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1、第第17課時課時 二次函數的圖象和性質二次函數的圖象和性質12015蘭州蘭州下列函數解析式中，一定為二次函數的是下列函數解析式中，一定為二次函數的是( ) 2在下列二次函數中，其圖象對稱軸為在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x2的是的是 ( )Ay(x2)2 By2x22Cy2x22 Dy2(x2)2小題熱身小題熱身CA3對于二次函數對于二次函數y2(x1)(x3)，下列說法正確的是，下列說法正確的是( )A圖象的開口向下圖象的開口向下B當當x1時，時，y隨隨x的增大而減小的增大而減小C當當x1時，時，y隨隨x的增大而減小的增大而減小D圖象的對稱軸是直線圖象的對稱軸是直線x14在平面直角坐標系中
2、，將拋物線在平面直角坐標系中，將拋物線yx24先向右平移先向右平移2個單個單位，再向上平移位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式為個單位，得到的拋物線的解析式為( )Ay(x2)22 By(x2)22Cy(x2)22 Dy(x2)22CBAy1y2y3 By1y3y2Cy2y1y3 Dy3y1y2B一、必知一、必知5 知識點知識點1二次函數的概念二次函數的概念定義：一般地，形如定義：一般地，形如_(a，b，c是常數，是常數，a0)的函數叫二次函數的函數叫二次函數考點管理考點管理【智慧錦囊智慧錦囊】二次函數二次函數yax2bxc的結構特征是：的結構特征是：等號左邊是函等號左邊是函數數，右邊
3、是關于自變量右邊是關于自變量x的二次整式的二次整式，x的最高次數是的最高次數是2；二次項系數二次項系數a0.yax2bxc用描點法畫二次函數用描點法畫二次函數yax2bxc的步驟：的步驟：(1)用配方法化成用配方法化成_的形式；的形式；(2)確定圖象的開口方向，對稱軸及頂點坐標；確定圖象的開口方向，對稱軸及頂點坐標；(3)在對稱軸兩側利用對稱性描點畫圖在對稱軸兩側利用對稱性描點畫圖ya(xm)2k(a0)【智慧錦囊智慧錦囊】(1)|a|的大小決定拋物線的開口大小的大小決定拋物線的開口大小|a|越大，拋物線的開口越越大，拋物線的開口越小，小，|a|越小，拋物線的開口越大；越小，拋物線的開口越大；
4、(2)畫拋物線畫拋物線yax2bxc的草圖，要確定五點：的草圖，要確定五點：開口方開口方向；向；對稱軸；對稱軸；頂點；頂點；與與y軸交點；與軸交點；與x軸交點軸交點3二次函數的性質二次函數的性質4二次函數與一元二次方程二次函數與一元二次方程二次函數二次函數yax2bxc與一元二次方程與一元二次方程ax2bxc0有著有著密切的關系，二次函數的圖象與密切的關系，二次函數的圖象與x軸的交點的橫坐標對應一軸的交點的橫坐標對應一元二次方程的實數根，拋物線與元二次方程的實數根，拋物線與x軸的交點情況可由對應的軸的交點情況可由對應的一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式b24ac的符號判定的符號判
5、定(1)有兩個交點有兩個交點_(2)有一個交點有一個交點_(3)沒有交點沒有交點_b24ac0方程有兩個不相等實數根方程有兩個不相等實數根b24ac0方程有兩個相等實數根方程有兩個相等實數根b24ac0開口向上開口向上a0(b與與a同號同號)對稱軸在對稱軸在y軸左側軸左側ab0與與y軸正半軸相交軸正半軸相交c0與與x軸有兩個不同交點軸有兩個不同交點b24ac0，即，即x1時，時，y0.若若abc0，即，即x1時，時，y0.三、必明三、必明3 易錯點易錯點1注意二次函數注意二次函數ya(xm)2k的圖形平移，一般按照的圖形平移，一般按照“橫坐橫坐標加減左右移標加減左右移”、“縱坐標加減上下移縱坐
6、標加減上下移”即即“左加右減，上加左加右減，上加下減下減”，容易出現移動方向弄反，容易出現移動方向弄反2求二次函數與求二次函數與x軸交點坐標的方法是令軸交點坐標的方法是令y0解關于解關于x的方程；的方程；求函數與求函數與y軸交點的方法是令軸交點的方法是令x0得得y值，容易出現求與值，容易出現求與x軸軸交點坐標時，令交點坐標時，令x0，求與，求與y軸交點坐標時，令軸交點坐標時，令y0的錯的錯誤誤3根據根據a，b，c確定函數的大致圖象易錯點：確定函數的大致圖象易錯點：(1)c的大小決定拋物線與的大小決定拋物線與y軸的交點位置，軸的交點位置，c0時，拋物線時，拋物線過原點，過原點，c0時，拋物線與時
7、，拋物線與y軸交于正半軸，軸交于正半軸，c0時，對稱軸在時，對稱軸在y軸左側，當軸左側，當ab0時，對稱時，對稱軸在軸在y軸的右側軸的右側類型之一類型之一二次函數的圖象和性質二次函數的圖象和性質(1)用配方法求拋物線的頂點坐標；用配方法求拋物線的頂點坐標；(2)x取何值時，取何值時，y隨隨x的增大而減?。坏脑龃蠖鴾p?。?3)若拋物線與若拋物線與x軸的兩個交點為軸的兩個交點為A，B，與，與y軸的交點為軸的交點為C，求，求SABC.12015樂山樂山二次函數二次函數yx22x4的最大值為的最大值為( ) A3 B4C5 D6【解析解析】y(x1)25，a10，當當x1時，時，y有最大值，最大值為有
8、最大值，最大值為5.CC32016中考預測中考預測若二次函數若二次函數ya1x2b1xc1的圖象記為的圖象記為C1，其頂點為其頂點為A，二次函數，二次函數ya2x2b2xc2的圖象記為的圖象記為C2，其頂，其頂點為點為B，且滿足點，且滿足點A在在C2上，點上，點B在在C1上，則稱這兩個二次函上，則稱這兩個二次函數互為數互為“伴侶二次函數伴侶二次函數”(1)一個二次函數的一個二次函數的“伴侶二次函數伴侶二次函數”有有_個；個；(2)求二次函數求二次函數yx23x2與與x軸的交點；軸的交點；求以上述交點為頂點的二次函數求以上述交點為頂點的二次函數yx23x2的的“伴侶二伴侶二次函數次函數”解解：(
9、2)令令y0，即，即x23x20，解得解得x11，x22.二次函數二次函數yx23x2與與x軸的交點坐標為軸的交點坐標為(2，0)，(1，0)；無數無數類型之二類型之二二次函數的平移二次函數的平移2015成都成都將拋物線將拋物線yx2向左平移向左平移2個單位長度，再向個單位長度，再向下平移下平移3個單位長度，得到的拋物線的函數表達式為個單位長度，得到的拋物線的函數表達式為( )Ay(x2)23 By(x2)23Cy(x2)23 Dy(x2)23【解析解析】拋物線拋物線yx2平移后的拋物線解析式為平移后的拋物線解析式為y(x2)23.A12014麗水麗水在同一平面直角坐標系內，將函數在同一平面直
10、角坐標系內，將函數y2x24x3的圖象向右平移的圖象向右平移2個單位，再向下平移個單位，再向下平移1個單位，得到圖個單位，得到圖象的頂點坐標是象的頂點坐標是( )A(3，6) B(1，4)C(1，6) D(3，4)【解析解析】函數函數y2x24x3的圖象向右平移的圖象向右平移2個單位，再個單位，再向下平移向下平移1個單位得到圖象個單位得到圖象y2(x2)24(x2)31，即，即y2(x1)26，頂點坐標是，頂點坐標是(1，6)C2拋物線拋物線yx2bxc圖象向右平移圖象向右平移2個單位再向下平移個單位再向下平移3個單個單位，所得圖象的解析式為位，所得圖象的解析式為yx22x3，則，則b，c的值
11、為的值為( )Ab2，c2 Bb2，c0Cb2，c1 Db3，c2【解析解析】先配方為先配方為y(x1)24，逆向思考把，逆向思考把y(x1)24先左移先左移2個單位，再向上移個單位，再向上移3個單位得到解析式為個單位得到解析式為y(x12)243(x1)21，化為一般式是，化為一般式是yx22x，故選，故選擇擇B.B【點悟點悟】(1)二次函數圖象的平移實際上就是頂點位置的二次函數圖象的平移實際上就是頂點位置的變換，因此先將二次函數解析式轉化為頂點式確定其頂點變換，因此先將二次函數解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標，然后求出平移后的頂點坐標，從而求出平移后二次坐標，然后求出平移后的頂點坐標，從而
12、求出平移后二次函數的解析式函數的解析式(2)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減減類型之三類型之三二次函數的解析式的求法二次函數的解析式的求法2016中考預測中考預測如圖如圖171，拋物線，拋物線yx2bxc與與x軸軸交交A(1，0)，B(3，0)兩點，直線兩點，直線l與拋物線交于與拋物線交于A，C兩點，兩點，其中其中C點的橫坐標為點的橫坐標為2.(1)求拋物線及直線求拋物線及直線AC的函數表達式；的函數表達式；(2)若若P點是線段點是線段AC上的一個動點，過上的一個動點，過P點作點作y軸的平行線交拋物線于軸的平行線交拋物線于F點，點，求線段求線段PF長度的最大值
13、長度的最大值圖圖171解解：(1)將將A，B兩點坐標代入拋物線的解析式，得兩點坐標代入拋物線的解析式，得拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3.將點將點C的橫坐標代入拋物線解析式，得的橫坐標代入拋物線解析式，得y3，即，即C點坐標為點坐標為(2，3)，設直線，設直線AC為為ykxm(k0)，將點，將點A和點和點C坐標代入，坐標代入，(2)如答圖，設點如答圖，設點F(x，x22x3)，點點P在直線在直線AC上，上，設點設點P(x，x1)有有PFx1(x22x3)x2x2.例例3答圖答圖2015遵義遵義如圖如圖172，拋物線，拋物線yax2bxc(a0)與與x軸交軸交于于A(4，0)，B(2
14、，0)，與，與y軸交于點軸交于點C(0，2)(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)若點若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當上方，當以以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此的坐標及此時三角形的面積時三角形的面積圖圖172變式跟進答圖變式跟進答圖【點悟點悟】(1)當已知拋物線上三點求二次函數的解析式時，一當已知拋物線上三點求二次函數的解析式時，一般采用一般式般采用一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)；(2)當已知拋物線頂點坐標當已知拋物線頂點坐標(或對稱軸或最大、最小值或對稱軸或最大、最小值)求解析式求解
15、析式時，一般采用頂點式時，一般采用頂點式y(tǒng)a(xm)2k；(3)當已知拋物線與當已知拋物線與x軸軸的交點坐標求二次函數的解析式時，一般采用兩根式的交點坐標求二次函數的解析式時，一般采用兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)類型之四類型之四二次函數與方程的關系二次函數與方程的關系2015寧波寧波已知拋物線已知拋物線y(xm)2(xm)，其中，其中m是是常數常數(1)求證：不論求證：不論m為何值，該拋物線與為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；軸一定有兩個公共點；12015蘇州蘇州若二次函數若二次函數yx2bx的圖象的對稱軸是經過點的圖象的對稱軸是經過點(2，0)且平行于且平行于y軸的直線，則關于軸的直
16、線，則關于x的方程的方程x2bx5的解的解為為( )Ax10，x24 Bx11，x25Cx11，x25 Dx11，x25DD32015瀘州瀘州若二次函數若二次函數yax2bxc(a0)的圖象經過點的圖象經過點(2，0)，且其對稱軸為，且其對稱軸為x1，則使函數值，則使函數值y0成立的成立的x的取值的取值范圍是范圍是 ( )Ax4或或x2 B4x2Cx4或或x2 D4x2【解析解析】二次函數二次函數yax2bxc(a0)的圖象經過點的圖象經過點(2，0)，且其對稱軸為，且其對稱軸為x1，二次函數的圖象與二次函數的圖象與x軸另一個交點為軸另一個交點為(4，0)，a0，拋物線開口向下，拋物線開口向下
17、，則使函數值則使函數值y0成立的成立的x的取值范圍是的取值范圍是4x2.D類型之五類型之五二次函數的圖象特征與二次函數的圖象特征與a，b，c之間的關系之間的關系2015遂寧遂寧二次函數二次函數yax2bxc(a0)的圖象如圖的圖象如圖173所示，下列結論：所示，下列結論：2ab0，abc0，b24ac0，abc0，4a2bc0，其中正確的個數是其中正確的個數是 ( )A2 B3C4 D5圖圖173B對于對于，易得，易得a0，對稱軸在，對稱軸在y軸的右邊，故軸的右邊，故b0，拋物線與，拋物線與y軸的交點在原點的下方，則軸的交點在原點的下方，則c0，所以，所以abc0，故，故錯誤；錯誤；對于對于，
18、拋物線與，拋物線與x軸有兩個交點，所以軸有兩個交點，所以b24ac0，故，故正正確；確；對于對于，當，當x1時，顯然時，顯然y的值為正，所以的值為正，所以yabc0，故故錯誤；錯誤；對于對于，當，當x2時，顯然時，顯然y的值為負，的值為負，所以所以y4a2bc0，故，故正確正確12015涼山涼山二次函數二次函數yax2bxc(a0)的圖象如圖的圖象如圖174所示，下列說法：所示，下列說法：2ab0；當當1x3時，時，y0；若若(x1，y1)，(x2，y2)在函數圖象上，當在函數圖象上，當x1x2時，時，y1y2；9a3bc0.其中正確的是其中正確的是( )A BC D圖圖174B22015珠海
19、珠海已知拋物線已知拋物線yax2bx3的對稱軸是直線的對稱軸是直線x1.(1)求證：求證：2ab0；(2)若關于若關于x的方程的方程ax2bx80的一個根為的一個根為4，求方程的另，求方程的另一個根一個根【點悟點悟】二次函數的圖象特征主要從開口方向，與二次函數的圖象特征主要從開口方向，與x軸有軸有無交點，與無交點，與y軸交點及對稱軸的位置入手，確定軸交點及對稱軸的位置入手，確定a，b，c及及b24ac的符號，有時也可把的符號，有時也可把x的值代入求值或根據圖象確定的值代入求值或根據圖象確定y的符號的符號類型之六類型之六二次函數的綜合運用二次函數的綜合運用2015武威武威如圖如圖175，在直角坐
20、標系中，拋物線經過，在直角坐標系中，拋物線經過點點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與，其對稱軸與x軸相交于點軸相交于點M.(1)求拋物線的解析式和對稱軸；求拋物線的解析式和對稱軸；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使使PAB的周長最??？若存在，請求出的周長最?。咳舸嬖冢埱蟪鳇c點P的坐標；若不存在，請說明理由；的坐標；若不存在，請說明理由；【解析解析】(1)利用兩根式法設拋物線的利用兩根式法設拋物線的解析式為解析式為ya(x1)(x5)，代入，代入A(0，4)；圖圖175(2)點點A關于對稱軸的對稱點關于對稱軸的對稱點A的坐標為的坐標為(6
21、，4)，連結，連結BA交對稱交對稱軸于點軸于點P，連結，連結AP，此時，此時PAB的周長最小，可求出直線的周長最小，可求出直線BA的解析式，即可得出點的解析式，即可得出點P的坐標的坐標(2)P點存在理由如下：點存在理由如下：點點A(0，4)，拋物線的對稱軸是，拋物線的對稱軸是x3，點點A關于對稱軸的對稱點關于對稱軸的對稱點A的坐標為的坐標為(6，4)，例例6答圖答圖如答圖，連結如答圖，連結BA交對稱軸于點交對稱軸于點P，連結，連結AP，此時，此時PAB的周的周長最小長最小如圖如圖176，二次函數，二次函數yx22xm的圖象與的圖象與x軸的一個軸的一個交點為交點為A(3，0)，另一個交點為，另一
22、個交點為B，且與，且與y軸交于點軸交于點C.(1)求求m的值；的值；(2)求點求點B的坐標；的坐標；(3)該二次函數圖象上有一點該二次函數圖象上有一點D(x，y)(其中其中x0，y0)，使，使SABDSABC，求點求點D的坐標的坐標圖圖176【解析解析】(1)將將A(3，0)的坐標代入二次函數解析式的坐標代入二次函數解析式y(tǒng)x22xm；(2)令令y0，解一元二次方程；，解一元二次方程；(3)由于由于SABDSABC，則，則C，D關于二次函數對稱軸對稱關于二次函數對稱軸對稱解解：(1)將將A(3，0)的坐標代入二次函數解析式，的坐標代入二次函數解析式，得得3223m0，解得，解得m3；(2)二次
23、函數解析式為二次函數解析式為yx22x3，令令y0，得得x22x30，解得，解得x3或或x1，點點B的坐標為的坐標為(1，0)；(3)SABDSABC，點，點D在第一象限，在第一象限，點點C的縱坐標與點的縱坐標與點D的縱坐標相等，的縱坐標相等，點點C，D關于二次函數對稱軸對稱關于二次函數對稱軸對稱由二次函數解析式可得其對稱軸為由二次函數解析式可得其對稱軸為x1，點點C的坐標為的坐標為(0，3)，點點D的坐標為的坐標為(2，3)二次函數圖象平移方向弄反二次函數圖象平移方向弄反(臨沂中考臨沂中考)要將拋物線要將拋物線yx22x3平移后得到拋物線平移后得到拋物線yx2，下列平移方法正確的是下列平移方
24、法正確的是()A向左平移向左平移1個單位，再向上平移個單位，再向上平移2個單位個單位B向左平移向左平移1個單位，再向下平移個單位，再向下平移2個單位個單位C向右平移向右平移1個單位，再向上平移個單位，再向上平移2個單位個單位D向右平移向右平移1個單位，再向下平移個單位，再向下平移2個單位個單位【錯解錯解】錯成錯成A或或B或者或者C【錯因錯因】yx22x3(x1)22，又，又yx2(x11)222，要得到拋物線，要得到拋物線yx2則平移的方法可以是：將拋物則平移的方法可以是：將拋物線線yx22x3向右平移向右平移1個單位，再向下平移個單位，再向下平移3個單位錯個單位錯解中把左右，上下平移方向弄反了解中把左右，上下平移方向弄反了【正解正解】D
全效學習（浙江專版）中考數學總復習 第17課時 二次函數的圖象和性質課件
