機械臂運動學基礎

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1、 機械臂運動學基礎 1 、機械臂的運動學模型 機械臂運動學研究的是機械臂運動， 而不考慮產(chǎn)生運動的力。 運動學研究機械臂的位置， 速 度和加速度。 機械臂的運動學的研究涉及到的幾何和基于時間的內(nèi)容， 特別是各個關節(jié)彼此 之間的關系以及隨時間變化規(guī)律。 典型的機械臂由一些串行連接的關節(jié)和連桿組成。每個關節(jié)具有一個自由度，平移或旋轉。 對于具有 n 個關節(jié)的機械臂，關節(jié)的編號從 1 到 n ，有 n +1 個連桿，編號從 0 到 n。連桿 0 是機械臂的基礎， 一般是

2、固定的， 連桿 n 上帶有末端執(zhí)行器。 關節(jié) i 連接連桿 i 和連桿 i-1 。 一個連桿可以被視為一個剛體， 確定與它相鄰的兩個關節(jié)的坐標軸之間的相對位置。 一個連 桿可以用兩個參數(shù)描述， 連桿長度和連桿扭轉， 這兩個量定義了與它相關的兩個坐標軸在空 間的相對位置。而第一連桿和最后一個連桿的參數(shù)沒有意義，一般選擇為 0 。一個關節(jié)用兩 個參數(shù)描述， 一是連桿的偏移， 是指從一個連桿到下一個連桿沿的關節(jié)軸線的距離。 二是關 節(jié)角度，指一個關節(jié)相對于下一個關節(jié)軸的旋轉角度。 為了便于描述的每一個關節(jié)的位置， 我們在每一個關節(jié)設置一個坐

3、標系， 對于一個關節(jié)鏈， Denavit 和 Hartenberg 提出了一種用矩陣表示各個關節(jié)之間關系的系統(tǒng)方法。 對于轉動關 節(jié) i，規(guī)定它的轉動平行于坐標軸 zi-1 ，坐標軸 xi-1 對準從 zi-1 到 zi 的法線方向，如果 zi-1 與 z 相交，則 x i-1 取 z i-1 z的方向。連桿，關節(jié)參數(shù)概括如下： i i 連桿長度 a i 沿著 xi 軸從 zi-1 和 zi 軸之間的距離 ; 連桿扭轉 αi 從 zi-1 軸到 zi 軸相對 xi-

4、1 軸夾角 ; 連桿偏移 d i 從坐標系 i-1 的原點沿著 zi-1 軸到 xi 軸的距離 ; 關節(jié)角度 θi xi-1 軸和 xi 軸之間關于 zi-1 軸的夾角。 1 對于一個轉動關節(jié) θi 是關節(jié)變量， d i 是常數(shù)。而移動關節(jié) d i 是可變的， θi 是恒定的。為了 統(tǒng)一，表示為 qi i 轉動關節(jié) di 移動關節(jié) 運用 Denavit-Hartenberg （ DH

5、 ）方法，可以將相鄰的兩個坐標系之間的變換關系表示為 一個 4x4 的齊次變換矩陣 cos i  sin i cos i sin i sin i ai cos i i 1 A sin i cos i cos i cos i sin i ai sin i i 0 sin i cos di i 0 0 0 1 上式表示出了坐標系 i 相對于坐標系 i-1 的關系。即 0Ti 0Ti 1 i 1 Ai 其中 0Ti 表示坐標系 i 相對于世界

6、坐標系 0 的位置與姿態(tài)，簡稱位姿。 2 、正向和反向運動學 對于一個 n- 軸剛性連接的機械臂，正向運動學的解給出的是最后一個連桿坐標系的位置和 姿態(tài)。重復利用上式 ,得到 0Tn 0 A1 1 A2 n 1 An K (q) 機械臂末端位姿在笛卡爾坐標系中有 6 個自由度， 3 個平移， 3 個旋轉。所以，一般來說具 有 6 個自由度的機械臂可以使末端實現(xiàn)任意的位姿。 總的機械臂變換 0Tn 一般簡寫為 Tn ，對 6 個自由度的機械臂簡寫為 T6 。對于任意的機械臂， 無論其它有多少個關節(jié)，

7、具有什么結構，正向運動學解都是可以得到的。 在機械臂的路徑規(guī)劃中，用到的是反向運動學的解 q K 1( 0Tn ) ，它給出了特定的末端位 姿對應的機械臂的關節(jié)角度。 一般來說， 反向運動學的解不是唯一的， 對具有某種結構的機 械臂，封閉解可能不存在。 2 對于 6 自由度的機器人而言，運動學逆解非常復雜，一般沒有封閉解。只有在某些特殊情 況下才可能得到封閉解。 不過，大多數(shù)工業(yè)機器人都滿足封閉解的兩個充分條件之一 （ Pieper 準則）

8、（ 1 ）三個相鄰關節(jié)軸交于一點 （ 2 ）三個相鄰關節(jié)軸相互平行 如果機械臂多于 6 個關節(jié)，稱關節(jié)為冗余的，這時解是欠定的。如果對于機械臂某個特別 的位姿， 解不存在， 稱這個位姿為奇異位姿。 機械臂的奇異性可能是由于機械臂中某些坐標 軸的重合，或位置不能達到引起的。 機械臂的奇異位姿分為兩類： (1) 邊界奇異位姿，當機械臂的關節(jié)全部展開或折起時，使得末端處于操作空間的邊界或邊 界附近， 雅克比矩陣奇異， 機械臂的運動受到物理結構的約束， 這時機械臂的奇異位姿稱為 邊界奇異位

9、姿。 (2) 內(nèi)部奇異位姿，兩個或兩個以上的關節(jié)軸線重合時，機械臂各個關節(jié)的運動相互抵消，不產(chǎn)生操作運動，這時機械臂的奇異位姿稱為內(nèi)部奇異位姿。 機械臂運動學逆解的方法可以分為兩類： 封閉解和數(shù)值解、 在進行逆解時總是力求得到封閉解。因為封閉解的計算速度快，效率高，便于實時控制。而數(shù)值解法不具有這些特點。機械 臂運動學的封閉逆解可通過兩種途徑得到：代數(shù)法和幾何法。 一般而言，非零連桿參數(shù)越多，到達某一目標的方式也越多，即運動學逆解的數(shù)目也越多。 在從多重解中選擇解時， 應根據(jù)具體情況， 在避免碰撞的前提下通常按“ 最短行程

10、”準則來選擇。同時還應當兼顧“ 多移動小關節(jié)，少移動大關節(jié) ”的原則。 n 個自由度的機械臂的末端位姿由 n 個關節(jié)變量所決定，這 n 個關節(jié)變量統(tǒng)稱為 n 維關節(jié) 3 矢量， 記為 q 。所有的關節(jié)矢量構成的空間稱為 關節(jié)空間 。機械臂末端的位姿用 6 個變量描 述， 3 個平移 (x,y,z) 和 3 個旋轉 ( x, y, z) ，記 x= (x,y,z, x, y, z)， x 是機械臂末端在基 坐標空間中的坐標，所有的矢量 x 構成的空間稱為 操作空間或作業(yè)定向空間 。工作空間是

11、 操作臂的末端能夠到達的空間范圍， 即末端能夠到達的目標點集合。 值得指出的是， 工作空 間應該嚴格地區(qū)分為兩類： (1) 靈活（工作）空間 指機械臂末端能夠以任意方位到達的目標點集合。因此，在靈活空 間的每個點上，手爪的指向可任意規(guī)定。 (2) 可達（工作）空間 指機械臂末端至少在一個方位上能夠到達的目標點集合。 機械臂各關節(jié)驅動器的位置組成的矢量稱為驅動矢量 s，由這些矢量構成的空間稱為 驅動空 間。 正向運動學 驅動空間 關節(jié)空間 工作空間 運動學

12、逆解 3 、 Jacobian 矩陣 機械臂的 Jacobian 矩陣表示機械臂的操作空間與關節(jié)空間之間速度的線性映射關系，對于 一個 n 軸的機械臂，機械臂末端在基坐標系中的速度是 x Jq 其中 x 是 6 個元素的向量。 對于 6 個關節(jié)機械臂 Jacobian 矩陣是方陣，如果它是可逆的，則可以由機械臂的末端速度 求出各個關節(jié)的速度。 Jacobian 矩陣在機械臂的奇異位姿上是不可逆的。在實際應用中， 當機械臂的末端位置接近奇異位置時， Jacobian 矩陣是病態(tài)的，可能導致關

13、節(jié)速度不能正 確地得到。 上式解決的是正速度問題， 即已知 q 和 q 求末端執(zhí)行器的速度 x 。對于逆速度解問題， 由上 4 式可以得到速度逆解公式為 q J 1x ，注意到此時需要求雅可比矩陣的逆，由線性方程組 理論知上式對任意的 x ， q 都有解的必要條件是雅可比矩陣的秩 rank(J)=6 ，這意味著機械 臂的自由度數(shù) n ≥6 。 這也說明了具有冗余自由度的機械臂， 在末端位姿固定的條件下， 能使關節(jié)在一個較大的關 節(jié)空間的子空間中運動， 有效地避開障礙或奇異位

14、姿， 并把關節(jié)位移限制在允許范圍內(nèi)， 從 而具有更大的運動靈活性。 雅可比矩陣可以看成是從關節(jié)空間到操作空間運動速度的傳動比， 同時也可用來表示兩空間 之間力的傳遞關系。 對于冗余自由度機械臂， 其雅可比矩陣是長方矩陣， 因 J 滿秩且方程個 數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)， 所以有無窮多個解， 這時，一般是求其中的最小范數(shù)解，或采用加權最 小范數(shù)解也就是說使 qT Dq 最小的解， 其中 D 是對稱正定加權矩陣。 此時的解是使機械臂 在能量消耗最小的情況下的解。 這時，逆速度問題便轉為：求 q 滿足 q J 1x 且使

15、L 1 qT Dq 最小。實際上等同于求性能 2 指標 L 在約束條件 q J 1 x下的極值。應用 Lagrange 乘子法，以上極值為題的解是 q D 1J T (JD 1 J T ) 1 x ，當 D= I 時，雅可比矩陣是 J J T ( JJ T ) 1 ，稱為雅可比矩陣的 偽逆。 下面通過一個兩自由度的平面機械臂說明雅可比矩 陣的特性，根據(jù)右圖中的幾何關系容易求得 x l1 c1 l2 c12 c1 cos( 1), c12 cos( y l1 s1 l 2 s12 s1 sin( 1 ),

16、s12 sin(  1 2 ) 12 ) 兩邊微分后寫成矩陣形式 x x dx 1 2 d dy y y d  1 dx l1 s1 l2 s12 l2 s12 d 即 l1 c1 l 2 c12 l2 c12 d 2 dy  1 2 1 2 5 簡寫成 dx=Jd θ， 式中 J 就稱為機械臂的雅可比（ Jacobian ）矩陣，它由函數(shù) x，y

17、的偏微 分組成， 反映了關節(jié)微小位移 d θ與機械臂末端微小運動 dx 之間的關系。 將兩邊同除以 dt dt 得到：dx/dt=Jd θ/dt, 因此機械臂的雅可比矩陣也可以看做是操作空間中的速度與關 節(jié)空間中速度的線性變換。 dx/dt 稱為末端在操作空間中的廣義速度，簡稱操作速度， d θ /dt 為關節(jié)速度。 可以看出， 雅可比矩陣的每一列表示其它關節(jié)不動而某一關節(jié)以單位速度 運動產(chǎn)生的末端速度。 由 J l1 s1 l2 s12 l2 s12 可以看出， J 陣的值隨末端位置的不同而不同，即 θ1 和θ2

18、 的 l1 c1 l 2 c12 l2 c12 改變會導致 J 的變化。 對于關節(jié)空間的某些位姿， 機械臂的雅可比矩陣的秩減少，這些位姿 稱為機械臂的奇異位姿。 上例機械臂雅可比矩陣的行列式為： det(J ) 2 =0 l1l2 sin( 2 ) ，當 θ 或θ =180 時，機械臂的雅可比行列式為 0 ，矩陣的秩為 1 ，這時機械臂處于奇異位姿。機 2 械臂在操作空間的自由度將減少。 如果機械臂的雅可比 J 是滿秩的方陣，相應的關節(jié)速度即可求出，

19、即 J 1 x ，上例平面 2R 機械臂的逆雅可比矩陣 J 11 l2 c12 l 2 s12 l1c1 l 2c12 ，顯然，當 θ2 趨于 0 （或 l1l 2 s2 l1s1 l 2s12 180 ）時，機械臂接近奇異位姿，相應的關節(jié)速度將趨于無窮大。 為了補償機器人末端執(zhí)行器位姿與目標物體之間的誤差， 以及解決兩個不同坐標系之間的微位移關系問題，需要討論機器人連桿在作微小運動時的位姿變化。 假設一變換的元素是某個變量的函數(shù)， 對該變換的微分就是該變換矩陣各元素對該變量的偏

20、導數(shù)所組成的變換矩陣乘以該變量的微分。例如給定變換 T 為： t11 t12 t13 t14 t21 t 22 t23 t24 T t32 t33 t34 t31 t41 t 42 t43 t44 若它的元素是變量 x 的函數(shù)，則變換 T 的微分為 : 6 t11 t12 t13 t14 x x x x t21 t22 t23 t 24 dT x x x x dx t31

21、 t32 t33 t34 x x x x t41 t42 t43 t 44 x x x x 下面討論機械臂的微分運動， 設機械臂某一連桿相對于基坐標系的位姿為 T ，經(jīng)過微運動后 該連桿相對基坐標系的位姿變?yōu)? T+dT ，若這個微運動是相對于基坐標系 （靜系） 進行的 (左 乘) ，總可以用微小的平移和旋轉來表示，即 T dT Trans(dx , dy , dz ) Rot(k ,d )T 所以有

22、 dT Trans(d x, d y , dz ) Rot(k , d ) I 4 4 T 根據(jù)齊次變換的對稱性， 若微運動是相對某個連桿坐標系 i（動系） 進行的 ( 右乘 )，則 T+dT 可以表示為 T dT T Trans( dx , d y ,d z) Rot(k , d ) 所以有 dT T Trans( dx ,d y , dz) Rot(k , d ) I 4 4 令Trans(dx, d y , d z)Rot( k , d )

23、 I 4 4 為微分算子，則相對基系有 dT= 0T ，相對 i 系 有 dT=T i 。 這里 的下標不同是由于微運動相對不同坐標系進行的。在機械臂運動學中微分變換分為微分平移和微分旋轉兩類。 微分平移變換與一般平移變換一樣，其變換矩陣為 : 1 0 0 dx 0 1 0 dy Trans (dx, dy, dz) 0 0 1 dz 0 0 0 1 7 由于微分旋轉時 θ→ 0 ，所以 sin θ→dθ， cos θ→1將它們代入旋轉變換通式中得微分旋轉 表達式

24、: 1 kzd ky d 0 Rot(k , d ) kzd 1 kxd 0 kyd kxd 1 0 0 0 0 1 于是得到微分算子 Trans(dx ,d y , dz)Rot( k , d ) I 4 4 ，即 0 kzd kyd dx kzd 0 kxd dy kyd kx d 0 dz 0 0 0 0 微分旋轉與有限旋轉相比，有一些特殊的性質(zhì)，下面分別說明。

25、 （1 ）微分旋轉的無序性，當 θ→ 0 時，有 sin θ→dθ， cos θ→ 1 ．若令 δx=d θx，δy=d θy ， δz=d θz，則繞三個坐標軸的微分旋轉矩陣分別為 1 0 0 0 1 0 y 0 1 z 0 0 0 1 x 0 0 1 0 0 z 1 0 0 Rot(x, x) x 1 0 Rot( y, y) y 0 1 0 Rot(z, z) 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

26、 略去 2 次項，得到 1 0 y 0 1 0 y 0 Rot(x, x y 1 x 0 0 1 x 0 x)Rot( y, y) x 1 0 y x 1 0 y 0 0 0 1 0 0 0 1 1 x y y 0 1 0 y 0 Rot ( y, 0 1 x 0 0 1 x 0 y) Rot(x, x) x 1 0 y x 1 0 y 0 0 0 1 0 0 0 1

27、 兩者結果相同， 可見這里左乘與右乘等效。結論： 微分旋轉其結果與轉動次序無關，這是與 有限轉動（一般旋轉）的一個重要區(qū)別。 （2 ）微分旋轉的可加性，考慮兩個微分旋轉復合后的效果 8 1 z y 0 z 1 x 0 Rot( x, x) Rot( y, y)Rot( z, z) x 1 0 y 0 0 0 1 若 Rot （ δx，δy ，δz） 和 Rot （δx’， δy ’， δz’） 表示兩個不同的微分旋轉，則兩次 連

28、續(xù)轉動的結果為： 1 ( z z) y y 0 z z 1 ( x x ) 0 Rot( x, y, z) Rot( x , y , z ) y ) x x 1 0 ( y 0 0 0 1 上式表明：任意兩個微分旋轉的結果為繞每個軸轉動的元素的代數(shù)和， 即微分旋轉是可加的。 由等效轉軸和等效轉角與 Rot( x, x) Rot( y, y)Rot( z, z) 等效，有 Rot(k , d ) Rot( x, x

29、) Rot( y, y)Rot( z, z) 1 kzd ky d 0 1 z y 0 kz d 1 kxd 0 z 1 x 0 k yd kxd 1 0 y x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 所以有 kxd θ= δx， kyd θ= δy ， kzd θ= δz， 將它們代入 得 0 z y dx z 0 x d y y x 0 d z 0 0 0 0 可見，微分變換由兩個

30、部分組成 δ微分轉動矢量 ，d 微分平移矢量 , 合稱為微分運動矢量， 可表示為 D (d x, dy , dz , x, y , z )T 0 0 1 10 1 0 0 5 例：已知一個坐標系 A ，相對固定系的微分平移矢量 d= [1 0 0.5] ， 0 1 0 0 0 0 0 1 微分旋轉矢量 δ=[0 0.1 0 ] ，求微分變換 dA 。 9 0 z y dx 0 0

31、 0.1 1 z 0 x dy 0 0 0 0 y x 0 dz 0.1 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 1 dA A 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0.1 0 0 0.5 0 1 0

32、 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 下面討論兩坐標系之間的微分關系，設第一個坐標系為 i 系，第二個坐標系為 j 系不失一般 性，假定 j 系就是固定的 0 系。 nx ox ax px 0 ny oy ay py

33、 iT nz oz az pz 0 0 0 1 0 z y dx 0 zi yi dxi 因為 z 0 x dy ， i zi 0 xi dyi 0 y x 0 dz yi xi 0 dzi 0 0 0

34、 0 0 0 0 0 所以 0 0iT 0iT i ， i 0iT 1 0 0iT ，整理得到 dix n (( p) d ) diy o (( p) d ) diz a (( p) d )  ix iy iz  n o a dxi nx ny nz ( p n)x ( p n) y ( p n) z dx0 dyi ox oy oz ( p o)x ( p o ) y

35、( p o) z dy0 dzi ax ay az ( p a)x ( p a) y ( p a) z dz0 xi 0 0 0 nx ny nz x0 y i 0 0 0 ox oy oz y 0 z 0 0 0 ax ay az z i 0 對于任何三維矢量 p = [p x, p y, p z],其反對稱矩陣 s(p) 定義為： 0 pz py s( p) pz 0 px py px

36、0 10 記 nx ox ax 0i R ny oy ay nz oz az 上式簡寫成 di 0RT 0RT s( 0 p ) i i i 0 i 0 0i RT 類似地，任意兩坐標系 {A} 和 {B}之間廣義速度的坐標變換為： BV AB R AB RS( A PBO ) AV ， AV BAR BA RS( B PA

37、O ) BV B 0 ABR A A 0 BA R B 0 0 1 10 1 0 0 5 0 0.5] ， 例：已知一個坐標系 A 1 0 ，相對固定系的微分平移矢量d= [1 0 0 0 0 0 1 微分旋轉矢量 δ=[0 0.1 0 ] ，求 A 系中等價的微分平移矢量 d A 和微分旋轉矢量 δA 。

38、 解：將 d= [1 0 0.5] 和 δ=[0 0.1 0 ] 代入 dix n (( p) d ) ix diy o (( p) d ) iy diz a (( p) d ) iz 得到 dA 0 0 5.1 T T A 0.1 0 0 。  n o a 4 、機械臂軌跡規(guī)劃 機械臂的軌跡規(guī)劃可以在關節(jié)空間也可以在笛卡爾空間中進行， 或者說機械臂軌跡規(guī)劃是指 在關節(jié)空間或者笛卡爾空間中

39、研究機械臂軌跡生成方法。 簡言之， 機械臂軌跡規(guī)劃是運動學 逆解的實際應用，它描述了機械臂在多維空間中的運動路線 。 在知道末端位姿的前提下， 通過運動學逆解得到各個關節(jié)在相應時刻的轉動量或者平移量， 合理的規(guī)劃指的是規(guī)劃出的 角位移曲線、 角速度曲線以及角加速度曲線， 可以有效地減少了機械臂在運動過程中的沖擊 和振動，使機械臂的工作壽命得以延長。 11 械臂可以分為點到點作業(yè) (Point-to-Point Motion ) 和連續(xù)路徑作業(yè) (Continuous-Path Mo

40、tion ) 。點到點的運動指的是機械臂在運動過程中，只要求在某些點上有準確的位置和 姿態(tài)，相鄰的點不做要求。連續(xù)運動要求機械臂嚴格的沿特定的曲線運動。 機械臂的關節(jié)角位移變化率比較小， 能夠有效地防止了機械臂工作時的振動和沖擊。 機械臂 關節(jié)角速度和角加速度變化均平順連續(xù)， 從而有效避免了機械部件的磨損，能夠保證整個 機械臂系統(tǒng)的長期、穩(wěn)定的運行，滿足機械臂的工作要求。 5 、 robotics 工具箱中的相關函數(shù) link 建立一個連桿對象 ,例如對于本次競賽的機械臂，根據(jù)連桿參數(shù)得到 L{1}=link

41、([pi/2 0 0 120 0 0]); L{2}=link([pi/2 0 0 0 0 0]); L{3}=link([-pi/2 0 0 140.8 0 pi]); L{4}=link([-pi/2 71.8 0 0 0 pi/2 ]); L{5}=link([+pi/2 71.8 0 0 0 pi]); L{6}=link([-pi/2 0 0 0 0 pi/2]); L{7}=link([0 0 0 129.6 0 0]); robot 建立一個機械臂對象 R= robot(L)

42、 noname (7 axis, RRRRRRR) grav = [0.00 0.00 9.81] standard D&H parameters alpha A theta D R/P 1.5708 0 120 R (std) 1.5708. 0 0 R (std) -1.5708 0 140.8 R (std) -1.5708 71.8 0 R (std) 1.5708 71.8 0 R (std) -1.5708 0 0 R (std) 0 0 129.6 R (std) driv

43、ebot 用滑塊控制的機械臂圖形 drivebot(R,ones(1,7)*pi) plot 機械臂的圖形顯示 plot(R,[pi/2 pi/2 0 0 0 0 0]) 12 fkine 串聯(lián)機械臂正向運動學計算 tr =fkine (ROBOT, Q) ROBOT 表示機械臂對象， Q 機械臂關節(jié)坐標值。 tr =fkine (R, [0 0 0 pi/2 0 0 0]) tr = 0.0000 -0.0000 1.0000 129.6000

44、-0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -1.0000 -0.0000 0.0000 -20.8000 0 0 0 1.0000 ikine 串聯(lián)機械臂逆向運動學計算 q = ikine(ROBOT, T) q = ikine(ROBOT, T, Q) q = ikine(ROBOT, T, Q, M) 輸入變量 ROBOT 表示機械臂對象， T 機械臂末端變換矩陣。 輸出變量 q 機械臂關節(jié)的角度 (單位是弧度 )，一般來說逆運動學的解不是唯一

45、的， 取決于初 始值 Q ，缺省時是 0 向量。如果機械臂的自由度 (DOF) 小于 6 ，由于解空間的維數(shù)大于機械 臂的自由度，這時需要第 4 個輸入量 M 來確定笛卡爾坐標 (手腕對應的坐標系 )中的哪些量 在求解中被忽略。 M 中有 6 個元素，分別表示沿著 x,y,z 方向的平移和相對于 x 軸， y 軸， z 軸的旋轉，值是 0( 忽略 )或 1 。非零元素的個數(shù)應該等于機械臂的自由度。例如，對典型 的有 5 個自由度的機械臂，一般是忽略相對手腕坐標的轉動，這時 M = [1 1 1 1 1 0] 。

46、 另外一種用法是 qt = ikine(ROBOT, TG) qt = ikine (ROBOT, TG, Q) qt = ikine (ROBOT, TG, Q, M) 13 輸入變量 ROBOT 表示機械臂對象， TG 是 4x4xN 機械臂末端變換矩陣。 輸出變量 qt 是一組 (N 個 )TG 對應的關節(jié)坐標。一行對應一個輸入變換，每一步的初始值取上一步的 值。求解使用機械臂 Jacobian 矩陣的偽逆，這是數(shù)值求解方法，對于特

47、定機械臂逆運動學 解( 如果可能 )應該盡量使用解析解。但是這種方法可以得到奇異點上的解，零空間中的關節(jié) 角度可以任取。 q=ikine(R,tr) q = 0.0000 0.0000 0.0000 0.7854 -0.0000 -0.7854 0.0000 注意：對于機械臂末端的一個位置與姿態(tài)，逆運動學計算不是唯一的，驗證 tr=fkine(R,q) tr = 0.0000 -0.0000 1.0000 129.6000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -1.00

48、00 -0.0000 0.0000 -20.8000 0 0 0 1.0000 transl 計算平移變換 tr= transl (X, Y, Z) 返回機械臂末端坐標 X, Y, Z 對應的齊次表換矩陣 tr=transl(129.6,0,20.8) tr = 1.0000 0 0 129.6000 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 20.8000 0 0 0 1.0000 [X Y Z] = transl(T) 返回齊次表換表示中的平移值，作為一

49、個 3 元素的列向量 xyz=transl(tr) 14 xyz = 129.6000 0 20.8000 ctraj 計算工作空間中兩點 T0,T1 之間的軌跡 tc= ctraj(T0, T1, N) tc = ctraj(T0, T1, R) 返回從 T0 到 T1 笛卡爾坐標系的軌跡 TC N 表示軌跡中的點數(shù)。在第 1 中情況下，軌跡 中的點在 T0 到 T1 中等距離分配。在第 2 中情況下，向量 R 給出軌跡中每個點的距離， R 中的元素取

50、值為 [0 1] 。一個軌跡是 4x4xN 矩陣，最后一個下標表示點索引。旋轉插值使用 四元球形線性插值。 tr0=fkine(R,[0 0 0 0 0 0 0]) tr0 = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 108.8000 0 0 0 1.0000 tr1=fkine(R,[pi/4 pi/6

51、 0 pi/3 0 0 0]) tr1 = 0.6124 -0.7071 0.3536 95.6008 0.6124 0.7071 0.3536 95.6008 -0.5000 -0.0000 0.8660 110.3005 0 0 0 1.0000 tc(:,:,1) = 1.0000 0 0 -0.0000 0 1.0000 0 0.0000 0 0 1.0000 108.8000 0 0

52、 0 1.0000 tc(:,:,2) = 0.8976 -0.3822 0.2198 47.8004 0.3571 0.9226 0.1458 47.8004 -0.2585 -0.0523 0.9646 109.5503 0 0 0 1.0000 tc(:,:,3) = 0.6124 -0.7071 0.3536 95.6008 0.6124 0.7071 0.3536 95.6008 15

53、 -0.5000 -0.0000 0.8660 110.3005 0 0 0 1.0000 transl(tc) ans = -0.0000 0.0000 108.8000 47.8004 47.8004 109.5503 95.6008 95.6008 110.3005 jtraj 計算關節(jié)中兩點 Q0,Q1 之間的軌跡 [Q QD QDD] = jtraj(Q0, Q1, N) [Q QD QDD] = jtraj (Q0, Q1, N, QD0, QD1) [Q QD QDD]

54、= jtraj (Q0, Q1, T) [Q QD QDD] = jtraj (Q0, Q1, T, QD0, QD1) 軌跡中的點數(shù)是 N ，或者是一個時間向量 T。插值使用 7 次多項式， 邊界速度由 QD0, QD1 指定，缺省時邊界速度和加速度為 0。 q0=[pi pi pi pi pi pi pi]; q1=[pi pi/2 0 0 0 pi/2 0]; tr0=fkine(R,[pi pi pi pi pi pi pi]); tr1=fkine(R,[pi pi/2 0 0 0 pi/2 0]); [QT

55、,QD,QDD]=jtraj(q0,q1,30); figure subplot(2,2,1),plot(R,QT) subplot(2,2,2),plot(QT),grid on, legend(q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,Location, NorthWest) subplot(2,2,3),plot(QD),grid on subplot(2,2,4),plot(QDD),grid on % 注意：其中有一些曲線重合 jacob0 計算機械臂在基坐標系中 Jacobian 矩陣 J = jacob0(ROBOT,

56、 Q) tr2jac 計算機械臂在基坐標系中 Jacobian 矩陣 J = TR2JAC(T) 16 diff2tr 微分表示轉換為齊次變換 tr = diff2tr(D) 返回表示微分平移與旋轉的齊次變換矩陣 ,矩陣中包含一個反對稱的旋轉子矩陣。 tr2diff 轉換為齊次變換轉換為微分表示 D =tr2diff(T) D = tr2diff(T1, T2) 第一種形式將齊次表換矩陣表示轉換為 6- 元素向量微分表示

57、。 第二種形式返回 6- 元素向量，表示從 T1 到 T2 的在基坐標系中需要的微分移動。 J = jacob0(R, q1) % Jacobian and differential motion demonstration % A differential motion can be represented by a 6-element vector with elements % [dx dy dz drx dry drz] % where the first 3 elements are a differential translatio

58、n, and the last 3 % are a differential rotation. When dealing with infinitisimal rotations, % the order becomes unimportant. The differential motion could be written % in terms of compounded transforms % transl(dx,dy,dz) * trotx(drx) * troty(dry) * trotz(drz) % but a more direct appro

59、ach is to use the function diff2tr() D = [.1 .2 0 -.2 .1 .1] diff2tr(D) T=fkine(R,q1) % then the differential motion in the second frame would be given by DT = tr2jac(T) * D; DQ= pinv(J) * DT; vel = [1 0 0 0 0 0]; % translational motion in the X direction qvel = pinv(J) * vel; ans

60、= -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0039 -0.0000 -0.0039 0.0000 % 這是計算工作空間軌跡和求逆解的另外一種方法。但是，如果 Jacobian 矩陣奇異時 % 會失效。如果機械臂的自由度大于6，即是冗余的，采用 Jacobian 矩陣偽逆計算，或 % 對 Jacobian 矩陣進行奇異值分解。 17 附錄 rpy 角與 euler 角 （ 1 ）rpy 角 rpy 角是描述船舶航行時的姿態(tài)的一種方法，

61、 滾動（ Roll ）角 α，將繞 Y 軸 (與海面平行 面垂直方向，將繞 X 軸的旋轉稱為偏轉（  將船的行駛方向作為 Z 軸，則繞 Z 軸旋轉稱為 )方向的旋轉稱為俯仰（ Pitch ）角 β，取 X 軸與海 Yaw ）角 γ。機械臂末端的定義類似，故習慣上稱 為 rpy 角。 描述運動坐標系的規(guī)則是： 首先使運動坐標系的初始方位與固定坐標系重合， 將運動坐標系 繞固定坐標系 X 軸轉動 γ，再將運動坐標系繞固定坐標系 Y 軸轉動 β，最后將運動坐標系繞

62、 固定坐標系 Z 軸轉動 α。因為三次轉動都是相對固定坐標系的，所以相應的旋轉矩陣 rpy ( , , ) rot ( z, ) rot ( y, )rot ( x, ) c s 0 0 c 0 s 0 1 0 0 0 s c 0 0 0 1 0 0 0 c s 0 0 0 1 0 s 0 c 0 0 s c 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 將三個矩陣相乘得到 c c c s s s c c

63、 s c 0 s c s s s c c s s c 0 rpy ( , , ) c s c c 0 s 0 0 0 1 它表示繞固定坐標系的三個軸依次旋轉得到的旋轉矩陣，稱為繞固定軸 XYZ 旋轉的 rpy 方 法。下面討論逆問題：從給定的旋轉矩陣得到繞固定軸 XYZ 旋轉的 rpy 角γβα。令 nx ox ax 0 rpy( , , ny oy ay 0 ) oz az 0

64、 nz 0 0 0 1 上式中有 3 個未知數(shù)， 9 個方程，其中 6 個不獨立，因此可利用其中 3 個解出未知數(shù)。 cos( ) nx2 ny2 ，如果 cos( β)不為零，則可以得到 18 a tan 2( n , n2 n 2 ), a tan 2(o x , n x ), a tan 2(a y , a ) z x y z （ 2 ）繞運動系 ZYX 轉動的

65、 euler 角 描述運動坐標系的規(guī)則是： 運動坐標系的初始方位與參考坐標系重合， 首先將運動坐標系繞 Z 軸轉動 α，再將運動坐標系繞 Y 軸轉動 β，最后將運動坐標系繞 X 軸轉動 γ。這種描述方法 中各次的轉動都是相對運動系的，而不是相對固定坐標系的。相應的旋轉矩陣為 euler( , , ) rot ( x, )rot ( y, )rot (z, ) c s 0 0 c 0 s 0 1 0 0 0 s c 0 0 0 1 0 0 0 c s 0 0

66、 0 1 0 s 0 c 0 0 s c 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 將三個矩陣相乘得到 c c c s s s c c s c 0 s c s s s c c s s c 0 euler ( , , ) c s c c 0 s 0 0 0 1 結果與繞固定軸 XYZ 旋轉相同， 這是因為繞固定軸旋轉的順序與繞運動軸旋轉的順序相反， 且旋轉角度對應相等。因此，用 ZYX euler 角與 XYZ rpy 角的描述方法是等價的 。 另外一種常用的 euler 角方法是 ZYZ 方法，首先使運動坐標系與參考坐標系重合，將運動 坐標系繞 Z 軸轉動 α，再將運動坐標系繞 Y 軸轉動 β，最后將運動坐標系繞 Z 軸轉動 γ。 euler( , , ) rot (