高中數(shù)學 階段復習課 第二講 證明不等式的基本方法課件 新人教A版選修45

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1、階段復習課第二講【答案速填【答案速填】_ _ _分析法分析法放縮法放縮法作差法作差法作商法作商法類型類型 一一 比較法證明不等式比較法證明不等式 比較法證明不等式的依據(jù)及步驟比較法證明不等式的依據(jù)及步驟比較法證明不等式的依據(jù)比較法證明不等式的依據(jù): :不等式的意義及實數(shù)比較大小的充不等式的意義及實數(shù)比較大小的充要條件要條件. .作差比較法證明不等式的一般步驟作差比較法證明不等式的一般步驟: :作差作差; ;恒等變恒等變形形; ;判斷結果的符號判斷結果的符號; ;下結論下結論. .其中其中, ,變形是證明推理中一變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵個承上啟下的關鍵, ,變形的目的在于判斷差的符號變

2、形的目的在于判斷差的符號, ,而不是考而不是考慮差能否化簡或值是多少慮差能否化簡或值是多少, ,變形所用的方法要具體情況具體分變形所用的方法要具體情況具體分析析, ,可以配方可以配方, ,可以因式分解可以因式分解, ,可以運用一切有效的恒等變形可以運用一切有效的恒等變形. .【典例【典例1 1】設設a,b(0,+),a,b(0,+),且且abab, ,比較比較 與與a+ba+b的大小的大小. .【解析【解析】因為因為a a0,b0,b0,0,且且abab, ,所以所以a+b,(a-b)a+b,(a-b)2 2,(a,(a2 2+ab+b+ab+b2 2), ), 均為正數(shù)均為正數(shù), ,所以所以

3、所以所以3322abba33332222ab11abab()baba222221ababaabb,a b221a b3322abab0,ba3322abab.ba類型類型 二二 綜合法證明不等式綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的依據(jù)與技巧綜合法證明不等式的依據(jù)與技巧綜合法證明不等式的依據(jù)：已知的不等式以及邏輯推證的基綜合法證明不等式的依據(jù)：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論本理論.證明時要注意：作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式證明時要注意：作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證已知或已證)成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避

4、免錯誤，應有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應用時要如一些帶等號的不等式，應用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當且僅當當且僅當時，時，取等號取等號”的理由要理解掌握的理由要理解掌握. .綜合法證明不等式的思維方向是綜合法證明不等式的思維方向是“順推順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件( (由由因導果因導果) )，最后推導出所要證明的不等式成立，最后推導出所要證明的不等式成立. . 【典例【典例2 2】設設a,b,ca,b,c為不全相等的正數(shù)，且為不全相等的正數(shù)，且abcabc=1,=1,求證

5、：求證：【證明【證明】因為因為a a0,b0,b0,c0,c0 0，且，且abcabc=1=1，所以所以又又同理同理111abc.abc111bcacab.abc2bcac2 bcac2 abc2 c，bcab2 bacab2 a，因為因為a,b,ca,b,c不全相等，所以上述三個不等式中的等號不能同時不全相等，所以上述三個不等式中的等號不能同時成立，成立，所以所以即即所以所以2 bcacab2abc .bcacababc，111abc.abc類型類型 三三 分析法證明不等式分析法證明不等式分析法證明不等式的依據(jù)及策略分析法證明不等式的依據(jù)及策略分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質、已知

6、的重分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論要不等式和邏輯推理的基本理論. .分析法證明不等式的思維方分析法證明不等式的思維方向是向是“逆推逆推”，即由待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立，即由待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件的充分條件( (執(zhí)果索因執(zhí)果索因) )，最后得到的充分條件是已知，最后得到的充分條件是已知( (或已證或已證) )的不等式的不等式. .當要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明，當要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更為有效特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往

7、更為有效. .【典例【典例3 3】已知已知ABCABC的三邊的三邊a,b,ca,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試用分的倒數(shù)成等差數(shù)列，試用分析法證明：析法證明：BB為銳角為銳角. .【證明【證明】要證明要證明BB為銳角，只需證為銳角，只需證coscos B B0 0，又因為又因為所以只需證所以只需證a a2 2+c+c2 2b b2 20,0,即即a a2 2+c+c2 2b b2 2，因為因為a a2 2+c+c2 22ac2ac，所以只需證所以只需證2ac2acb b2 2，222acbcos B2ac，由已知由已知即即2ac=b(a+c2ac=b(a+c).).所以只需證所以只需證b(a+cb

8、(a+c) )b b2 2，即，即a+ca+cb b，顯然成立，顯然成立. .所以所以BB為銳角為銳角. .211bac，類型類型 四四 反證法與放縮法反證法與放縮法 反證法的證明步驟與常見命題反證法的證明步驟與常見命題運用反證法證明不等式，主要有以下兩個步驟：運用反證法證明不等式，主要有以下兩個步驟：作出與所證不等式相反的假設；作出與所證不等式相反的假設；從條件和假設出發(fā)，應從條件和假設出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明原不等式成立原不等式成立. .反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題反證法常用于直接證明

9、困難或以否定形式出現(xiàn)的命題. .涉及涉及“都是都是”“”“都不是都不是”“”“至少至少”“”“至多至多”等等形式的命題，也常用反證法形式的命題，也常用反證法. .【典例【典例4 4】已知已知0 0 x x2,02,0y y2,02,0z z2,2,求證：求證：x(2-y),x(2-y),y(2-z),z(2-x)y(2-z),z(2-x)不都大于不都大于1.1.【證明【證明】假設假設x(2-y)x(2-y)1,y(2-z)1,y(2-z)1,z(2-x)1,z(2-x)1 1均成立均成立. .則三式相乘有：則三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)xyz(2-x)(2-y)(2-z)1

10、 1，由于由于0 0 x x2,2,所以所以0 0 x(2-x)=-xx(2-x)=-x2 2+2x=-(x-1)+2x=-(x-1)2 2+11,+11,同理：同理：0 0y(2-y)1,y(2-y)1,且且0 0z(2-z)1,z(2-z)1,所以三式相乘得所以三式相乘得0 0 xyz(2-x)(2-y)(2-z)1xyz(2-x)(2-y)(2-z)1，與與矛盾，故假設不成立矛盾，故假設不成立. .所以所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于不都大于1.1.【典例【典例5 5】求證：求證：【證明【證明】故故n111n1.23212n11

11、1123213333nnnn111111111111()()()24422222222 nn1n(1).222n111n1.23212【跟蹤訓練【跟蹤訓練】1.1.若若a ab bc,nNc,nN* *，且，且 恒成立，則恒成立，則n n的最大的最大值為值為 ( )( )A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5【解析【解析】選選C.C.11nabbcac bcab11abbcab (bc)2ac24ac ().abbcabbcac2.2.求證：求證：證明：欲證證明：欲證只需證只需證只需證只需證, ,只需證只需證只需證只需證 只需證只需證21212525，這顯然成立，這顯然成

12、立. .所以所以7553.7553.73 2 5，22732 5102 21 20,21 5 ，7553.上述證明過程應用了上述證明過程應用了 ( )( )A.A.綜合法綜合法 B.B.分析法分析法C.C.綜合法、分析法配合使用綜合法、分析法配合使用 D.D.間接證法間接證法【解析【解析】選選B.B.根據(jù)分析法的特點可知，上述證明過程是分析根據(jù)分析法的特點可知，上述證明過程是分析法法. .3.3.如果如果logloga a3 3loglogb b3 3且且a+ba+b=1,=1,那么那么 ( )( )A.0A.0a ab b1 B.01 B.0b ba a1 1C.1C.1a ab D.1b

13、D.1b ba a【解析【解析】選選A.A.因為因為a a0,b0,b0,a+b=1,0,a+b=1,所以所以0 0a a1,01,0b b1,1,所以所以lglg a a0,lg b0,lg b0,0,由由所以所以0 0a ab b1.1.ablg 3lg 3log 3log 3lg alg blg blg a00lg blg aba,lg alg b4.4.已知已知a a0,b0,b0 0， 則則m m與與n n的大小關的大小關系為系為_._.【解析【解析】因為因為所以所以所以所以 所以所以所以所以m mn.n.答案：答案：m mn nababmlgnlg22，2abab2 ab(),24

14、2abab()24，22abab()22(，abab22，abablglg22，5.5.已知已知0 0a a1 1，求證：，求證：【證明【證明】因為因為(3a(3a1)1)2 200，所以所以9a9a2 26a+10.6a+10.所以所以1+3a9a(11+3a9a(1a).a).因為因為0 0a a1 1，所以，所以即即 所以所以149.a1a1 3a9,a 1a1a4a9a 1a，149.a1a6.6.已知已知a a2 2+b+b2 2=1=1，x x2 2+y+y2 2=1,=1,試用分析法證明：試用分析法證明：ax+by1.ax+by1.【證明【證明】要證要證ax+by1ax+by1成

15、立，成立，只需證只需證1 1(ax+by)0,(ax+by)0,只需證只需證2 22ax2ax2by0,2by0,因為因為a a2 2+b+b2 2=1=1，x x2 2+y+y2 2=1,=1,只需證只需證a a2 2+b+b2 2+x+x2 2+y+y2 22ax2ax2by0,2by0,即證即證(a(ax)x)2 2+(b+(by)y)2 200，顯然成立，顯然成立. .所以所以ax+by1.ax+by1.7.7.對于任何大于對于任何大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù)n n，證明：，證明： 【證明【證明】設設a ab b0,m0,m0,0,則則所以所以所以所以amabmb ，12k2k112k12k12k，4 4 6 6 8 82n2n3 3 5 5 7 72n1 2n111112n1(1)(1)(1)(1.3572n12) 21111(1)(1)(1)(1)3572n1所以所以4 5 6 7 8 92n2n13 4 5 6 7 82n12n2n12n134，11112n1(1)(1)(1)(1).3572n12