高中數(shù)學(xué) 241拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教B版選修21

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1、24拋物線(xiàn)拋物線(xiàn) 1知識(shí)與技能 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，了解拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)條件確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并注意標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，掌握四種形式的特點(diǎn)，會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 2過(guò)程與方法 掌握開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)一步理解求曲線(xiàn)方程的方法坐標(biāo)法，從而培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、類(lèi)比、分析、計(jì)算的能力 3情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)研究解析幾何的基本思想，感受圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 重點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 難點(diǎn)：建立標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)坐標(biāo)系的選取 1拋物線(xiàn)的定義要從以下幾點(diǎn)考慮 (1)定義

2、的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線(xiàn)的焦點(diǎn))；一條定直線(xiàn)(拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn))；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線(xiàn)l的距離之比等于1) (2)定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線(xiàn)，而是過(guò)點(diǎn)F垂直于直線(xiàn)l的一條直線(xiàn)，如到點(diǎn)F(1,0)和到直線(xiàn)l：xy10的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為xy10，其軌跡是一條直線(xiàn) 2拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 一條拋物線(xiàn)，由于它在平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式 對(duì)以上四種位置不同的拋物線(xiàn)和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析 共同點(diǎn)：(1)原點(diǎn)在拋物線(xiàn)上；(2)對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)

3、于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的；(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離均為p. 不同點(diǎn)：(1)對(duì)稱(chēng)軸為x軸時(shí)，方程的右端為2px，左端為y2，對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí)，方程的右端為2py，左端為x2；(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上，方程的右端取正號(hào)，開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào) 如果已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向一次項(xiàng)的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向 可用如下口訣幫助記憶： 對(duì)稱(chēng)軸要看一次項(xiàng)

4、，符號(hào)確定開(kāi)口方向 如果y是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向下，正向上 如果x是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向左，正向右 3學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)分拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的一支，初學(xué)者很容易將拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一支混淆二者區(qū)別在于：當(dāng)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)在這一點(diǎn)的斜率(曲線(xiàn)在某一點(diǎn)的斜率是指曲線(xiàn)在這一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率)接近于坐標(biāo)軸所在直線(xiàn)的斜率，也就是拋物線(xiàn)接近于和坐標(biāo)軸所在直線(xiàn)平行；而雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，它的斜率接近于它的漸近線(xiàn)的斜率 1平面內(nèi)_叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的_，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的_ 2現(xiàn)將這四種拋物線(xiàn)的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程列表如下： 3.拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，叫做_，當(dāng)y22px(p0

5、)時(shí)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)P(x0，y0)，焦點(diǎn)F( ，0)，則焦半徑|PF|_. 例1判斷適合下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種曲線(xiàn)： (1)過(guò)點(diǎn)P(0,3)且與直線(xiàn)y30相切的動(dòng)圓的圓心M的軌跡； (2)到點(diǎn)A(0,2)的距離比到直線(xiàn)ly4的距離小2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡 解析(1)依題意，圓心M到點(diǎn)P的距離等于M到直線(xiàn)y3的距離，動(dòng)圓的圓心M的軌跡是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)y3為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn) (2)依題意，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與到直線(xiàn)ly2的距離相等，P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)y2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn) 已知點(diǎn)B(4,0)，過(guò)y軸上的一點(diǎn)A作直線(xiàn)ly軸，l與線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)P的軌跡 解析依題意，|P

6、A|PB|，且|PA|為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，其軌跡是以點(diǎn)B為焦點(diǎn)，以y軸為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn). 例2已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)的距離是5. (1)求拋物線(xiàn)方程和m值 (2)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程 (2)p4，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)， 準(zhǔn)線(xiàn)方程是x2. 說(shuō)明1.求拋物線(xiàn)方程的方法 (1)定義值，直接利用定義求解 (2)待定系數(shù)法，若已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可，若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論，另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)方程統(tǒng)一設(shè)成y2ax(a0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)方程可統(tǒng)一設(shè)成x2ay

7、(a0) 2求拋物線(xiàn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的方程的方法 首先要將拋物線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出p后根據(jù)拋物線(xiàn)的圖象寫(xiě)出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的方程，注意垂線(xiàn)與x軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的 根據(jù)下列條件求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，2)； (2)焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x4y120上 解析(1)點(diǎn)P在第四象限，拋物線(xiàn)開(kāi)口向右或向下，標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y22px(p0)或x22py(p0) 將點(diǎn)P(4，2)代入y22px，得2p1；將P(4，2)代入x22py，得2p8. 所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x28y. (2)由于有標(biāo)準(zhǔn)方程的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，故由直線(xiàn)3x4y120

8、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) 令x0，得y3，令y0，得x4.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0) 例3已知拋物線(xiàn)的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)在拋物線(xiàn)的內(nèi)部，在此拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使|PF|PA|的值最小 分析如圖所示，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義把PF轉(zhuǎn)化為PQ，使折線(xiàn)段PA，PQ的兩端點(diǎn)A，Q分別落在拋物線(xiàn)的兩側(cè)，再通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”可知當(dāng)A，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)距離達(dá)到最小 說(shuō)明確定圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最短時(shí)的位置，通常有兩種情況：(1)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線(xiàn)兩側(cè)時(shí)，連結(jié)兩定點(diǎn)的線(xiàn)段與曲線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(2)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線(xiàn)同側(cè)時(shí)，由圓錐曲線(xiàn)定義作線(xiàn)段的等量長(zhǎng)度轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)變?yōu)?1)的

9、情形即可 已知拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo) 例4某河上有座拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為 m，問(wèn)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開(kāi)始不能通航？ 分析要解決本題，首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拱橋的方程，然后求出船與橋恰有兩個(gè)觸點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為水面與拱頂?shù)木嚯x 說(shuō)明本題是與拋物線(xiàn)有關(guān)的應(yīng)用題，解題時(shí)，可畫(huà)出示意圖幫助解題，找相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)， 要細(xì)心，如A、B相等 一輛卡車(chē)高3 米，寬1.6米，欲通過(guò)斷面為拋物線(xiàn)型的隧道，已知拱口寬恰

10、好是拱高的4倍，若拱口寬為a米，求使卡車(chē)通過(guò)的a的最小整數(shù)值 例5定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)y2x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo) 分析如圖所示，線(xiàn)段AB 中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值，因此，只要研究A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和最小即可 解析如圖，設(shè)F是拋物線(xiàn)y2x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)分別是AC、BD，M點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)為MN，N為垂足，則 說(shuō)明本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)將三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何問(wèn)題中，再結(jié)合拋物線(xiàn)的定義和方程，這使解答簡(jiǎn)捷準(zhǔn)確 如圖所示，拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(

11、x2，y2)均在拋物線(xiàn)上 (1)寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程； (2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1y2的值及直線(xiàn)AB的斜率 解析(1)由已知條件，可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y22px. 點(diǎn)P(1,2)在拋物線(xiàn)上，222p1，得p2. 故所求拋物線(xiàn)的方程是y24x，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x1. (2)設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA，直線(xiàn)PB的斜率為kPB. 例6求拋物線(xiàn)xay2(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程辨析轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，注意a的討論 一、選擇題 1拋物線(xiàn)y220 x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 () A(10,0)B(5,0) C(0,10) D(0,5) 答案B 解析y220 xy2210 x焦點(diǎn)在x軸正半軸其坐

12、標(biāo)為(5,0) 2在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，到點(diǎn)(1,1)和直線(xiàn)x2y3距離相等的點(diǎn)的軌跡是 () A直線(xiàn) B拋物線(xiàn) C圓 D雙曲線(xiàn) 答案A 解析點(diǎn)(1,1)在直線(xiàn)x2y3上，軌跡為過(guò)點(diǎn)(1,1)且與x2y3垂直的直線(xiàn) 3若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x50的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是 () Ax40 Bx40 Cy28x Dy216x 答案D 解析依題意可知M點(diǎn)到F的距離等于M點(diǎn)到直線(xiàn)x4的距離，因此其軌跡是拋物線(xiàn)，且p8，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸，其方程為y216x，故答案為D. 答案8 解析橢圓焦點(diǎn)為(2,0)和(2,0)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與橢圓有一個(gè)共同焦點(diǎn)，故m8. 5AB為拋物線(xiàn)y22px的一條過(guò)焦點(diǎn)F的弦，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為A1和B1，則A1FB1_. 答案90 三、解答題 6求適合下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)過(guò)拋物線(xiàn)y22mx的焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，且|AB|6. (2)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，點(diǎn)P(5，2)到焦點(diǎn)的距離是6.