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第16講 巧妙求和
一、知識要點(diǎn)
某些問題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個數(shù)的和，在解決這些問題時，同樣要先判斷是否求某個等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。
在解決自然數(shù)的數(shù)字問題時，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對，使問題得以順利解決。
二、精講精練
【例題1】 劉俊讀一本長篇小說，他第一天讀30頁，從第二天起，他每天讀的頁數(shù)都前一天多3頁，第11天讀了60頁，正好讀完。這本書共有多少頁？
【思路導(dǎo)航】根據(jù)條件“他每天讀的頁數(shù)都比前一天多3頁”可以知道他每天讀的頁數(shù)
2、是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36、……57、60。要求這本書共多少頁也就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個等差數(shù)列，首項=30，末項=60，項數(shù)=11.因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（頁）
想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？
練習(xí)1：
1.劉師傅做一批零件，第一天做了30個，以的每天都比前一天多做2個，第15天做了48個，正好做完。這批零件共有多少個？
2.胡茜讀一本故事書，她第一天讀了20頁，從第二天起，每天讀的頁數(shù)都比前一天多5頁。最后一天讀了50頁恰好讀完，這本書共有多少頁？
3.麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會了6個，以后每天都比前一
3、天多學(xué)1個，最后一天學(xué)會了16個。麗麗在這些天中學(xué)會了多少個英語單詞？
【例題2】30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試幾次？
【思路導(dǎo)航】開第一把鎖時，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試29次；同理，開第二把鎖至多需試28次，開第三把鎖至多需試27次……等打開第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開。所以，至多需試29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
練習(xí)2：
1.有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？
2.有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試
4、28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？
【例題3】某班有51個同學(xué)，畢業(yè)時每人都和其他的每個人握一次手。那么共握了多少次手？
【思路導(dǎo)航】假設(shè)51個同學(xué)排成一排，第一個人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個依次和剩下的人握手，共握了49次，第三個人握了48次。依次類推，第50個人和剩下的一人握了1次手，這樣，他們握手的次數(shù)和為：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
練習(xí)3：
1.學(xué)校進(jìn)行乒乓球賽，每個選手都要和其他所
5、有選手各賽一場。如果有21人參加比賽，一共要進(jìn)行多少場比賽？
2.在一次同學(xué)聚會中，一共到43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？
3.假期里有一些同學(xué)相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問有多少位同學(xué)相約互通電話？
【例題4】求1 ～ 99 這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。
【思路導(dǎo)航】首先應(yīng)該弄清楚這題是求99個連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求這99個數(shù)之和。為了能方便地解決問題，我們不妨把0算進(jìn)來（它不影響我們計算數(shù)字之和）計算0～99這100個數(shù)的數(shù)字之和。這100個數(shù)頭尾兩配對后每兩個數(shù)的數(shù)字之和都相等，是9+9=18，一
6、共有100÷2=50對，所以，1～99這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是18×50=900。
練習(xí)4：
1.求1～199這199個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。
2.求1～999這999個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。
3.求1～3000這3000個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。
【例題5】求1～209這209個連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。
【思路導(dǎo)航】不妨先求0～199的所有數(shù)字之和，再求200～209的所有數(shù)字之和，然后把它們合起來。0～199的所有數(shù)字之和為（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的所有數(shù)字之和為2×10+1+2+…+9=65。所以，1～209這209個連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和為1900+65=1965。
練習(xí)5：
1.求1～308連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。
2.求1～2009連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。
3.求連續(xù)自然數(shù)2000～5000的全部數(shù)字之和。
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小學(xué)奧數(shù) 數(shù)列求和巧妙求和 含答案
