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1、第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值二、條件極值二、條件極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值),(),(yxfyxf00),(),(yxfyxf00 定義定義4-64-6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域的某一鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,對于該鄰域內(nèi)異于對于該鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn)的點(diǎn) 都滿足不等都滿足不等式式),(yxfz ),(00yx),(00yx),(yx 極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值; ;使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 有有極小值極小值( (極大值極大值) ); ;
2、 . . 為函數(shù)為函數(shù) 極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)( (極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)) ). .),(yxfz ),(00yx),(00yxf),(00yx),(yxfz 例例處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(4322yxz 處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處處無無極極值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(xyz 例例 從以上例子看出從以上例子看出:若函數(shù)在某點(diǎn)取得極值若函數(shù)在某點(diǎn)取得極值,這點(diǎn)的偏這點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)等于零或不存在導(dǎo)數(shù)等于零或不存在.下面介紹極值存在的必要條件與充下面介紹極值存在的必要條件與充分條件分條件., 0),(00yxfx0),(00yxfy 定理定理4-54-5
3、（必要條件必要條件) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 取取得極值得極值, ,且在該點(diǎn)處兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在且在該點(diǎn)處兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在, ,則必有則必有),(yxfz ),(00yx證明證明不妨設(shè)不妨設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有極大值處有極大值 ),(yxfz ),(00yx ),(yx),(00yx 則對于的則對于的 某鄰域內(nèi)任意某鄰域內(nèi)任意 ),(00yx都有都有 ),(),(yxfyxf00類似地可證類似地可證 . 000),(yxfy必有必有 000),(yxfx說明一元函數(shù)說明一元函數(shù) 在在 處有極大值處有極大值 ),(0yxf0 xx 故當(dāng)故當(dāng) ， 時，時， 0yy 0 xx ),(),(000
4、yxfyxf 與與一元函數(shù)相同，我們稱一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)一元函數(shù)相同，我們稱一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)為函數(shù)的為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn). .如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢? 定理定理4-64-6（充分條件充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,又又 ， . .),(yxfz ),(00yx000),(yxfx000),(yxfy221yxz (2) (2)極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn). .因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面可能是極值點(diǎn)，如錐面 在頂點(diǎn)在頂
5、點(diǎn) 處偏導(dǎo)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn). .)0,0( 注意注意 (1)駐駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如例如, , 點(diǎn)是函數(shù)點(diǎn)是函數(shù) )0,0(xyz 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn), ,但不是極值點(diǎn)但不是極值點(diǎn). . Ayxfxx ),(00Byxfxy ),(00Cyxfyy ),(00令令則有則有 （1 1）當(dāng)）當(dāng) 時時, ,函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處具有處具有極值極值, ,且當(dāng)且當(dāng) 時有極大值時有極大值, , 時有極小值；時有極小值；02 ACB),(yxf),(00yx0 A0 A （3 3）當(dāng)）當(dāng) 時時, ,可能有極值可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還
6、需另作討論還需另作討論. .02 ACB （2 2）當(dāng)）當(dāng) 時時, , 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沒沒有極值；有極值；02 ACB),(yxf),(00yx 由此可得求二元可微函數(shù)由此可得求二元可微函數(shù) 極值的一般步極值的一般步驟：驟： ),(yxfz 第一步第一步求函數(shù)求函數(shù) 的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù);第二步第二步解方程組解方程組 ,可求得所有駐點(diǎn)可求得所有駐點(diǎn);0),(0),(yxfyxfyx第四步第四步求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值 對每個駐點(diǎn)對每個駐點(diǎn),求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C 的值的值,并根據(jù)并根據(jù) 的符號判別各駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)的符號判別各
7、駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn),是是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);第三步第三步ACB 2),(yxfz 例例4-284-28 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. . xyxyxyxf933),(2233解解 求方程組求方程組063096322yxyxfxxyxfyx),(),(得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) . .),(),(),(),(23032101、66 0 66 yffxfyyxyxx,又又在點(diǎn)在點(diǎn) 處處,),(010722 ACB且且012 A故故 是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn),極小值為極小值為 .501),(f),(01在點(diǎn)在點(diǎn) 處處,),(210722 ACB故故 不是極小值點(diǎn)不是極小值點(diǎn).),(21在點(diǎn)在點(diǎn) 處
8、處,),(030722 ACB故故 不是極小值點(diǎn)不是極小值點(diǎn).),(03在點(diǎn)在點(diǎn) 處處,),(230722 ACB且且012 A故故 是極大值點(diǎn)是極大值點(diǎn),極大值為極大值為 .3123),(f),(23 求最值的一般方法：求最值的一般方法： （1 1）求函數(shù)在）求函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； （2 2）求出函數(shù)在）求出函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值處的函數(shù)值, ,以及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值；以及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值； （3 3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最）相互比較函數(shù)值的大
9、小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值數(shù)的最大值和最小值.二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值 例例4-29 求函數(shù)求函數(shù) 在圓域上在圓域上 的最大值的最大值.224yxyxf),(122 yx解解 顯然顯然,函數(shù)在圓周函數(shù)在圓周 上的值到處是上的值到處是 .122 yx3令令04042222yxyyxfyxxyxfyx),(),(得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) ,),( 00)(),(3200f所以在所以在 處取得最大值處取得最大值2.),( 00 在很多實(shí)際問題中在很多實(shí)際
10、問題中,根據(jù)問題本身的性質(zhì)根據(jù)問題本身的性質(zhì),知道函數(shù)知道函數(shù)f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)一定能取到最大值內(nèi)一定能取到最大值(最小值最小值),又如果函數(shù)又如果函數(shù)在在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn)內(nèi)只有一個駐點(diǎn),那么這駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是那么這駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是f(x,y) 在在D上的最大值上的最大值(最小值最小值),而不必再進(jìn)行檢驗(yàn)而不必再進(jìn)行檢驗(yàn). 例例4-30 要制作一個容量要制作一個容量V為長方體箱子，問如何為長方體箱子，問如何選擇尺寸，才能使所用材料最省？選擇尺寸，才能使所用材料最??？此水箱的用料面積此水箱的用料面積)(xyVxxyVyxyS 2xyV解解 設(shè)箱子的長為設(shè)箱子的長為 , ,寬為寬為
11、, ,則其高為則其高為 . .xy 2)(yVxVxy),(00yx 所以當(dāng)水箱的長、寬、高均為所以當(dāng)水箱的長、寬、高均為333VVV, 時時，水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省.33VyVx,令令020222)()(yVxSxVySyx 根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域在，并在開區(qū)域D D 內(nèi)取得內(nèi)取得. .又函數(shù)在又函數(shù)在D D內(nèi)只有唯內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)),(00yx時，時，S S取得最小值取得最小值33VyVx,條件極值條件極值 對自變量有附加條件的極值對自變量有附加條件的極值
12、無條件極值無條件極值 對自變量除有定義域的限制外無任何其對自變量除有定義域的限制外無任何其它條件限制的極值它條件限制的極值無無條條件件極極值值條條件件極極值值 二、條件極值二、條件極值條件極值還可以應(yīng)用條件極值還可以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法來拉格朗日乘數(shù)法來計算計算.問題問題 求目標(biāo)函數(shù)求目標(biāo)函數(shù) yxfz,在約束條件在約束條件 0yxg,下的極值下的極值.0,0,0,yxgFyxgyxfFyxgyxfFyyyxxx求解步驟求解步驟(1) 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)(lagrange函數(shù)函數(shù))yxgyxfyxF,( 為常數(shù)為常數(shù)) (2) 對函數(shù)對函數(shù) 分別關(guān)于分別關(guān)于 、 、 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),并令
13、并令其等于零其等于零,得方程組得方程組),(yxFxy (3) 解方程組解方程組,若若 是方程組的解是方程組的解,則則 是可是可能的條件極值點(diǎn)能的條件極值點(diǎn)),(000yx),(00yx (4) 判別判別 是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn).在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中,可根據(jù)問可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定題本身的性質(zhì)來判定.),(00yx 例例4- 31 某工廠生產(chǎn)兩種型號的儀器某工廠生產(chǎn)兩種型號的儀器,其產(chǎn)量分別其產(chǎn)量分別為為 臺和臺和 臺臺,兩種儀器的產(chǎn)量與所需的成本的關(guān)系可兩種儀器的產(chǎn)量與所需的成本的關(guān)系可以用一個以應(yīng)變量以用一個以應(yīng)變量z為成本、以自變量為成本、以自變量(x,y)為兩種儀器為兩種儀器
14、產(chǎn)量的函數(shù)表示產(chǎn)量的函數(shù)表示: (單位單位:萬元萬元).若根據(jù)若根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測市場調(diào)查預(yù)測,需這兩種儀器共需這兩種儀器共8臺臺,問應(yīng)如何安排生產(chǎn)問應(yīng)如何安排生產(chǎn),才能使成本最小才能使成本最小?xxyyxz222構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解解 本題歸結(jié)為本題歸結(jié)為: 求函數(shù)求函數(shù) 在約束條在約束條件件 下的最小值下的最小值.xyyxz22208 yxyxF,)8(222yxxyyxy解方程組解方程組080402yxxyFyxFyx得唯一解得唯一解7, 3, 5yx 由于實(shí)際問題的最小值存在，由于實(shí)際問題的最小值存在， 、 是是 唯一的駐點(diǎn)，故唯一的駐點(diǎn)，故 、 是本題的最小值點(diǎn)是本題的最小值點(diǎn).即：兩種即：兩種型號的儀器各生產(chǎn)型號的儀器各生產(chǎn)5臺和臺和3臺時臺時,總成本達(dá)最小總成本達(dá)最小,最小成本為最小成本為5x3y),(yxF5x3y2835325) 3 , 5 (22z(萬元萬元)1.二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值2.取得極值的必要條件、充分條件取得極值的必要條件、充分條件3.二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.無條件極值無條件極值 條件極值條件極值
44醫(yī)用高等數(shù)學(xué)
