高考數(shù)學 第四章 第四節(jié) 平面向量應用舉例課件 理 新人教A版

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1、第四節(jié) 平面向量應用舉例1.1.向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用(1)(1)平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題度、夾角等問題. .(2)(2)用向量解決常見平面幾何問題的技巧用向量解決常見平面幾何問題的技巧. .問題類型問題類型 所用知識所用知識 公式表示公式表示 線平行、點共線平行、點共線、相似等問線、相似等問題題 共線向量共線向量定理定理 ab_其中其中a=(x=(x1 1,y,y1 1),)

2、,b=(x=(x2 2,y,y2 2) ) a=b( (b0) )x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0問題類型問題類型 所用知識所用知識 公式表示公式表示 垂直問題垂直問題 數(shù)量積的運數(shù)量積的運算性質算性質 ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),其中其中a, ,b為非零向量為非零向量 夾角問題夾角問題 數(shù)量積的數(shù)量積的定義定義 coscos = ( = (為向量為向量a, ,b的的夾角夾角) ) ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0a ba b(3)(3)用向量方法解決平面幾何問題的步

3、驟用向量方法解決平面幾何問題的步驟. .平面幾何問題平面幾何問題 向量問題向量問題 解決向量問題解決向量問題 解決幾何問題解決幾何問題2.2.平面向量在物理中的應用平面向量在物理中的應用(1)(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決合成和向量的減法和加法相似，可以用向量的知識來解決. .(2)(2)物理學中的功是一個標量，是力物理學中的功是一個標量，是力F與位移與位移s的數(shù)量積的數(shù)量積, ,即即W=W=Fs=|=|F|s|cos (|cos (為為F與與s的夾角的夾角).). 設

4、向量 運算 還原判斷下面結論是否正確判斷下面結論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)若若 ，則，則A,B,CA,B,C三點共線三點共線.( ).( )(2)(2)解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題都可以用向量解決用向量解決.( ).( )(3)(3)實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的坐標運算化的主要手段是向量的坐標運算.( ).( )(4)(4)在在ABCABC中，若中，若 0 0，則，則ABCABC為鈍角三角形為

5、鈍角三角形.( ).( )AB BC ABAC 【解析【解析】(1)(1)正確正確. .因為因為 且且 有相同的起點有相同的起點A A，故，故A A，B B，C C三點共線，故正確三點共線，故正確. .(2)(2)正確正確. .解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題可解析幾何中的坐標、直線平行、垂直、長度等問題可利用向量的共線、數(shù)量積、模等知識解決，故正確利用向量的共線、數(shù)量積、模等知識解決，故正確. .(3)(3)正確正確. .由于向量的坐標把數(shù)和形結合在一起，所以在向量的由于向量的坐標把數(shù)和形結合在一起，所以在向量的應用中，坐標運算起到應用中，坐標運算起到“橋梁橋梁”的作用的作用.

6、.(4)(4)錯誤錯誤. .由由 0 0得得 0 0，可得角，可得角B B為銳角，但三角為銳角，但三角形的形狀不能判定形的形狀不能判定. .故不正確故不正確. .答案答案: :(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4) ABAC AB,AC AB BC BA BC 1.1.一質點受到平面上的三個力一質點受到平面上的三個力F1 1, ,F2 2, ,F3 3( (單位：牛頓單位：牛頓) )的作用而的作用而處于平衡狀態(tài)，已知處于平衡狀態(tài)，已知F1 1, ,F2 2成成6060角，且角，且F1 1, ,F2 2的大小分別為的大小分別為2 2和和4 4，則，則F3 3的大小為的大小為

7、( )( )(A)6 (B)2 (C)2 (D)2(A)6 (B)2 (C)2 (D)2【解析【解析】選選D.|D.|F3 3| |2 2=|=|F1 1| |2 2+|+|F2 2| |2 2+2|+2|F1 1|F2 2|cos 60|cos 60=28,=28,所以所以| |F3 3|=2 ,|=2 ,選選D.D.5772.2.若不重合的四點若不重合的四點P P，A A，B B，C C，滿足，滿足 = =0, , ，則實數(shù)，則實數(shù)m m的值為的值為( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析【解析】選選B. =B. =0，所以所以 , ,

8、 故故m=3.m=3.PAPBPC ABACmAP PAPBPCPAPAABPAAC ABAC3PA3AP 3. 3. 在在ABCABC中，中，CC9090，且，且CACACBCB3 3，點，點M M滿足滿足 則則 等于等于( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【解析【解析】選選B.B.由題意可知，由題意可知， 0 0 3cos 453cos 453.3.BM 2MA ，CM CB 1CM CB (CAAB) CB3 1CA CBAB CB3 13 234.4.在在ABCABC中，已知向量中，已知向量 與與 滿足滿足 =0=0且且 ，則，則AB

9、CABC為為( )( )(A)(A)等邊三角形等邊三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形(D)(D)三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形AB AC ABAC() BCABAC AB AC12AB AC 【解析【解析】選選A.A.由由 =0=0知知ABCABC為等腰三角形，為等腰三角形，且且ABABAC.AC.由由 知，知， 6060，所以，所以ABCABC為等邊三角形，故選為等邊三角形，故選A.A.ABAC() BCABAC AB AC12AB AC ABAC ，5.5.在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中，若定點中，若定點A(1A(

10、1，2)2)與動點與動點P(xP(x，y)y)滿滿足足 4 4，則點，則點P P的軌跡方程是的軌跡方程是_【解析【解析】由由 4 4，得，得(x(x，y)y)(1(1，2)2)4 4，得得x x2y2y4 4，即，即x+2y-4=0.x+2y-4=0.答案答案: :x x2y2y4 40 0OP OA OP OA 考向考向1 1 向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用【典例【典例1 1】(1)(1)平面上平面上O,A,BO,A,B三點不共線，設三點不共線，設 = =a, =, =b，則，則OABOAB的面積等于的面積等于( )( )(A)(A)(B) (B) (C) (C) (D)(D)

11、OAOB 222()aba b222()aba b2221()2aba b2221()2aba b(2)(2)若等邊若等邊ABCABC的邊長為的邊長為2 2 ，平面內一點，平面內一點M M滿足滿足 ，則，則 _._.【思路點撥【思路點撥】(1)(1)先求出先求出coscosa, ,b，再求出，再求出sinsina, ,b，求，求出三角形的面積化簡即可出三角形的面積化簡即可. .(2)(2)一種方法是建立平面直角坐標系，將問題轉化為向量的坐一種方法是建立平面直角坐標系，將問題轉化為向量的坐標運算即可標運算即可; ;另一種方法是將另一種方法是將 用用 表示表示, ,然后用數(shù)然后用數(shù)量積的定義計算量

12、積的定義計算. .312CMCBCA63 MA MB MA,MB CA,CB 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.由條件得由條件得coscosa, ,b= ,= ,sinsina, ,b= = = ,= ,SSOABOAB= |= |a| | |b|sin|sina, ,b= = | |a bab21 cos,a b21 ()a ba b22()1()a ba b12221()12()a ba ba b= = .= .(2)(2)方法一方法一: :以以BCBC的中點為原點，的中點為原點，BCBC所在直所在直線為線為x x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

13、根據(jù)題設條件可知根據(jù)題設條件可知A(0A(0，3)3)，B(B( ，0),0),C( ,0).C( ,0).設設M(x,yM(x,y) )，則則 =(x- ,y)=(x- ,y)， =(-2 ,0)=(-2 ,0)， =(- ,3).=(- ,3).22221()()()2()a ba ba ba b2221()2aba b33CM3CB 3CA 3由由 得得, ,=(- ,2),=(- ,2),x=0 x=0，y=2,y=2,點點M M的坐標為的坐標為(0,2).(0,2). (0(0，1)1)， =-2.=-2.12CMCBCA63 12(x3,y)( 2 3,0)(3,3)633MA M

14、B (32)，MA MB 方法二方法二: :由于由于 , , , ,= .= .又因為又因為ABCABC是邊長為是邊長為2 2 的等邊三角形的等邊三角形, , =6 =6， =-2.=-2.答案答案: :-2-21211MACACMCA( CBCA)CACB6336 1225MBCBCMCB( CBCA)CACB6336 1125MA MB( CACB) (CACB)3636 22275CACA CBCB91836 3221CACB12 CA CB2 32 32 ，275MA MB1261291836 【拓展提升【拓展提升】平面幾何問題的向量解法平面幾何問題的向量解法(1)(1)坐標法坐標法.

15、 .把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關點與向量具體把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決題得到解決. .(2)(2)基向量法基向量法. .適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于未知量的方程來進行求解關于未知量的方程來進行求解. .【提醒【提醒】 用坐標法解題時，建立適當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關鍵，用坐標法解題時，建立適當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關鍵，用基向量解題時要選擇適當?shù)幕子没蛄拷忸}時要

16、選擇適當?shù)幕? .【變式訓練【變式訓練】(1)(1)如圖，如圖，O O，A A，B B是平面上的三點，向是平面上的三點，向量量 = =a， = =b，設，設P P為線段為線段ABAB的垂直平的垂直平分線分線CPCP上任意一點，向量上任意一點，向量 = =p，若，若| |a|=4|=4，| |b|=2|=2，則，則p(a- -b)=( )=( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)0(A)8 (B)6 (C)4 (D)0OAOB OP 【解析【解析】選選B.B.由由 ，知知| |p- -b|=|=|p- -a| |，| |p- -b| |2 2=|=|p- -a| |2 2，p2 2-2-2p

17、b+ +b2 2= =p2 2-2-2pa+ +a2 2，得得2 2pa-2-2pb= =a2 2- -b2 2=16-4=12=16-4=12，p( (a- -b)=6.)=6.BPAP (2)(2013(2)(2013佛山模擬佛山模擬) )如圖，在梯形如圖，在梯形ABCDABCD中，中，DA=AB=BC= CD=1.DA=AB=BC= CD=1.點點P P在陰影區(qū)域在陰影區(qū)域( (含邊界含邊界) )中運動，則中運動，則 的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)(A) (B)(B) (C)(C)-1-1，3 3(D)(D) 12AP BD 1 32 2 ，3 32 2 ，3 92 2，【解

18、析【解析】選選B.B.由平面幾何知識可得由平面幾何知識可得ADC=60ADC=60，故，故BAD=ABC=120BAD=ABC=120，ABD=ADB=30ABD=ADB=30，從而可得，從而可得BD=BD=CBD=90CBD=90. .又又 ，而而 ， ，其中，其中| |cos | |cos 的幾何的幾何意義即為向量意義即為向量 在向量在向量 上的投影上的投影. .根據(jù)圖形易得根據(jù)圖形易得| |cos | |cos 0 0， ，故，故 0 0，3 3，從而，從而的取值范圍是的取值范圍是- - ， . .AP BD(ABBP) BDAB BDBP BD 53AB BD13cos62 BP BD

19、BP BD cos 3 BP cos BP BP BD BP 3BP BD AP BD 32323，考向考向2 2 向量在三角函數(shù)中的應用向量在三角函數(shù)中的應用【典例典例2 2】(1)(1)已知向量已知向量a=(m,n)=(m,n)，b=(cos ,sin )=(cos ,sin )，其中，其中m,n,R.m,n,R.若若| |a|=4|=4|b| |，則當，則當ab2 2恒成立時實數(shù)恒成立時實數(shù)的取的取值范圍是值范圍是( )( )(A)(A) 或或- -(B)(B)2 2或或-2-2(C)- (C)- (D)-2(D)-22 22222(2)(2013(2)(2013保定模擬保定模擬) )已

20、知點已知點A(1,1),B(1,-1),A(1,1),B(1,-1),C( cos , sin )(RC( cos , sin )(R) )，O O為坐標原點為坐標原點. .若若| |= | |= ，求，求sin 2sin 2的值；的值；若實數(shù)若實數(shù)m,nm,n滿足滿足 ，求，求(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2的最大值的最大值. .22BCBA 2mOAnOBOC 【思路點撥【思路點撥】(1)(1)將將ab表示為表示為的三角函數(shù)，然后求得的三角函數(shù)，然后求得ab的最值，轉化為解不等式的問題的最值，轉化為解不等式的問題. .(2)(2)由由 得到關于得到關于的關系式，兩邊平方可求的關系式

21、，兩邊平方可求解；解；用含用含的關系式表示的關系式表示m,nm,n，然后轉化為三角函數(shù)的最值，然后轉化為三角函數(shù)的最值問題求解問題求解. .BCBA2 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由已知得由已知得| |b|=1|=1，所以，所以| |a|= =4,|= =4,因此因此ab=mcos +nsin=mcos +nsin = sin(+= sin(+)=4sin(+)=4sin(+)4,)4,由于由于ab2 2恒成立，故恒成立，故2 24 4，解得，解得2 2或或-2.-2.(2)(2)=( cos=( cos -1) -1)2 2+( sin -1)+( sin -1)2 2=-

22、2 (sin +cos )+4,=-2 (sin +cos )+4,-2 (sin +cos )+4=2,-2 (sin +cos )+4=2,22mn22mn22BCBAAC 2222即即sin +cos = ,sin +cos = ,兩邊平方得兩邊平方得1+sin 2= 1+sin 2= ，sin 2=- .sin 2=- .由由 得得(m+n,m-n)=( cos , sin ),(m+n,m-n)=( cos , sin ),221212mOAnOBOC 22mn2cos ,mn2sin ,解得解得 (m-3)(m-3)2 2+n+n2 2=m=m2 2+n+n2 2-6m+9-6m+

23、9=-3 (sin +cos )+10=-3 (sin +cos )+10=-6sin(+ )+10,=-6sin(+ )+10,當當sin(sin(+ )=-1+ )=-1時，時，(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2有最大值有最大值16.16.2mcos sin ,22ncos sin ,2244【互動探究【互動探究】在本例題在本例題(2)(2)的第的第小題中，若將條件小題中，若將條件“ ”“ ”改為改為“ ”“ ”，則如何解答？，則如何解答？【解析【解析】由條件知由條件知 =( cos=( cos -1, sin +1) -1, sin +1)， =(1,1)=(1,1)，由由 =0=

24、0，tan =-1.tan =-1.sin 2=2sin cossin 2=2sin cos = = = =-1.= =-1.BCBA2 BCOA BC 22OABCOA2cos 12sin 1 得222sin cos sin cos 22tan tan 1【拓展提升【拓展提升】向量與三角函數(shù)綜合題的答題策略向量與三角函數(shù)綜合題的答題策略(1)(1)當題目條件中給出的向量坐標中含有三角函數(shù)并求有關三當題目條件中給出的向量坐標中含有三角函數(shù)并求有關三角函數(shù)的問題時，解題時首先利用向量相等、共線或垂直等將角函數(shù)的問題時，解題時首先利用向量相等、共線或垂直等將問題轉化為三角函數(shù)的關系式，然后利用三角

25、函數(shù)的知識解決問題轉化為三角函數(shù)的關系式，然后利用三角函數(shù)的知識解決. .(2)(2)當題目條件中給出的向量坐標中含有三角函數(shù)當題目條件中給出的向量坐標中含有三角函數(shù), ,并且求向量并且求向量的模或其他向量的表達形式，解題時要通過向量的運算，將問的模或其他向量的表達形式，解題時要通過向量的運算，將問題轉化為三角函數(shù)的有界性，求得最值題轉化為三角函數(shù)的有界性，求得最值( (或值域或值域).).【變式備選【變式備選】已知向量已知向量a=(cos=(cos ,-2) ,-2)，b=(sin ,1),=(sin ,1),且且ab，則，則2sin cos2sin cos 等于等于( )( )(A)3 (

26、B)-3 (C) (D)-(A)3 (B)-3 (C) (D)-【解析【解析】選選D.D.由由ab得得coscos =-2sin =-2sin ，tan =- .tan =- .2sin cos2sin cos = . = . 4545122222sincos2tan4sin cos tan 15 【備選考向【備選考向】向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用【典例【典例】(1)(1)已知兩點已知兩點M(M(3 3，0)0)，N(3N(3，0)0)，點，點P P為坐標平面內為坐標平面內一動點，且一動點，且 =0=0，則動點，則動點P(xP(x，y)y)到點到點M(M(3 3，0)0)的距離

27、的距離d d的最小值為的最小值為( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6(A)2 (B)3 (C)4 (D)6MN MPMN NP (2)(2013(2)(2013廣州模擬廣州模擬) )如圖，已知圓如圖，已知圓C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=8.=8.定點定點A(1A(1，0)0)，M M為為圓圓C C上一動點，點上一動點，點P P在在AMAM上，點上，點N N在在CMCM上，且滿足上，且滿足 ， =0=0，則，則點點N N的軌跡方程是的軌跡方程是_._.【思路點撥【思路點撥】(1)(1)先判斷點先判斷點P P的軌跡，然后根據(jù)點的軌跡，然后根據(jù)點M M的特點求解的特

28、點求解. .(2)(2)將向量條件轉化為幾何條件，得出動點滿足的等量關系將向量條件轉化為幾何條件，得出動點滿足的等量關系. .AM2AP NP AM 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.因為因為M(-3M(-3，0)0)，N(3N(3，0)0)，所以，所以 =(6,0)=(6,0)，| |=6, =(x+3,y),| |=6, =(x+3,y), =(x-3,y). =(x-3,y).由由 =0=0得得6 +6(x-3)=06 +6(x-3)=0，化簡得，化簡得y y2 2=-12x=-12x，所以點，所以點M M是拋物線是拋物線y y2 2=-12x=-12x的焦點，所以點的焦點，

29、所以點P P到點到點M M的的距離的最小值就是原點到距離的最小值就是原點到M(-3M(-3，0)0)的距離，所以的距離，所以d dminmin=3.=3.MN MN MPNP MN MPMN NP 22(x3)y(2)(2)連接連接ANAN， ， =0=0，NPNP為為AMAM的垂直平分線，的垂直平分線，|NA|=|NM|.|NA|=|NM|.又又|CN|+|NM|=2 |CN|+|NM|=2 ，|CN|+|AN|=2 |CN|+|AN|=2 2.2.動點動點N N的軌跡是以點的軌跡是以點C(-1C(-1，0)0)，A(1A(1，0)0)為焦點的橢圓，且橢為焦點的橢圓，且橢圓長軸長為圓長軸長為

30、2a=2 2a=2 ，焦距，焦距2c=22c=2，a= a= ，c=1,bc=1,b2 2=1.=1.點點N N的軌跡方程為的軌跡方程為 +y+y2 2=1.=1.答案答案: : +y+y2 2=1=1AM2AP NP AM 22222x22x2【拓展提升【拓展提升】向量在解析幾何中的向量在解析幾何中的“兩個兩個”作用作用(1)(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外向量外衣衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、，導出曲

31、線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題斜率、夾角、軌跡、最值等問題. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab= =0( (a, ,b為非零向為非零向量量),),aba=b( (b0),),可解決垂直、平行問題，特別地，向可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法題是一種比較可行的方法. .【變式訓練【變式訓練】已知點已知點A(-1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，動點，動點M M的軌跡的軌跡C C滿足滿足AMB=2AM

32、B=2， coscos2 2=3=3，求，求 的值，并寫出軌的值，并寫出軌跡跡C C的方程的方程. .【解析【解析】設設M(x,yM(x,y) )，在，在MABMAB中，中，|AB|=2|AB|=2，AMB=2AMB=2，根據(jù)余，根據(jù)余弦定理得弦定理得 =4,=4, =4, =4, =4. =4.AM BM AMBM 22AMBM2 AM BM cos 2 2(AMBM)2 AM BM (1cos 2) 22(AMBM)4 AM BM cos 而而 =3=3， -4-43=4,3=4, =4. =4.又又 =4=42=|AB|2=|AB|，因此點因此點M M的軌跡是以的軌跡是以A,BA,B為焦

33、點的橢圓為焦點的橢圓( (去掉去掉x x軸上的兩點軸上的兩點),),a=2a=2，c=1.c=1.所以軌跡所以軌跡C C的方程為的方程為 =1(y0).=1(y0). 2AM BM cos 2(AMBM) AMBM AMBM 22xy43【滿分指導【滿分指導】向量在平面幾何中的應用問題的規(guī)范解答向量在平面幾何中的應用問題的規(guī)范解答【典例【典例】(13(13分分)(2013)(2013潮州模擬潮州模擬) )已知向量已知向量 =(2-k,-1)=(2-k,-1)， =(1,k).=(1,k).(1)(1)若若ABCABC為直角三角形，求為直角三角形，求k k值值. .(2)(2)若若ABCABC為

34、等腰直角三角形，求為等腰直角三角形，求k k值值. .AB AC 【思路點撥【思路點撥】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) =(2-k,-1)(1) =(2-k,-1)， =(1,k),=(1,k), =(k-1,k+1). =(k-1,k+1). 1 1分分若若A=90A=90，則則 ，(2-k,-1)(2-k,-1)(1,k)=0(1,k)=0，解得，解得k=1;k=1;若若B=90B=90， 3 3分分則則 ,(2-k,-1),(2-k,-1)(k-1,k+1)=0,(k-1,k+1)=0,得得k k2 2-2k+3=0,-2k+3=0,無解無解; ;若若C=90C=90， 5 5分分AB

35、AC BCACAB ABAC ABBC 則則 ，(1,k)(1,k)(k-1,k+1)=0(k-1,k+1)=0，得得k k2 2+2k-1=0+2k-1=0，解得，解得k=-1k=-1 . .綜上所述，當綜上所述，當k=1k=1時，時，ABCABC是以是以A A為直角頂點的直為直角頂點的直角三角形；當角三角形；當k=-1k=-1 時，時，ABCABC是以是以C C為直角頂為直角頂點的直角三角形點的直角三角形. . 7 7分分(2)(2)當當k=1k=1時，時， =(1,-1)=(1,-1)， =(1,1)=(1,1)， ；ACBC 22AB AC ABAC2 當當k=-1+ k=-1+ 時時

36、， 9 9分分 ，得得 ， ；當當k=-1- k=-1- 時時，1111分分 ，得得 ， . . 1212分分2AC(1, 12) BC( 22, 2) ，22AC42 2 BC84 2 ，ACBC 2AC(1, 12) BC( 22,2) ，22AC42 2 BC84 2 ，ACBC 綜上所述，當綜上所述，當k=1k=1時，時，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的等腰直角三角為斜邊的等腰直角三角形形. . 1313分分【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(2013惠州模擬惠州模擬) )已知已知O O是是ABCABC內部一點，內部一點， =

37、=0， =2=2，且，且BAC=60BAC=60，則，則OBCOBC的面積為的面積為( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)OAOBOC AB AC 12333223【解析【解析】選選B.B.由由 = =0O O為為ABCABC重心重心. .又又 =2=2bccosBAC=2,BAC=60bccosBAC=2,BAC=60bc=4bc=4S SABCABC= bcsin= bcsin BAC= BAC= ，且重心，且重心O O與與ABCABC各頂點各頂點的連線將的連線將ABCABC面積三等分面積三等分S SOBCOBC= = ，選，選B.B.OAOBOC AB AC

38、 12134322 332.(20132.(2013茂名模擬茂名模擬) )已知向量已知向量a=(x=(x2 2,x+1),x+1)，b=(1-x,t),=(1-x,t),若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x)=)=ab在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上是增函數(shù)，則實數(shù)上是增函數(shù)，則實數(shù)t t的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】 f(x)= f(x)=ab=(x=(x2 2,x+1),x+1)(1-x,t)(1-x,t)=-x=-x3 3+x+x2 2+tx+t,+tx+t,f(x)=-3xf(x)=-3x2 2+2x+t.+2x+t.f(x)=f(x)=ab在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上是增函數(shù)，上

39、是增函數(shù)，f(x)=-3xf(x)=-3x2 2+2x+t0+2x+t0在在-1,1-1,1上恒成立，上恒成立，t3xt3x2 2-2x-2x在在-1,1-1,1上恒成立上恒成立. .而當而當xx-1,1-1,1時，時，3x3x2 2-2x5-2x5，當且僅當，當且僅當x=-1x=-1時等號成立時等號成立. .t5,t5,即所求實數(shù)即所求實數(shù)t t的取值范圍是的取值范圍是5,+).5,+).答案答案: :5,+)5,+)3.(20123.(2012江蘇高考江蘇高考) )如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，AB= AB= ，BC=2,BC=2,點點E E是是BCBC的中點，點的中點，

40、點F F在邊在邊CDCD上，若上，若 ，則，則 的的值是值是_._.2AB AF2 AE BF 【解析【解析】以以A A點為原點，點為原點，ABAB所在直線為所在直線為x x軸，軸，ADAD所在直線為所在直線為y y軸軸建立平面直角坐標系，建立平面直角坐標系，則則 =( ,0), =( ,1),=( ,0), =( ,1),設設F(t,2)F(t,2)， =(t,2).=(t,2). ,t=1, ,t=1,所以所以 . .答案答案: :AB 2AE 2AF AB AF2t2 AE BF( 2,1) (12,2)2 24.(20134.(2013東莞模擬東莞模擬) )設設a=(=(a a1 1,

41、 ,a a2 2),),b=(b=(b1 1,b,b2 2) )，定義一種向量運，定義一種向量運算：算：a b=(a=(a1 1b b1 1,a,a2 2b b2 2) )，已知，已知m=( ,2),=( ,2),n=( ,0)=( ,0)，點，點P(xP(x0 0,y,y0 0) )在函數(shù)在函數(shù)g(xg(x)=sin x)=sin x的圖象上運動，點的圖象上運動，點Q(x,yQ(x,y) )在函數(shù)在函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖的圖象上運動，且滿足象上運動，且滿足 = =m + +n( (其中其中O O為坐標原點為坐標原點) )，則函數(shù)，則函數(shù)f(xf(x) )的最大值是的最大值是_._

42、.124OQ OP 【解析【解析】由由 = =m + +n得得(x,y)=( x(x,y)=( x0 0+ ,2sin x+ ,2sin x0 0) )，即即 消去消去x x0 0，得，得y=2sin(2x- )y=2sin(2x- )，即即f(x)=2sin(2x- )=-2cos 2x.f(x)=2sin(2x- )=-2cos 2x.函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的最大值是的最大值是2.2.答案答案: :2 2OQ OP 124001xx24y2sin x，221.1.設向量設向量a與與b的夾角為的夾角為，定義，定義a與與b的的“向量積向量積”：ab是一是一個向量，它的模個向量，它的模 |

43、|ab|=|=|a|b|sin|sin ，若，若a=(- ,-1)=(- ,-1)，b=(1, )=(1, )，則，則| |ab|=( )|=( )(A) (B)2 (C)2 (D)4(A) (B)2 (C)2 (D)43333【解析【解析】選選C.C.coscos = , = ,0,0,，sin = sin = ，| |ab|=|=|a| | |b| |sinsin =2 =22 2 =2. =2.3332 22 a ba b12122.2.已知已知O O是坐標原點，點是坐標原點，點A(-1A(-1，1),1),若點若點M(xM(x，y)y)為平面區(qū)域為平面區(qū)域 上的一個動點，則上的一個動點

44、，則 的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)(A)-1,0-1,0 (B)(B)0,10,1(C)(C)0,20,2 (D)(D)-1,2-1,2xy2,x1,y2OA OM 【解析【解析】選選C.C.由題意，不等式組由題意，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：陰影部分所示： 由向量數(shù)量積的坐標運算易得：由向量數(shù)量積的坐標運算易得： =-x+y =-x+y，令令-x+y=z,-x+y=z,即即y=x+z,y=x+z,易知目標函數(shù)易知目標函數(shù)y=x+zy=x+z過點過點B(1B(1，1)1)時，時，z zminmin=0,=0,目標函數(shù)目標函數(shù)y=x+zy=x+z過點

45、過點C(0,2)C(0,2)時，時，z zmaxmax=2,=2,故故 的取值范圍是的取值范圍是0,20,2. .xy2,x1,y2OA OM OA OM 3.3.設集合設集合D=D=平面向量平面向量 ，定義在，定義在D D上的映射上的映射f f滿足對任意滿足對任意xDxD，均有均有f(x) =x(Rf(x) =x(R且且0).0).若若| |a|=|=|b| |且且a, ,b不共線，則不共線，則(f(f(a)-f()-f(b)()(a+ +b)=_)=_；若若A(1,2),B(3,6)A(1,2),B(3,6)，C(4,8),C(4,8),且且f( )= f( )= ，則，則=_.=_.BC AB 【解析【解析】|a|=|=|b| |且且a, ,b不共線，不共線，(f(f(a)-f()-f(b)( (a+ +b)=()=(a-b) )( (a+ +b) )=(|=(|a| |2 2-|-|b| |2 2)=0.)=0.又又 =(1,2)=(1,2)， =(2,4),=(2,4),f( )=(1,2) f( )=(1,2) ，(1,2)=(2,4),(1,2)=(2,4),=2.=2.答案答案: :0 20 2BC AB BC