高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時作業(yè)：第3章 習(xí)題課4 Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 習(xí)題課(4) 一、選擇題 1． 已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，故S＝4π.故選B. 答案：B 2． 方程＝表示(　　) A．兩條線段 B．兩條直線 C．兩條射線 D．一條射線和一條線段 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|

2、x|≥0. ∴y＝|x|，|x|≤1，∴曲線表示兩條線段，故選A. 答案：A 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A(2,0)為長軸的一個端點， 弦BC過橢圓的中心O，且＝0，|－|＝2|－|，則其焦距為(　　) A． B． C． D． 解析：如右圖，a＝2，由＝0?∠C＝90， |BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|， ∴C(1，－1)代入橢圓方程得＋＝1， ∴b2＝，又a2＝4，∴c2＝4－＝，∴c＝. ∴2c＝. 答案：C 4．已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為

3、(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，兩式作差得＝＝＝.又直線AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2. 代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. 答案：B 5．[2014湖南省長沙一中期中考試]已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點，若∈(0,1)，則＝(　　) A． B． C． D． 解析：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系．因為拋物線的焦點

4、為(0，)，直線方程為y＝x＋，與拋物線方程聯(lián)立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝.故選C. 答案：C 6．[2014浙江省學(xué)軍中學(xué)期中考試]如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A、B兩點．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D． 解析：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)．∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90，又

5、由雙曲線的定義得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴雙曲線的離心率e＝＝，故選A. 答案：A 二、填空題 7．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是__________． 解析：設(shè)AF1＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2

6、|＝2，|F1F2|＝，所以橢圓的離心率e＝＝ ＝＝. 答案： 8．若直線y＝2x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)是________． 解析：本題主要考查直線與拋物線相交時的性質(zhì)和設(shè)而不求數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得，整理得4x2－16x＋9＝0，由根與系數(shù)之間的關(guān)系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以線段AB的中點坐標(biāo)為(2,1)． 答案：(2,1) 9．已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(，0)，直線y＝x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為－，則此雙曲線的方程是__________

7、． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 依題意c＝. ∴方程可化為－＝1. 由 得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝. ∵＝－， ∴－＝－，解得a2＝2. ∴雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 三、解答題 10．直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點． (1)求線段AB的長； (2)當(dāng)a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？ 解：由，得(3－a2)x2－2ax－2＝0， Δ＝4a2－4(3－a2)(－2)＝24－4a2>0， ∴a∈(－，)． 設(shè)A(x1

8、，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝. (1)|AB|＝＝ ＝ ＝. (2)由題意知，OA⊥OB，則x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0. 即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0， ∴(1＋a2)＋a＋1＝0，解得a＝1.即a＝1時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點． 11．[2014鄭州外國語學(xué)校月考]已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且傾斜角為45的直線l與橢圓相交于A，B兩點． (1)求AB的中點坐標(biāo)； (2)求△ABF2的周長與面積． 解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1. ∴F1(－

9、1,0)，F(xiàn)2(1,0)，∴l(xiāng)的方程為y＝x＋1， 聯(lián)立消去y得5x2＋6x－3＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x0，y0)，則 x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)， ∴中點坐標(biāo)為M(－，)． (2)由題意知，F(xiàn)2到直線AB的距離d＝＝＝， |AB|＝＝， ∴S△ABF2＝|AB|d＝＝， △ABF2的周長＝4a＝4. 12．已知拋物線C1：y2＝4px(p>0)，焦點為F2，其準(zhǔn)線與x軸交于點F1；橢圓C2：分別以F1、F2為左、右焦點，其離心率e＝；且拋物線C1和橢圓C2的一個交點記為M.

10、(1)當(dāng)p＝1時，求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)在(1)的條件下，若直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點F2，且與拋物線C1相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF1F2的周長，求直線l的方程． 解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由已知得＝，① c＝1，② ∴a＝2，c＝1，b＝， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)①若直線l的斜率不存在， 則l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)， ∴|AB|＝4. 又∵△MF1F2的周長等于 |MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|(zhì)AB|. ∴直線l的斜率必存在． ②設(shè)直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－1)， 由，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∵直線l與拋物線C1有兩個交點A，B， ∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4 ＝16k2＋16>0，且k≠0 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則可得x1＋x2＝，x1x2＝1. 于是|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝＝， ∵△MF1F2的周長等于 |MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6， ∴由＝6，解得k＝. 故所求直線l的方程為y＝(x－1)．