高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案

《高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)10 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含答案（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 突破點(diǎn)10　空間中的平行與垂直關(guān)系 [核心知識(shí)提煉] 提煉1 異面直線的性質(zhì) (1)異面直線不具有傳遞性．注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線． (2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直． (3)求異面直線所成角的一般步驟為：①找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法；②求——轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；③結(jié)論——由②所求得的角或其補(bǔ)角即為所求. 提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì) (1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等． (2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．

2、 (3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行． (4)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面. 提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法 (1)證明線線平行的方法：①三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理；④線面垂直的性質(zhì)定理． (2)證明線面平行的方法：①尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；②尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)． (3)證明線面垂直的方法：①線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理． (4)證明面面垂直的方法：①定義法，即證明兩個(gè)平面所成

3、的二面角為直二面角；②面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線． [高考真題回訪] 回訪1　異面直線所成的角 1．(20xx全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A　[A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交． B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

4、C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ. 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. 故選A.] 2．(20xx全國(guó)卷Ⅰ)平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D. A　[設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

5、 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.] 回訪2　線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷 3．(20xx全國(guó)卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且

6、l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l D　[根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示． 由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.] 4．(20xx全國(guó)卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號(hào)) ②③④　[對(duì)于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤．

7、對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對(duì)于③，因?yàn)棣痢桅?，所以α，β沒有公共點(diǎn)．又m?α，所以m，β沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對(duì)于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 熱點(diǎn)題型1　空間位置關(guān)系的判斷與證明 題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想． 【例1

8、】(1)(20xx全國(guó)卷Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A．A1E⊥DC1　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[法一：如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯(cuò)； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與

9、DC1垂直，故A錯(cuò)． 故選C. 法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(0,1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，∴≠0，≠0，＝0，≠0，∴A1E⊥BC1. 故選C.] (2)(20xx全國(guó)卷Ⅰ)如圖101，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90. ①證明：平面PAB⊥平面PAD； ②若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱

10、錐的側(cè)面積． 圖101 [解]?、僮C明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90， 得AB⊥AP，CD⊥PD． 1分 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 3分 又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD． 4分 ②如圖，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，則PE⊥AD. 由①知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD． 6分 設(shè)AB＝x，則由已知可得 AD＝x，PE＝x. 故四棱錐PABCD的體積 VPABCD＝ABADPE＝x3. 由題設(shè)得x3＝，故x＝2． 8分 從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD

11、＝BC＝2，PB＝PC＝2． 10分 可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為 PAPD＋PAAB＋PDDC＋BC2sin 60＝6＋2． 12分 [方法指津] 在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時(shí)，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型．判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn)，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)判定．而反證法是證明兩直線異面的有效方法． 提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行．此類問題可以結(jié)合長(zhǎng)方體中的線面關(guān)系找出假命題中

12、的反例． [變式訓(xùn)練1] (1)(20xx石家莊二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024094】 A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 B　[若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯(cuò)誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯(cuò)誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或

13、相交，④錯(cuò)誤，故選B.] (2)(20xx全國(guó)卷Ⅱ)如圖102，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90. 圖102 ①證明：直線BC∥平面PAD； ②若△PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積． [解]?、僮C明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝90，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD. ②如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD. 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

14、ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因?yàn)镃M?底面ABCD，所以PM⊥CM. 設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PN⊥CD， 所以PN＝x. 因?yàn)椤鱌CD的面積為2，所以xx＝2. 解得x＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐PABCD的體積V＝2＝4. 熱點(diǎn)題型2　平面圖形的翻折問題 題型分析：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況． (2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還

15、在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化． 【例2】　(20xx全國(guó)卷Ⅱ)如圖103，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． 圖103 (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積． [解] (1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD． 1分 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF． 2分 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. 3分 (2)由EF∥AC得＝＝． 4分 由A

16、B＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3. 5分 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH． 6分 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′． 8分 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝． 10分 五邊形ABCFE的面積S＝68－3＝. 11分 所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝2＝． 12分 [方法指津] 翻折問題的注意事項(xiàng) 1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖． 2．把握

17、關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)． 3．準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)． [變式訓(xùn)練2]　如圖104，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC. (1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC，請(qǐng)說明理由； (2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離． 【導(dǎo)

18、學(xué)號(hào)：04024095】 圖104 [解] (1)當(dāng)AP＝AB時(shí)，有AD∥平面MPC. 理由如下： 連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP． 2分 在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝. ∵在△ADB中，＝，∴AD∥PN． 4分 ∵AD?平面MPC，PN?平面MPC， ∴AD∥平面MPC． 6分 (2)∵平面AMD⊥平面MBCD， 平面AMD∩平面MBCD＝DM， 由題易知，在△AMD中，AM⊥DM， ∴AM⊥平面MBCD，又P為AB中點(diǎn)， ∴VPMBC＝S△MBC ＝21 ＝. 9分 在△MPC中，MP＝AB＝， MC＝，PC＝＝， ∴S△MPC＝＝. 11分 ∴點(diǎn)B到平面MPC的距離為＝＝． 12分