《數(shù)學(xué)物理方程》期末復(fù)習(xí)題

7、z*4+a/， 3/_-*?oh"? 聲一韭3501斤 于是 誓—&率=—4/看 3/3工”拱3^ 題中所給函數(shù)u=FG十山）十GG—由人經(jīng)過變量代換后 即為我=F（0+G（力.驗(yàn)證其是否滿足方程駕一合君=o轉(zhuǎn)化ol8質(zhì)” 為驗(yàn)證其是否滿足鼠-3 由fr，g均為二次連續(xù)可微函一數(shù),形為胃的函數(shù) 口必滿足愛■二心也即位=FJ+m）+GG—出）滿足方程 6.驗(yàn)證線性齊次方程的疊原理，即若M<—“,N

8、= mi Eg見（工.了）收斂，其中匕（￡=1,2,-）為任意常數(shù)，并對工0可以 >=i IJI 逐項(xiàng)微分兩次，求證u=￡>4<工~）仍是原方程的解. t=1 證明 令L=A若十2BV-+C昌十dF+e￡十八故有L31ar2d.Tdydydxdy =0（:=12…兀由于其中AKfD,￡\F都只是R.y的函數(shù)?故L是線性微分算子. 又由我=Za肛（w.y）,對工，y可逐項(xiàng)微分兩次”且級數(shù)收斂則 I-3 —此 Lu=L（22；（4y））=2aL（%）=0 1=）p—1 8 所以u—夕匚必（N,y）仍是原方程的解。 END 第二章（分離變量法） un—Q日寸=0

9、(00) =干(1)卡―(1,0)—中(E) %（0.八=OtNnQ"）—0 解①分離變量『令"（為D=XCOT⑺.代入泛定方程和邊界條件,得 ⑴ (2) (3) r+山"=o k+AX=0 x'e)=oH⑺工o ②解固有值問題（H）：對參數(shù)a的取值情況分別討論如下, Cj）當(dāng);IV。，則方程（2）的解是 XQ）=Cie'/^r+Ge- 其中任意常數(shù)…t由條件（3）確定，再注意到 X’〈1)—G1A巳"F-G'一、巴"一"故有 JCiJ——一c2個(gè)一a=o 1g7=Te^—G=0 由此解得G=O.C=0,從而XCr)=0,所以 猛(k”=X(f)T

10、(f)=0 顯然零解是無意義的，排除4<0的情形。 （ii）當(dāng);i=o時(shí)，方程〈2）的通解為x屋）=口,小。一而犬（工）二G?由初始條件知C=%所以X⑺= (黜)當(dāng)久>0,方程(2)的通解為XI工)=C3cosVA^+Gsin4r.而X'(h)=—QC.sin灰r+\ZIGs標(biāo):?由初始條件(3)知&=0, GsinVI/=。,而G必不為零.否則X（工）三0,所以室口以二。十即 ? ~~\ ri = 1 * 2”從而固有值久= （竿）士相應(yīng)的 有函數(shù)為 X兄(上｝=Gcos 第二意分雪變墨法 29 ③確定解的基本結(jié)構(gòu)？當(dāng)人二。時(shí)?方程(1)即為T'JQ

11、=。，解得丁口3)—A.+&人 當(dāng)人＞0時(shí),將固南■值久代入到方程。)中得 g5￡ (■ 其通解為T.⑺=A.COS牛十&4n牛 于是得滿足方程以及初始條件的特解 Au十島，(71=0) /A口打斗.口篦TTjl叮芯 —￡-W十匕個(gè)5m——ijCOS-J-、 ④疊加過程:定解問題級數(shù)形式的解為 u(r?/)=A&+B*it十允fA?cos號馬十比畫)cos-x ⑤確定疊加系數(shù)將"5必的表達(dá)式代入初始條件,得 Aq+'A^COS等H=中｛My(0

12、「 Ao=—1加工)(1工,4=—5(jc)ccjs罕工d.rZJo￡J0rI V Bq=3*>加1內(nèi)=-^—4〈4)CQS罕才di ￡」◎mTVJQI 例2-2試用分離變量法求解定解問題 fu￡—在,憶=0(0<1V/」>0) (I筋以<-7>0)=奴工》■如《H,。)— uj(0f)=0.?！词?tj=0 解①分離變量：令Mr[)=XCr)TG),代入泛定方程和邊界條件，得 r+加工丁=。cd X+ax=o⑵ （【I） =O,XU>=0⑶ ②解固有值問題（U）0時(shí)，方程（2）

13、的通解為 X(了)=C]cos+Cgsin6y 而X'（H）=-TXCisinVA^+-Zu?￡cos^/v. 任意常數(shù)GO由條件（：D確定?即 JC?=0 .Cieos/1Z+e?畬也偽=0 由此解得仁二O.CiCOsaA；=0,而a必不為零，否則XQ）三。,所以c。耳以f=0,即 瓜=⑵5=0J2…） 從而固有值4= (2科+ 1＞人 U ，相應(yīng)的固有函數(shù)為 V/、一（2元+1）?T X〃（上〕一仁1COS-/0 ③確定解的基本結(jié)構(gòu)」將固有值1代人到方程（1）中得 r:十"士孝尤尤建二o 4匕 其通解為TJ/)=A85⑵號)丐十及⑥n⑵￡1)% 這樣

14、就得到了一系列形如X(x)TCr)的特解^ /八/aC2n+DsrdiIn,(2n+1)m\ =A?eos『十七”sin-rlea ④疊加過程:定解問題級數(shù)形式的解為 第二藤分離變量法 此《“ =X(A n= 口、 21 （2,1\1）TCti]r? ^COS萬~—r+in <2r?+1)7t -"27x ⑤確定疊加系數(shù):利用初始條件得 (2汽+1〉兀 S心"弓]）" 一 “ n *,' 21 上—必才〕(0 < JT < f) 由函數(shù)系］ cos (2孔十1)就 ~~21 丁 在區(qū)間［3〃上的正交性得 ，F(xiàn) %（了）COE ?2者 DfdM

15、Q ZZ Brr = （2" + 1） n0） 討《z?0）——2仃+以,?。?.0）=0 、“1（O,t）=0TWj（/?/）=0 這顯然為例27的特例,這里中Ur)=—2峻+豆+儀1)h3則有 （—2盯+d）d*=0 A. = 4 （一 2&1；+ H ）cos 等甯 dj ..Mi —（一 ]）[/ 顯然當(dāng)笈為偶數(shù)時(shí)，4=0,故令打=2與4］，由例1知

16、 CDS （2% + 1 ） TTti / CCS ⑵十憶 弟二蕈分離受?法 63 L設(shè)弦的兩端 ■ ■ |±] 定于工=。及1=九弦的初始位稱如圖2-2所 示，初速度為零，又設(shè)有外力作用，求弦作橫向振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù) 如圖2-2所示,弦作橫向振動(dòng)時(shí)初始條件為 尹（了 e(才.0)=3(上》=0 則是下列定解問題的解: (0V上<1.1>0) ut(jt70)= 打=u(l^t)=0 該定解問題的解的形式是熟知的,其解為 ML = (A/os t + o^sin —―t)sin 由初始條件 以上）—0 故&=

17、。.而由初始條件 --C 夕4sm竽r—中Cr) 苒=1 xJsin-j:ax 工sin竿上d_r +彳/ --(I - i)sin 軍jrd工= -c I 曜7VC sin— 瓦—0 所以 J八2hlV11'箝江。G3K4-n北 iz(jrU)=4.,＞」—rsin-7—cos-r-isin-jf 五X/—u)七//II 冏一1 ”就下列初始條件及邊界條件，解弦振動(dòng)方程0 u(jrt0)=0 電工打。) =xkl 一 X) a(o,f) = nd) = 0 口(d")是下列定解問 F—1% =。 (0＜才＜￡"＞0) v ”＜h,0) =

18、 0,〃＜尤.0)=支3 一①] 、山(0 *1]— ■(hE) = 0 的解?該定解問題級數(shù)形式的解為 (A? cos --t + sin ---t) sin —j- 川一 i / Z I 由初始條件來確定系數(shù)4-E”■由于 W(JrtO)= E A? sin 竽z — 0 呷=1 I %(2,。)= —^— 57片仃bin 罕jt — jckt — h) Q”出 I 4=。 * 廿冗 j HSLTl - JT dT 一 rt o stn 所以 4尸 -4 i—Cl — cQsnn) n n a sin  3.就下列初始條件及邊界條件

19、解弦振動(dòng)方程, (0<^< J 1-TQVN<1) du dt !j=d =J?CJ7 — 1) 解以小工)為下列定解問題的解工 uo—a^u^—0(OVzVI,金〉。) "(h?0)—

20、nxd^ + 2 (1一工)sinn/LTclr = \n niz 2f". -rx>sinMJtrd.r— 所以 上［（一1）?—Ijsinar? ?a7taJ 4.解出習(xí)題一中第3題(參閱1.4之2 Do 解要求解的定解問題為 誓=/雪(口<#<￡」>。>crtcXj: m(O.E)=3d)==0 J,0)=中=0 0《I|>制 見(#?())=必H)= (I上一。區(qū)為 （?0） 其中 4=0 B改= 打工）5in箸tcLc 2 該邊界條件為第一類的.故此定解問題的級

21、數(shù)形式的解為 ■(工,￡)=Z(Acos號々+及sin號馬)&in早r rw g苒/L? ,-s > nit j 3in 丁Hdj：= rr-l-d 所以 A. /%2k*FI7TC?TK￡K， 腎大忑h>srn—：—sjo——Zsjn—jr jTi詼卯f』I 、y試求適合于下列初始條件及邊界條件的一維熱傳導(dǎo)方程的 flitc U[=口=1（/—JT） M」=4=N工r=0 解設(shè)以1”)為題設(shè)定解問題 \處—=0(0<；^<；/,/>0> Y?(JT|0>=上(￡一才) .tt(O.八—以出￡>=0 的解.由于邊界的解條件為第一類的，其級數(shù)形式的解為

22、 口k")=fueT于)&m竿 月?11 下面由初始條件確定心. 由于 故 所以 二,，nir sm 丁衛(wèi) …寞匕平 、勺解一維熱傳導(dǎo)方程，其初始條件及邊界條件為 duI 解依題意寫出定解問題如下: 第二章 分圖變暈法 67 4 Ug—口“艮 孤Q、0) =Uj)=0 (1) ⑵ (3) 用分離變量法求解，令〃Cr“}=XChJTG),代入方程和邊界條件得 /十冉丁=0 k+M=0 X"。)=O.X'Q)=0 由例1的討論知，由式(2)，(3)或構(gòu)成的固有值問題對應(yīng)的固有值為 相應(yīng)的固有函數(shù)為 =cos竽H

23、A代人式C)得 (燈=0) 八一號巧 5 = 1 Z …) 于是定解問題級數(shù)形式的解為 —CD+平3g3 n1 由初始條件知 Co+2Ccos邛X=X rt-1I 故有 jrcLr—— oL 2rnnI21「「1J】■) 丁:.tcos--tdj?』?￡[(-1)—1 ZJoIrin 所以原定解問題的解為 = ￡+￡ 當(dāng)■】)"Tk 1 CCS -JE  7.一根長為上的細(xì)桿表面絕緣，其初始溫度分布如圖2-3所示,由￡=。開始兩端溫度保持于零度，求桿上溫度分布， 圖2 — 3 姆 也桿上溫度分布為?依題毒它渦星下列定解聞.題H 上卻—

24、US雙上T = 0 〃《。,￡)— O ,w( Z, r > = O 《Q ju -1-Z ) 4 航(1. h ) — >2 G -「；「' sin 號N (1 > -r】 e RA . k rtrr I - 3pm、 --r ( fiin ———\- sm ■- -) -tt2 4 4 16h 。石十1汽苫乳n ?"土”三

25、. IQ 《2〉占in感,cosfe 5為實(shí)常數(shù)》 （3）e-（.a為實(shí)常數(shù)） 〈4）/為正整數(shù)》. 由拉普拉斯變換的定義.有 =—4■廣 > O) 由拉普拉斯變換的定義（有 丁.Y?[L0■小 Jsinktedz=—I(elfcr一 去J;L”底〃 ■ik5I迷」——+興 (Re3 > 0> 同理亢8醺門一 《3》由拉甘拉斯變換的定義〈官 %b J 3)令/S=〃■則工尸e3= 又“。)?

26、/<0) 所以由微分性質(zhì)H E5。） C5>利用（2）的結(jié)果:及平移性質(zhì)懸福 同理 "二 ￡一" U? 耳電 0 = "H a〉' T~ 氏' C6》由象函數(shù)的微分性所得 用2，<10導(dǎo)癡］-m-WQfrJS屁」-■■ 同理 注1工本四結(jié)論住求拉普拉斯變換及逆變換時(shí)偌用，應(yīng)烹記口 注2,求函數(shù)f3的拉普拉斯交的時(shí)?一定要在結(jié)果中標(biāo)明 廠，」的宙72,、----- 3.4習(xí)題全解 1.求方程 3% 2 滿足邊界條件 1 — cosy <2) <3) 的解。 解方法1對3）式兩端積分得通解 (4) u

27、（T） 其中分33粒（工）為任意二階可微函數(shù) 由式（2）式3）得 ⑦（。）+例Car）— ］于土中?(3)+⑦(1)=cosy 解得5Pi<>)=cosj7— 敦（①）=工”—P（0） 代人式（4）得 j322 =①.一手++€05>-1 方法2以以記3/4）關(guān)于變量y的拉普拉斯變換，即 11《工■$〉= dy o', du Qj: du 3jt 對式（1）關(guān)于y取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)得 由式（2）得 代入式（5）得 du。jt￡ -2,—7 對式（3）關(guān)于y取拉普拉斯變換得 取逆變換得 求解波動(dòng)方程的初值

28、向題 SlflJ- 方法 r)dr] 1如[若+ 1 ) 解之得 1〉1 十 取傅里口I逆變恢得 3, C? 證明傅里葉變換的卷積定理 其中 f" 對方程及初始條件關(guān)于變量1取K里“變換 Zsirur 方法2工用傅里葉變換法. 八㈠)一步 — fi(ey/2(r 第三章 行要法與積分登投法 129 +OQ 八（營）力（工-年）邛］= 一g U一人（好人口一中迎產(chǎn)一"= f2(*—f)e--rdr]d? 一"LKJ 令。=工一餐則 七-9 目 d，]d￡ = 究「（力?￡?）【=「2（包［「『月（，）J—M*J J-gJ—S 居

29、(m)*Fi(qj) 結(jié)論保證* 4.證明見本章例3-132 5,用積分變換法解下列問題: ,3力dxdy &(SQ)= ■十3 雇工「了）?—能壯工 對泛定方程關(guān)于變量X取拉普拉斯變換得 由拉普拉斯變換的定義及微分性質(zhì)，有 %(19)￡一" —[jfif?(；rTy)J—w(O,)J 13D數(shù)學(xué)坳理方程與特殊函數(shù)導(dǎo)教?導(dǎo)學(xué)?導(dǎo)考 即得 du11 ayf 解之得T%+亡 r 一「+，?r+w1 因以（￡才0）=以H.。）^”^d*=電7（1工—一 J0Jo3 所以可得 裂〈￥

30、『了）='古為+2 S5 取逆變換得 M（工1））=y妙工工+斗]十/?C-]=x>+丫+1 5 5S 6 .求上半平面內(nèi)靜電場的電位，即解下列定解問題 (L) (2) (3) 尸乜=。~>0 ilimw=0 jr.中a 十5 挑 記漢。,））— ?(jr,jF)e-kMCdjr -5 工g y《H）p—3也 對式（1）兩端關(guān)于變量工取傅里葉變換,結(jié)合微分性得 d2w dy o/tt=0 其通解為 屋包,31=G產(chǎn)+C3e 對式（2）兩端取傅里葉變換■得 水3。）=F） 由式<4）｛5〉

31、得 我（卬■“=Gy％（F（卬）—G）62 由式《3〉得 lim虱3”）=。（6） yT中■ （i）當(dāng)舊=0時(shí)，顯然以（必口"F向） （11）當(dāng)3>。時(shí),若要滿足（6）式須有G=。?即 以=F（a）e3 （iii）同理⑷<0時(shí). 林（小了）—F（3）€* 綜上知￡（3丁）=F（w）e-1^（7） 易知 曠］rA-闔y丁=￥― .L」—林（/+3） 對式（7）取逆變換，由卷積定理得 石|同7（了）]]?FC y n n（y）J f（x）異 兀」 y+ 。） du 解

32、 令"O,S）- f M（ J7? / ）e-q df 對泛定方程關(guān)于E取拉普拉斯變換，結(jié)合微分性質(zhì)得 .-W 爾（工73>—我（N,0）=aWjrp（ 由初始條件，得 ,1r, 口花百〔了”）一SU（T^s）—H? 132 數(shù)學(xué)物理方程與特殊用散導(dǎo)教■導(dǎo)學(xué)?導(dǎo)考 看初始條件 - A P L, ?>COo) = -[Jo啾]⑻… 立」a —u o X— 0- ■工（0"）七一紀(jì)力 =0 o 就（，亨夕》=「抹（」?工）無一套出— 電=也 s 求解 ?[> a2 d省§? —^―"---M df尸 &

33、 cosh— ?01產(chǎn)[—%2 5'8sh馬 第四章用普應(yīng)斯歷程的拙林函數(shù)法 143 第四章(拉普拉斯和格林函數(shù)) 例4-9給出二維區(qū)域R上狄里克雷問題 (4.14) (4. 15) 6 16) (4. 17) V2?—0u\r= 的格林函數(shù)，并建立格林函數(shù)和該問題的解之間的聯(lián)系. 解從二維調(diào)和函數(shù)的基本積分公式出發(fā) u(M0)=[I[1口—―u旦(In—)]ds /乳」『rdn&nr 在第二格林公式中選?為調(diào)和函數(shù)得 式(4.16)和式(4.17)相加，得 wCM))—In，+v)善—v具(31口,+也)d$(4.18) JpZxrera8"工兵r

34、令=上L，十口且G(M.Mq)二0 z兀M 為區(qū)域。上狄里克雷問題的格林函數(shù)R 其中?滿足 產(chǎn)』=0 plr=一口口」一. I/冗F”r 由式(4J8)得式(4,14)與(4.15)的解為1 (4.19) ⑷20) (4,21) ?(Mu)=—[u姜d$=—中美d$ W410 解圓域上的狄里克雷問題 JrdnJrdn 嚴(yán)=0(/+/ =/⑹(&，+/=rn) 解首先給出圓域上的格林函數(shù)?設(shè)必為圓內(nèi)任一固定點(diǎn)，在 M放一單位正電荷,“關(guān)于圓周 的反演點(diǎn)記為M上，（見圖4-1）即 \JNfq」■『叫一京 在M一處放電量為q的負(fù)電荷,F為球面上任一

35、點(diǎn).要保證球面上電勢為零，必有 乩工 上河廣叫尸 所以g需滿足 P 9= 「也『 由AOMoPsAOPMX知 』p『叫R =q= rM]PRrOM* 設(shè)A4為球內(nèi)任一點(diǎn)，記產(chǎn)==&仍=”=曠”■了為。M和OM,的夾角，則 二”[ln-——In――--[= [In-71— 2汽J^喪,-2的8科7 10—下1—] PQ+向一2中口cy 設(shè)CM&與的方向余弦分別是（cos%聞n跖）和（co蛉,國nd）.則 cosy=co式爐一優(yōu)）=cosffcosfffj+sinffsinfi 因： aG3Gl 初rdflIp=h 且三口口＞^…iL—一口,]]] 3

36、flI2kL/藤+"一泳內(nèi)0V4薩—2把中;儂了+2」/I「=月 144 數(shù)學(xué)物理方程與將姝困眼導(dǎo)教?導(dǎo)學(xué),導(dǎo)考 1ip—pew浦p-R'伊co$了I 2rip"+&-2的cOsypip2—cosy+P4Ip=r i『 ZttRR-23cosy+情 由例4-9的結(jié)果即得式(4.20),式⑷2D式的解為 2/R p= r * - 2即u co&y + p： R' 一 2&oco虱6- 氏)+而 f(ff)d0 (4.22) 例4-11若函數(shù)以工，5是單位圓上的調(diào)和函數(shù)，在單位圓周 上U =疝例8為極角3問現(xiàn)在原點(diǎn)的值等于多少7 解 解法1由平均值公式（見例4 - 6

37、）知： w(0)-: ]r￡ sintfdj —— sin0d0 = 0 II 4, 4 習(xí)題全解 11見例4 - 4d 2.見例4-1。 3 .見例4一50 4 .試定義平面上的格林函數(shù),并導(dǎo)出平面上拉普拉斯方程狄里 克雷問題的解。 上半平面上拉普拉斯方程狄里克雷問題為 0 仃〉0) =/⑴ 設(shè)MK羽，為）為上半平面上的任一點(diǎn)，利 用格林函數(shù)的物理意義知:在點(diǎn)處放一單位 正電荷,Mu關(guān)于金軸的對稱點(diǎn)M1處放一單位負(fù) 電荷后上半平面上的點(diǎn)M處的電勢即為格林函 數(shù)6何/°）在肘處的值（見圖4-2）,即 G(M.Mq)=，口n—^—―InJ 4r%M

38、5網(wǎng) 1in 2k .（.二照尸+（y-p、Q）2 -t?）2+ 又 嗎一驅(qū)j_衛(wèi)一 加L=。dy15=ait〈1-&）'+/ 由例4?g的結(jié)果即得定解問題（i）的解為 j「一 以鼻，加）—— TTJ— Fl) <5< 2> (5. 3) ⑸4) (5. 5) (5. 6) ⑶7) 其中15 （哈工必工=與 (ar ) JLJh）的平方根為，（食”）的?？? （2）除了正交性外?函數(shù)系L（ 還是完全的，所謂完 M= 1 第五章（貝塞爾函數(shù)） 2.貝塞爾函數(shù)的遞推公式 笫一組： 點(diǎn)5人＜工”=（金） f匕-，J—1--vyz（工

39、） dx 注.作為特殊情形7\（x）=一人（才） 第二組? J科］〔才〕+丁丁1「?。?紅/門（工） H JI5）—JeD—2J\（jc） 第三組； jrdjr ￡-^-尸［二川人（1刀=《一1"工―LEJ什EJ）jrdjr 注：算子尸不能和力1混淆，工史工Mdjr 注,第一維和第二小m奈東南妹47r7備果他的：心雎力、才 4.戛塞爾函教系的正文完全性 ｛ （?T）］S J"筆rr）在［OH］上帶權(quán)重r正交，即 KJF=、 「*JJ啥工）人＜啥上山= 0（巾#k） 母/3（產(chǎn)『）一為常（金）《Ef） 全性是指除了這個(gè)函數(shù)系中的函數(shù)彼此正交外不存在其他的非

40、零函數(shù)與這個(gè)系中的所有函數(shù)都正交+ 5.3例題分析 L含幾（工）的積分計(jì)算問勒 解題思路：遇到這種積分，一般要利用分部積分法結(jié)合遞推公式去計(jì)算,靈活運(yùn)用遞推公式是解題的關(guān)鍵口 例5-1求V3（注）+. ■ 解在式（5.2）中取加=人得 4［工Ui（了I］=一—九（#） 由分部積分法得 幻E（N）d/=一j寓J［；fTJ］（彳）］二 -jt*Jl（工）1+2］■jr-1Ji（jr）dx- J r jHi（上）+2JJGdrH J —xj?（x）—2Jo4-C 其中用到了式（5.3）. 例5-2求jr」（.r）djr□ 解解法1由（5.D式及分部積分法得

41、 |x1Jj（-r）dx—Jx7?Jj（x）dx=工11#'J?（工）［= *?上工人（工）一2匕*，九（h）cLt= J -J-21Jz（才）db= -，，（工）—人Q）+G 又由（5.4）式得 人J）=?O—J［（q）」人才）=~Ji（jt）—JqG） 才JT 進(jìn)而得： Ji（工）d式—jcz（8-+4a（工*一4）JiD+C J 解法2由式⑸3）,式（5.1）及分部積分法得 儲(chǔ)J11-F）dw=-J./（1［九（jr）］=一工’人（工）+4［jr37a（^>djr— JJJ 一h’JN］）十dE-rJt（工）1— 一父+九（遼>+上―J］（工）—8工工J

42、1（H>d_r= J —H*Jc?（上）+4上，J1Cx）—式上）+C 又由式（5.4）得 2 J/二）=—Jh（z）一人（工）（5.9） H 例S-3計(jì)算ePJi（乩）di5>0川及方為實(shí)數(shù)兀 Jm 解利用公式Wui版）］=一比\（履）及分部積分法得 LEJ ] )(tr = 0 ;一月;人（裊）廠也 -L「i一 bL /一[ +Ar 5.4習(xí)題全解 當(dāng)。為正整數(shù)時(shí),討論LGr）的收斂范 EEQ q 解當(dāng)非為正整數(shù)時(shí)工 J.(r> =由(-h 4n 0 2日?，?。? 指》 對取

43、定八級數(shù)通項(xiàng)為上 a二(一1)m 第五章 具塞爾由依 I的 計(jì)算得 由達(dá)朗貝爾判別法知該級數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂, A寫出幾九（工〕（押是正整數(shù)）的級數(shù)表示式的前5 項(xiàng)口 解 由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示式知當(dāng)n為整數(shù)時(shí): 工（R） DO =》 DO > =Q fe!r(n + i+ 1) 2 4!+ 4)! 2 特別地 J】（H） =亨T（尹十點(diǎn)華》一 -J—C —57 3!4! 3 Jo（T） )9 T 4!5! 2 =1 — (-)2 +—(―)1 (―)^ 十―i—(―)e + … ' 2 ' 丁 4 ' 2 (3!)2

44、< 2 丁(4!產(chǎn) 2 十 3.證明(0) 0寸其中n ~ L2,37… = ?(一1 尸 *=0 不含常數(shù)項(xiàng)，所以九1<0> = 0 4. Fjo（w）=? di / ) Jfe!(2" +反一]>!、萬, 5. ；人（以） dr （027）］ cIh — 、」0Cai) 三 一a/1 (az) d)=0的解. 證方法1由第二組遞推公式(5?4),式⑸5)得 =Ji(h)—三八⑺ T 匚3-k8+“

45、5 所以 =廠&)=NG+言人(s)：)= 一dJl(O37)+——J"〔E) -7 yf=一/二[(方)一片])+—J\(aT)H工 又 ?%[呼)=旺J*dT》一^^Ji(E)]=dkATJar oj打CoX)—'m(cfT) X 所以 yr~—trsCor)+Je(tzi)一日J(rèn)x(or)十 jrh, — ~L—工1e(厘)+~Jrt(crt)]=上’x — 1Jh(皿)+K門+1[j&皿)—)— 工H _2 — JL<(XT)+。人(CU：)=工工 —G3J“(區(qū)T)+—J5(or)H 代人即得 x+、F5/+(q*充m一片zv0 方法2因城

46、aaj,3“一，由人J）是制階貝 塞爾方程 Jt2y…? （t!" + 冷「（；）= 乙 乙 +j：yf十(工￡一rtryy—0 的特解，得 (&r)z J\(AT ) + (flj-) j\((xr ) + C(ftT >2 — — 0 「(~2—b m) ~ ~g- 5 2 3 2 3 ? 5 (25 + I) r(~)= 解先計(jì)算n（*）Jt（A，因 "）=sy后h …膽17弓+w乙 33 蜂+m一］）=（告》= 同理可得 jt《公 (一］尸2?"1 (2m + 1) !4 2^ 《二 IF EnrH 《2m+

47、D! 3-5(2m+1) 所以 --j-€X1 =S D 由遞推公式（5.4）得 /不，＞=?/小工）一上門］）= 第五章貝塞爾函敷 169 -cos^ + —sin.T）= 昌心及）（皿） V 7T 士 d.jr J" 一般地，在式（5.7）中取將H與得 J二1^）sin（j；R>+—COS（X一K）J NFTJTJ7 &試證了=Ji（工）是方程城*"+tj"2—2）y—0 的一個(gè)解,證因歲=]打#了），易知 y=1工一+J寺〈才）4w4（jt） y=一:工一打號（1）+[]―3/'號<上）+ 所以 *（.公一2）,=—（H〉

48、—《l+j多（力+ 工工4? 3 —2）n+j.G）= 才藝［工2（I）+xj，4（x）+ 0 （上？—?。℉）］ 4 - 門（工）滿足多階貝塞爾方程，即得結(jié)論成立. 9,試證》=工廠。）是方程 y/—］*'+（1+二—nz）y=0的一個(gè)解西 證容易計(jì)算得 y=j-+工j：（#） /=2J，CG+J

49、"，4,）+4J%（h）=0 證（1J由式（5.3；知 J\（2T）=—Ji（d 由式45.。、式（5.51得 令陞—1,得 rI＜］）=—J3Gr）-Jz（^） 所以 丁二〈1）-J/n（X）一一/「（3）+工，］（^，— 工H ———J1（H）十Jf（H）+--J］￡］）=J2Cjt） SCJC 注:當(dāng)然也可用下法求r1《工人 J'E（工）=C-T?JT-1Ji《M））=上7/（工）一_T?J?T4（H）= —J3（上）一人（工）JC （2）由（1）及式（5.4＞得 jnh）="。（*）+工人（上）=JT2 即JNG=2/口（了）十人（工） 求導(dǎo)得

50、「人1＞=2」=（了》+匚（1＞ 在式￡5.5）中取n=2.得 八（工）=—2J=（h）+Ji（工）= —4J*o（jr）-3J*g（h） 注：也可采用下法證得分 由式（5,5）得 /J）=一2/，（工＞+九（工）=一2」，（工〉一/%（上） 又九（了）=幾（1）一2/1（了） 求導(dǎo)得J'/i）=「。（了）一2廠口（工） 代人式（5.8）即得 /3（工）=—4口（/）—3J'◎（h） 第六章（勒讓德多方程） 6.4習(xí)題全解 1,證明巳（1）=1）=（一?尸之1（。）=。+ (一1)F2/)1 2Srt(n!)2 證為了計(jì)算p4±l）?我們要用勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)致

51、表示式, 即羅德利克表達(dá)式 因?yàn)? d.r" [ O+ — 1)M]= d- djr d d- (工一1" + …4- < + 1)" 山一 d」

52、7)!(2n—2rn)! 它的常數(shù)項(xiàng) P如《0）= (4 72 — 2/1 ) ! C2n)I 2小標(biāo)>0! 2R")  ?1 2.證明A>t2=母尸乂+^戶口⑺*J"J b）才=看產(chǎn)弓（士）（上） ■_7Q 證把Q）■?（＞＞與ACr＞的表達(dá)式代入右端進(jìn)行簡化w另一個(gè)方法是將及算按勒讓德多項(xiàng)式函數(shù)系進(jìn)行展開口 3.若 /（J7）= Q（一1vj：W。） T（0<.1<2]） 證明y（.T）=3pqG）4」h（.T）*nHQ）一/P|Gr）+???4ZJ63d 證將f〈Q展開成勒讓德多項(xiàng)式的級數(shù)Xf /（H）=3c『J- i（=P 其中 「2n+1p

53、"INF、』2rt十1「0,、工 J=5—jkx）rn［^）d^r=————1尸汽（h）di 將匕用羅德利克表達(dá)式代人，然后用分部積分法求出右端積分口當(dāng)力=。及k=1時(shí),被積函數(shù)分別是H及不，可以直接積分,當(dāng)總＞2時(shí)，可得 ——紅土1.」 — 1）附： （上一1）乂丁十1尸,對它求劉一Z階導(dǎo)數(shù).所以求 完導(dǎo)數(shù)后所得的每一項(xiàng)都會(huì)含有上一1的因子，即 dN 計(jì)算 ] 由于結(jié)論中右端只有四項(xiàng)?所以只需令用=2.3,4求出上述值, 4.證明 PJjr）工 證先證明戶'I（T）=戶'IO）+（2n+15匕（/） 利用羅德利克表達(dá)式，有 I zTm! 2^7

54、 張-1" + 2+(' T) PH 6) + 2i (W一1)! ?[(/ — I)* + 巳《"十”（寸—I》廿〈三-IIP 整理后結(jié)論得證.^ 5.證明 葭⑺士（2鞭-1）P…］（1）+（271-5）「『一31上）+（2疔-9）P1E）H 提示】反復(fù)利用 pt^i（金）=（2A+3）H（Jr）十0‘11a）即可證明本題的結(jié)論. &臉證尸NX）=3（,/一1”滿足勒讓德方程 2n!d」、 提示：要證明P,Cr>滿足 <1—工’）中二（工）一2坤，人工）+〃（門+1）凡（W）=0 因?yàn)椤狪F=2ni'

55、-1）”=2nr（jt~—1）"dm 考慮到尸”了）的表達(dá)式中含有一1/對才求冷階導(dǎo)數(shù)，所以八3中應(yīng)含有（一一1/對1求孔+2階導(dǎo)數(shù)，我們在上式兩端對才求，+1階導(dǎo)數(shù),并利用求乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式，即可得到要證的結(jié)論° 1L利用勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)，證明遞推關(guān)系 Fl（才） 2制+1 r?+l 工產(chǎn)uQ） 解(1+產(chǎn)-2與)T=2P.Q獷a—上式兩端對上求導(dǎo)數(shù)得 1J■ —y(1+r2-2mr)T(2-2jr)=. ibd 即(1+/3-—。=(1-I■產(chǎn)―2W)= T=0再利用母函數(shù)定義得 ，3 (工一f)ZHC.r)「=(1+/2—2r>Z在<耳)「;阡==CfjN. ■―工工1卬 即f=￡駕尸乂=?1+ gaIL 工止＜工）廠|一2工2＞凡＜上） IT r屯 3 即 ￡(27i + 1HP