié)EC，在RtPAE和RtCDE中PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，又APABA.BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF與平面BAP的夾角為45.