《證明質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)任一點的引力為零2013(共3頁)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《證明質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)任一點的引力為零2013(共3頁)（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上
質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的引力為零
晉江一中物理組 莊新恭
2013-6-5
A1
A1´
A1´´
A2
A2´
A2´´
P
O
Ω
Ω
θ
θ
r1
r2
證明如下：
如圖，質(zhì)量均勻分布的球殼（綠色部分），
在其內(nèi)部任放一質(zhì)點P，過P作一條直線
A1A2´，以這條直線為母線，以很小的Ω
為立體角旋轉(zhuǎn)一周得兩圓錐。兩圓錐截得
兩塊“球皮”A1A1´和A2A2´，現(xiàn)證明這
兩塊“球皮”對質(zhì)點P的引力的合力為零。
2、
首先，由于兩塊“球皮”很小，而且
立體角Ω很?。ɑ蛘哒f圓錐的頂角很?。?，
所以由圖易知，P所受兩“球皮”的引力
的方向必相反。故只須再證明P所受兩
“球皮”的引力大小相等。為此——
設P點所放質(zhì)點的質(zhì)量為m，兩“球皮”
的面積分別為ΔS1和ΔS2，球殼的質(zhì)量面密度為σ，
兩“球皮”到P點的距離分別為r1和r2，由萬有引力定律
可得P點所放質(zhì)點m受到的兩個引力大小分別為和
過P點沿兩圓錐軸線作虛線（藍色）分別交兩“球皮”于A1´´和A2´´兩點，這條直線與兩半徑的夾角均為θ（為什么），如圖所示?，F(xiàn)將ΔS1投影到與直線A1
3、0;´A2´´垂直的平面上，即投影到圖中過A1點且與直線A1´´A2´´垂直的平面上。因立體角——圓錐頂角很小，所以投影平面面積與球冠面積相等。所以投影得到一球冠，面積為ΔS1·cosθ（為什么？自己想想?。?。同樣的，將ΔS2投影到過A2點的平面上，得到另一球冠，它的面積為ΔS2·cosθ。
根據(jù)球冠的面積公式可得與球冠對應（的圓錐的）立體角為。顯然，這一立體角與球的半徑R、球冠的高度h均無關，僅與圓錐的頂角的一半有關。對比平面弧度角與圓的半徑無關，可以更好地加以理解。
萬事具備，只欠——
4、
因為兩個圓錐的頂角相等，從而兩個立體角Ω相等，從而F1與F2大小相等。這樣，我們就證明了兩塊“球皮”ΔS1和ΔS2對放在P點質(zhì)點m的引力的合力為零；
而整個球殼可分解成這樣一對對的“球皮”，每一對“球皮”對放在任意點P的質(zhì)點的引力的合力均為零；所以，質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的引力為零?。?
OK~~呼呼~~~
附錄：“球冠面積”與“立體角Ω”，將下圖立體想象起來。。
h
R
α
α
式中，R為球的半徑，h為球冠的高度，α為與球冠對應的圓錐的半頂角。
專心---專注---專業(yè)
證明質(zhì)量均勻分布的球殼對球內(nèi)任一點的引力為零2013(共3頁)
