高中數(shù)學(xué) 212由曲線求它的方程、由方程研究曲線課件 新人教B版選修21

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1、 1知識(shí)與技能 了解解析幾何主要討論的兩個(gè)基本問題 掌握求曲線方程的一般方法和步驟 能夠利用曲線的方程研究曲線的性質(zhì) 2過程與方法 求曲線方程時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；在化簡過程中，應(yīng)注意轉(zhuǎn)化一定要等價(jià) 3情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)曲線與方程的對(duì)立關(guān)系，感受坐標(biāo)法的作用 重點(diǎn)：確定曲線的方程和借助方程研究性質(zhì) 難點(diǎn)：尋求動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系 1曲線與方程的基本思想是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，通過研究方程的特征來研究曲線的性質(zhì) 求曲線的方程時(shí)，首先應(yīng)觀察原題條件中有沒有坐標(biāo)系，沒有坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)先建立坐標(biāo)系，否則曲線不能轉(zhuǎn)化為方程，建坐標(biāo)系應(yīng)建得適當(dāng)，這

2、樣可使運(yùn)算過程簡單，所得的方程也較簡單 根據(jù)曲線上的點(diǎn)適合的條件列出等式，是求方程的重要一環(huán)，在這里常用到一些基本公式仔細(xì)審題，分析已知條件和曲線的特征，抓住與曲線上任意點(diǎn)M有關(guān)的相等關(guān)系結(jié)合基本公式列出等式，并進(jìn)行化簡 2曲線的對(duì)稱性 在曲線方程里，如果以y代y方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱同理，如果以x代x方程不變，那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，如果同時(shí)以x代x，以y代y方程不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 容易證明，如果曲線具有上述三種對(duì)稱性中的任意兩種，那么它一定還具有另一種對(duì)稱性例如，如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)

3、于y軸對(duì)稱，事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P1(x，y)必在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2(x，y)必在曲線上，因?yàn)镻(x，y)，P2(x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱 3由方程研究曲線的性質(zhì)與圖象，主要從曲線的范圍、對(duì)稱性、截距幾個(gè)方面可確定曲線的大致形狀，畫方程的曲線時(shí)，要保持方程變形的等價(jià)性 1解析幾何主要討論下面的兩個(gè)基本問題： (1)由曲線求它的方程； (2)利用方程研究曲線的性質(zhì) 2求曲線方程的一般步驟： (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系； (2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)； (3)把幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示； (4)證明

4、 3利用方程研究曲線的性質(zhì)： (1)曲線的組成； (2)曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)； (3)曲線的對(duì)稱性質(zhì)； (4)曲線的變化情況； (5)畫出方程的曲線 例1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓O：x2y21，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線 分析用直接法可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并通過討論的取值范圍來確定軌跡方程表示的曲線 解析如圖所示，設(shè)MN切圓于N，于是動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是PM|MN|MQ|，常數(shù)0， 圓的半徑|ON|1，|MN|2 |MO|2|ON|2|MO|21. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)則 說明在求軌跡方程時(shí)，要注意： 全面、準(zhǔn)確地理解題

5、意，弄清題目中的已知和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系，進(jìn)行知識(shí)的重新組合 合理的進(jìn)行數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號(hào)語言和圖形語言，通過審題畫出必要的圖形和示意圖， 將不宜于直接計(jì)算的關(guān)系化為能直接進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式，將不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的語言化為便于處理的數(shù)學(xué)語言 注意挖掘問題中的隱含條件 注意解題過程中的信息反饋，作出恰當(dāng)?shù)奶幚?答案A 例2在ABC中，B(1,0)，C(1,0)，若BC邊上的高為2，求垂心H的軌跡方程 分析由三角形垂心的定義得出：ACBH，如圖所示，則可由kACkBH1，得到關(guān)于x，y的方程 說明直接法求軌跡方程是求軌跡方程的最常用方法，當(dāng)題設(shè)條件中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，

6、y之間的等量關(guān)系容易找時(shí)，一般用此法 已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(0,2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程 分析因?yàn)榍€在x軸上方，所以曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0，動(dòng)點(diǎn)M(x，y) 到定點(diǎn)A(0,2)的距離|MA|y2，由此可求得曲線的方程 例3討論方程x2yy2x0的曲線的性質(zhì)，并描繪其曲線 分析將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)作圖 (4)單調(diào)性：在x(，1和x1，)時(shí)，y遞減，在x1,1時(shí)，y遞增 (5)作圖：通過列表描點(diǎn)作出函數(shù)在x0時(shí)的圖象，再利用關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可畫出它的全部圖象，如圖所示 說明描點(diǎn)作圖充分展示了曲線與方程的關(guān)系，當(dāng)然描點(diǎn)法比較麻煩，

7、這類問題往往應(yīng)用化歸的思想，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)迅速作圖 例4某市環(huán)保部門對(duì)城市里的一條污水河進(jìn)行改造，即用隔離物將其封閉，隔離物橫截面為對(duì)稱的拋物線段(如圖所示)，封閉處污水河寬AB為10米，隔離物最高點(diǎn)O到污水河面的距離為2米，當(dāng)外圍水域漲水時(shí)，污水河面隨之升高 分析解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出曲線的方程 例5過定點(diǎn)A(a，b)任作兩條互相垂直的直線，分別交x，y軸于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程 辨析求曲線的軌跡方程，關(guān)鍵之一就是建立與動(dòng)點(diǎn)M(x，y)有關(guān)的關(guān)系方程因觀察認(rèn)識(shí)的角度不同，所得關(guān)系也不同，解題時(shí)可以多

8、角度思考本例可直接翻譯題設(shè)條件，也可將條件變形轉(zhuǎn)化為更直接、更簡單的幾何關(guān)系這一點(diǎn)對(duì)許多軌跡問題的解決皆有啟示作用 一、選擇題 1到直線4x3y50的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程為 () A4x3y100和4x3y0 B4x3y100和4x3y10 C4x3y100和4x3y0 D4x3y100和4x3y10 答案A 解析利用點(diǎn)到直線的距離公式易求 2已知點(diǎn)M(2,0)、N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是 () Ax2y24(x2)Bx2y24 Cx2y216 Dx2y216(x4) 答案A 解析由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半知|PO|2，即x2y24，但M、N、P不

9、能共線，故P點(diǎn)軌跡方程為x2y24(x2)，故答案為A. 3到A(2，3)和B(4，1)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 () Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 答案C 答案x2(y1)21(y0)以(0,1)為圓心，1為半徑的圓(不包括原點(diǎn)) 解析由題意，l1可為過原點(diǎn)除x軸的任意直線，l2可為過A(0,2)除y軸的任意直線，由平面幾何性質(zhì)知，向量a，b共線，方向相反，l1與a垂直，l2與b平行，則l1與l2相互垂直，交點(diǎn)P的軌跡是以(0,1)為圓心，OA為直徑的圓周除去原點(diǎn)O的部分 5已知兩直線a1xb1y10和a2xb2y10的交點(diǎn)為P(2,3)，則過兩點(diǎn)Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程是_ 答案2x3y10 解析P(2,3)在a1xb1y10上，代入得2a13b110，同理2a23b210.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直線2x3y10上，兩點(diǎn)確定一條直線，故過Q1，Q2兩點(diǎn)的直線方程為2x3y10. 三、解答題 6求(x1)2(y1)21關(guān)于直線xy0的對(duì)稱曲線的方程 (x11)2(y11)21， 有(y1)2(x1)21， 即(x1)2(y1)21.