高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2含答案

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1、 （人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2 2．1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2．1.1　平面 平面 [提出問(wèn)題] 寧?kù)o的湖面、海面；生活中的課桌面、黑板面；一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺(jué)？ 問(wèn)題1：生活中的平面有大小之分嗎？ 提示：有． 問(wèn)題2：幾何中的“平面”是怎樣的？ 提示：從物體中抽象出來(lái)的，絕對(duì)平，無(wú)大小之分． [導(dǎo)入新知] 1．平面的概念 幾何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．幾何里的平面是無(wú)限延展的． 2．平面的畫法 (1)水平放置的平面通常畫成

2、一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．如圖①. (2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來(lái)．如圖②. 3．平面的表示法 圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [化解疑難] 幾何里的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn) (1)平面是平的； (2)平面是沒(méi)有厚度的； (3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的； 平面的基本性質(zhì) [提出問(wèn)題] 問(wèn)題1：若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？ 提示：在桌面上． 問(wèn)題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？ 提

3、示：撐腳和自行車的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上． 問(wèn)題3：兩張紙面相交有幾條直線？ 提示：一條． [導(dǎo)入新知] 平面的基本性質(zhì) 公理 內(nèi)容 圖形 符號(hào) 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α 公理2 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l [化解疑難] 從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系 (1)

4、直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示； (2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示； (3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示． 文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化 [例1]　根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系． (1)點(diǎn)P與直線AB； (2)點(diǎn)C與直線AB； (3)點(diǎn)M與平面AC； (4)點(diǎn)A1與平面AC； (5)直線AB與直線BC； (6)直線AB與平面AC； (7)平面A1B與平面AC. [

5、解]　(1)點(diǎn)P∈直線AB； (2)點(diǎn)C ?直線AB； (3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC； (5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直線AB. [類題通法] 三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法 (1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示． (2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別． [活學(xué)活用] 1．根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m

6、∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖(1)； (2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖(2)； (3)直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖(3)． 點(diǎn)、線共面問(wèn)題 [例2]　證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)． [解]　已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求證：直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)． 證法1：(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴

7、B∈α. 同理可證C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α. ∴直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)． 證法2：(輔助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個(gè)平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． ∴平面α和β重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)． [類題通法] 證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有 (1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這

8、個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”； (2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”； (3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”． [活學(xué)活用] 2．下列說(shuō)法正確的是(　　) ①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面?、趫A上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面?、軆蓷l平行線確定一個(gè)平面 A．①②　　　　　　　　　　 B．②③ C．②④ D．③④ 解析：選C　不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．圓上三個(gè)點(diǎn)不會(huì)在同一條直線上，故可確定一個(gè)平面，∴①不正確，②正確．當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面，③不正確．根據(jù)平行線的定義知，兩

9、條平行直線可確定一個(gè)平面，故④正確. 共線問(wèn)題 [例3]　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示． 求證：P，Q，R三點(diǎn)共線． [證明]　法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三點(diǎn)共線． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC

10、?平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線． [類題通法] 點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上． [活學(xué)活用] 3.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線． 證明：如下圖所示，連接A1B，CD1.顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1. ∴平面AB

11、C1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線． 　　　　 [典例]　如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3. 求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)． [解題流程] 欲證EF、GH、BD交于一點(diǎn)，可先證兩條線交于一點(diǎn)，再證此點(diǎn)在第三條直線上. 由DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3可得GE∥FH且GE≠FH，即EFHG是梯形，由此得到GH

12、與EF交于一點(diǎn)． 證明E、F、H、G四點(diǎn)共面―→EFHG為梯形―→GH和EF交于一點(diǎn)O―→證O∈平面ABD―→O∈平面BCD―→平面ABD∩平面BCD＝BD―→O∈BD―→得出結(jié)論. [規(guī)范解答] 因?yàn)镋，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC.又因?yàn)镈F∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，從而FH∥GE.∴GE≠FH.(4分) 故E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．又因?yàn)镚E＝AC，F(xiàn)H＝AC，所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形，設(shè)GH和EF交于一點(diǎn)O.(6分) 因?yàn)镺在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O(shè)在這兩平面的交線上，而這兩個(gè)平面的交線是BD，(9分) 且交線只有這一

13、條，所以點(diǎn)O在直線BD上．(10分) 這就證明了GH和EF的交點(diǎn)也在BD上，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．(12分) [名師批注] 如何證明四點(diǎn)共面？,根據(jù)公理2的推論可知，本題可利用HF∥GE即可確定E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面. 為什么GH和EF交于一點(diǎn)？,因?yàn)镋，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面，且GE綊AC，HF綊AC，所以GE∥HF且GE≠HF，即EFHG為梯形，梯形兩腰延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn). 　　　　　　　　　　　　　 怎樣確定第三條直線也過(guò)交點(diǎn)？ 只要證明交點(diǎn)在第三條直線上，這條直線恰好是分別過(guò)GH和EF的兩個(gè)平面的交線. [活學(xué)活用] 如圖所示，在空間四邊形各邊AD，

14、AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上． 證明：∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF且P∈GH. 又∵EF?平面ABD，GH?平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD. ∴點(diǎn)P在直線BD上． [隨堂即時(shí)演練] 1．若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作(　　) A．Q∈b∈β　　　　　　　　　　 B．Q∈b?β C．Q?b?β D．Q?b∈β 解析：選B　∵點(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b. 又

15、∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β. 2．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面(　　) A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不對(duì) 解析：選C　若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，則兩平面可能相交；若這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，則這兩個(gè)平面重合． 3．下列對(duì)平面的描述語(yǔ)句： ①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面； ②8個(gè)平面重疊起來(lái)比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚； ③四邊形確定一個(gè)平面； ④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是一個(gè)無(wú)限集． 其中正確的是________． 解析： 序號(hào) 正誤 原因分析 ① 太平洋面只是給我們以平面的形象，而平面是抽象的，且

16、無(wú)限延展的 ② 平面是無(wú)大小、無(wú)厚薄之分的 ③ 如三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)相連的四邊形不能確定一個(gè)平面 ④ √ 平面是空間中點(diǎn)的集合，是無(wú)限集 答案：④ 4．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________. 解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 答案：C 5．將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言． (1)a?α，b∩α＝A，A?a. (2)α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P. 解：(1) (2) [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面

17、α外”，正確的是(　　) A．A∈l，l?α　　　　　　　　　 B．A∈l，l?α C．A?l，l?α D．A?l，l?α 解析：選B　注意點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面之間的關(guān)系是元素與集合間的關(guān)系，直線與平面之間的關(guān)系是集合與集合間的關(guān)系． 2．(2012福州高一檢測(cè))下列說(shuō)法正確的是(　　) A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 C．四邊形是平面圖形 D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 解析：選D　A錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．B錯(cuò)誤，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．C錯(cuò)誤，四邊形不一定是平面圖形．D正確，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．

18、 3．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 解析：選D　若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn)，則確定1個(gè)平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時(shí)，可能確定3個(gè)平面． 4．下列推斷中，錯(cuò)誤的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合 解析：選C　A即為直線l上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)；B即為兩平面的公共點(diǎn)在公共直線上；D為不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故D也對(duì)． 5．在

19、空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么(　　) A．M一定在直線AC上 B．M一定在直線BD上 C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上 D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上 解析：選A　點(diǎn)M一定在平面ABC與平面CDA的交線AC上． 二、填空題 6．(2012福州高一檢測(cè))線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是________． 解析：因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi)，所以A∈α，B∈α.由公理1知直線AB?平面α. 答案：直線AB?平面α 7．把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上．

20、 (1)A?α，a?α________. (2)α∩β＝a，P?α且P?β________. (3)a?α，a∩α＝A________. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________. 解析：(1)圖C符合A?α，a?α (2)圖D符合α∩β＝a，P?α且P?β (3)圖A符合a?α，a∩α＝A (4)圖B符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O 答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)B 8．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的平面為平面γ，則β∩γ＝________. 解

21、析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)C∈β，且點(diǎn)C∈γ，所以C∈β∩γ.因?yàn)辄c(diǎn)R∈AB，所以點(diǎn)R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，從而β∩γ＝CR. 答案：CR 三、解答題 9．求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面． 解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：直線a，b，c和l共面． 證明：如圖所示，因?yàn)閍∥b，由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α. 因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.又因?yàn)锳∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α. 因?yàn)閎∥c，所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面β，同

22、理可知l?β. 因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l，且l∩b＝B，而由公理2的推論2知：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，所以平面α與平面β重合，所以直線a，b，c和l共面． 10．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面； (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線． 證明：如圖．(1)連接B1D1.∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． (2

23、)正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β. 則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理P是α與β的公共點(diǎn)， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ. 故P，Q，R三點(diǎn)共線． 2．1.2　空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 空間兩直線的位置關(guān)系 [提出問(wèn)題] 立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的．城市的立交橋不僅大大方便了交通，而且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景．為了車流暢通，并安全地通過(guò)交叉路口，1928年，美國(guó)首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了第一座苜蓿葉形公

24、路交叉橋.1930年，芝加哥建起了一座立體交叉橋.1931年至1935年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋．從此，城市交通開始從平地走向立體． 問(wèn)題1：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？ 提示：平行或相交． 問(wèn)題2：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面內(nèi)？有何特征？ 提示：不共面，即不相交也不平行． 問(wèn)題3：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線，是否也具有類似特征？ 提示：是． [導(dǎo)入新知] 1．異面直線 (1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線． (2)異面直線的畫法 2．空間兩條直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 特　點(diǎn) 相交 同

25、一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 平行 同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn) 異面直線 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn) [化解疑難] 1．對(duì)于異面直線的定義的理解 異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．注意異面直線定義中“任何”兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)a、b兩條直線．例如，如圖所示的長(zhǎng)方體中，棱AB和B1C1所在的直線既不平行又不相交，找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條棱所在的直線，故AB與B1C1是異面直線． 2．空間兩條直線的位置關(guān)系 ①若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類： 直線 ②若從是否共面的角度看，也可分兩類

26、： 直線 平行公理及等角定理 [提出問(wèn)題] 1．同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行．空間中是否有類似規(guī)律？ 提示：有． 觀察下圖中的∠AOB與∠A′O′B′. 問(wèn)題2：這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？ 提示：分別對(duì)應(yīng)平行． 問(wèn)題3：測(cè)量一下，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？ 提示：相等． [導(dǎo)入新知] 1．平行公理(公理4) (1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性． (2)符號(hào)表述：?a∥c. 2．等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 3．異

27、面直線所成的角 (1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． (2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0＜θ≤90. (3)當(dāng)θ＝時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b. [化解疑難] 對(duì)平行公理與等角定理的理解 公理4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證明方法．等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是公理4的直接應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ)． 兩直線位置關(guān)系的判定 [例1]

28、　 如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系： ①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________； ②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________； ③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________； ④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________. [解析]　直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④

29、應(yīng)該填“異面”． [答案]?、倨叫小、诋惷妗、巯嘟弧、墚惷? [類題通法] 1．判定兩條直線平行或相交的方法 判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷． 2．判定兩條直線是異面直線的方法 (1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)． (2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)． [活學(xué)活用] 1．(2012臺(tái)州高一檢測(cè))如圖，AA1是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA1異面的棱的條數(shù)是(　　) A．6

30、　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．8 解析：選B　與AA1異面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4條． 2．若a，b，c是空間三條直線，a∥b，a與c相交，則b與c的位置關(guān)系是________． 解析：在正方體ABCD－A′B′C′D′中，設(shè)直線D′C′為直線b，直線A′B′為直線a，滿足a∥b，與a相交的直線c可以是直線B′C′，也可以是直線BB′.顯然直線B′C′與b相交，BB′與b異面，故b與c的位置關(guān)系是異面或相交． 答案：異面或相交 平行公理及等角定理的應(yīng)用 [例2]　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D

31、1的中點(diǎn)． (1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形； (2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1. [證明]　(1)在正方形ADD1A1中，M、M1分別為AD、A1D1的中點(diǎn)， ∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四邊形BB1M1M為平行四邊形． (2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形， ∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形， ∴B1M1＝BM.

32、 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1. [類題通法] 1．證明兩條直線平行的方法： (1)平行線定義 (2)三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等 (3)公理4 2．空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩邊方向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說(shuō)明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的． [活學(xué)活用] 3．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． (1)求證：

33、E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD. 證明：(1)如題圖，在△ABD中， ∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)， ∴EH∥BD.同理FG∥BD，則EH∥GH. 故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD. 兩異面直線所成的角 [例3]　如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分別是BD1和AD中點(diǎn)，求異面直線CD1，EF所成的角的大?。? [解]　取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG， ∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝

34、BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角． 又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，且G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90， ∴異面直線CD1，EF所成的角為90. [類題通法] 求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟 (1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角； (2)證：證明作出的角就是要求的角； (3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出． 可用“一作二

35、證三計(jì)算”來(lái)概括．同時(shí)注意異面直線所成角范圍是(0，90]． [活學(xué)活用] 4．已知ABCD－A1B1C1D1是正方體，求異面直線A1C1與B1C所成角的大?。? 解：如圖所示，連接A1D和C1D， ∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1即為異面直線A1C1與B1C所成的角． ∵A1D，A1C1，C1D為正方體各面上的對(duì)角線， ∴A1D＝A1C1＝C1D， ∴△A1C1D為等邊三角形．即∠C1A1D＝60. ∴異面直線A1C1與B1C所成的角為60. 　　　　 [典例]　如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． 求證：

36、四邊形EFGH是平行四邊形． [證明]　連接BD. 因?yàn)镋H是△ABD的中位線， 所以EH∥BD，且EH＝BD. 同理，F(xiàn)G∥BD，且FG＝BD. 因此EH∥FG. 又EH＝FG， 所以四邊形EFGH為平行四邊形． [多維探究] 1．矩形的判斷 本例中若加上條件“AC⊥BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？ 證明：由例題可知EH∥BD，同理EF∥AC， 又BD⊥AC， 因此EH⊥EF， 所以四邊形EFGH為矩形． 2．菱形的判斷 本例中，若加上條件“AC＝BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？ 證明：由例題知EH∥BD，且EH＝BD， 同理EF∥AC，且EF＝A

37、C. 又AC＝BD， 所以EH＝EF. 又EFGH為平行四邊形， 所以EFGH為菱形． 3．正方形的判斷 本例中，若加上條件“AC⊥BD，且AC＝BD”，則四邊形EFGH是什么形狀？ 證明：由探究1與2可知， EFGH為正方形． 4．梯形的判斷 若本例中，E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，那么四邊形EFGH是什么形狀？ 證明：由題意可知EH是△ABD的中位線，則EH∥BD且EH＝BD. 又＝＝， ∴FG∥BD， ＝＝， ∴FG＝BD， ∴FG∥EH且FG≠EH， ∴四邊形EFGH是梯形． [方法感悟]

38、 根據(jù)三角形的中位線、公理4證明兩條直線平行是常用的方法．公理4表明了平行線的傳遞性，它可以作為判斷兩條直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出空間兩直線平行的一種證明方法． [隨堂即時(shí)演練] 1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．異面 C．平行 D．相交或異面 解析：選D　若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面． 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30，則∠PQR等于(　　) A．30 B．30或150 C．150 D．以上結(jié)論都不對(duì) 解析：選B　∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同． ∴∠

39、PQR＝30或150. 3．已知正方體ABCD－EFGH，則AH與FG所成的角是________． 解析：∵FG∥EH，∴∠AHE＝45，即為AH與FG所成的角． 答案：45 4．正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________． 解析：直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交． 答案：相交 5.如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角． 解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG. ∵E、F分

40、別為BC、AD的中點(diǎn)，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB. ∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF. ∴∠EGF＝90. ∴△EFG為等腰直角三角形． ∴∠GFE＝45， 即EF與AB所成的角為45. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是(　　) A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交 解析：選B　假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)．因此c與b可能相交或異面． 2.如圖所示

41、，在三棱錐S—MNP中，E、F、G、H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 解析：選A　∵E、F分別是SN和SP的中點(diǎn)， ∴EF∥PN. 同理可證HG∥PN， ∴EF∥HG. 3．(2012福州高一檢測(cè))如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關(guān)系為(　　) A．相交 B．平行 C．異面而且垂直 D．異面但不垂直 解析：選D　將展開圖還原為正方體，如圖所示． AB與CD所成的角為60，故選D. 4．下列命題中 ①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平

42、行，那么這兩個(gè)角相等； ②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等； ③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)； ④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行． 正確的結(jié)論有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選B　對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)；對(duì)于②，正確；對(duì)于③，不正確，舉反例：如右圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角既不一定相等，也不一定互補(bǔ)；對(duì)于④，由公理4可知正確．故②④正確，所以正確的結(jié)論有2個(gè)． 5．若P是

43、兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則(　　) A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行 B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直 C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交 D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面 解析：選B　逐個(gè)分析，過(guò)點(diǎn)P與l，m都平行的直線不存在；過(guò)點(diǎn)P與l，m都垂直的直線只有一條；過(guò)點(diǎn)P與l，m都相交的直線1條或0條；過(guò)點(diǎn)P與l，m都異面的直線有無(wú)數(shù)條． 二、填空題 6．(2012連云港高一檢測(cè))空間中有一個(gè)角∠A的兩邊和另一個(gè)角∠B的兩邊分別平行，∠A＝70，則∠B＝________. 解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行， ∴∠A＝∠B或∠A＋∠B

44、＝180. 又∠A＝70，∴∠B＝70或110. 答案：70或110 7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與A1B1所成的角的余弦值為________． 解析：設(shè)棱長(zhǎng)為1，因?yàn)锳1B1∥C1D，所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝＝，cos∠AED1＝＝＝. 答案： 8．如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是________． 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交． 答案：③ 三、解答題 9.如圖所示，E、F分別

45、是長(zhǎng)方體A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中點(diǎn)． 求證：四邊形B1EDF是平行四邊形． 證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ、QC1. ∵E是AA1的中點(diǎn)， ∴EQ綊A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， ∴EQ綊B1C1(平行公理)． ∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E綊C1Q. 又∵Q、F是DD1、C1C兩邊的中點(diǎn)，∴QD綊C1F. ∴四邊形QDFC1為平行四邊形． ∴C1Q綊DF. 又∵B1E綊C1Q， ∴B1E綊DF. ∴四邊形B1EDF為平行四邊形． 10．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成

46、60角，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角． 解：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)， 所以PM∥AB，且PM＝AB； PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角． 所以∠PMN(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角． 因?yàn)橹本€AB與CD成60角， 所以∠MPN＝60或∠MPN＝120. 又因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN①， (1)若∠MPN＝60，則△PMN是等邊三角形， 所以∠PMN＝60，即AB與MN所成的角為60. (2)若∠MPN＝120，則易知△PMN是等腰三角形． 所以

47、∠PMN＝30，即AB與MN所成的角為30. 綜上可知：AB與MN所成角為60或30. 2．1.3 & 2.1.4　空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 空間中直線與平面的位置關(guān)系 [提出問(wèn)題] 應(yīng)縣木塔，在山西應(yīng)縣城佛宮寺內(nèi)，遼清寧二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外觀五層，夾有暗層四級(jí)，實(shí)為九層，總高67.31米，底層直徑30.27米，是國(guó)內(nèi)外現(xiàn)存最古老最高大的木結(jié)構(gòu)塔式建筑．塔建在4米高的兩層石砌臺(tái)基上，內(nèi)外兩槽立柱，構(gòu)成雙層套筒式結(jié)構(gòu)，柱頭間有欄額和普柏枋，柱腳間有地伏等水平構(gòu)件，內(nèi)外槽之間有梁枋相連接，使雙層套筒緊密結(jié)合．暗層中用大量斜撐，

48、結(jié)構(gòu)上起圈梁作用，加強(qiáng)木塔結(jié)構(gòu)的整體性． 問(wèn)題1：立柱和地面是什么位置關(guān)系？ 提示：相交． 問(wèn)題2：柱腳間有地伏等水平構(gòu)件看成直線，它和地面有什么關(guān)系？ 提示：在平面內(nèi)． 問(wèn)題3：直線和平面還有其他關(guān)系嗎？ 提示：平行． [導(dǎo)入新知] 直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點(diǎn) 無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 一個(gè)公共點(diǎn) 沒(méi)有公共點(diǎn) 符號(hào)表示 a?α a∩α＝A a∥α 圖形表示 [化解疑難] 1．利用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也可以理解直線與平面的位置關(guān)系． (1)當(dāng)直線與平面無(wú)公共點(diǎn)時(shí)

49、，直線與平面平行． (2)當(dāng)直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面相交． (3)當(dāng)直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線在平面內(nèi)． 2．直線在平面外包括兩種情形：a∥α與a∩α＝A. 空間中平面與平面的位置關(guān)系 [提出問(wèn)題] 觀察拿在手中的兩本書，我們可以想象兩本書為兩個(gè)平面． 問(wèn)題1：兩本書所在的平面可以平行嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？ 提示：可以，無(wú)公共點(diǎn)． 問(wèn)題2：兩本書所在的平面可以相交嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？ 提示：可以，有無(wú)數(shù)個(gè)． [導(dǎo)入新知] 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖示 表示法 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩平面平行 α∥β

50、沒(méi)有公共點(diǎn) 兩平面相交 α∩β＝l 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上) [化解疑難] 1．判斷面面位置關(guān)系時(shí)，要利用好長(zhǎng)方體(或正方體)這一模型． 2．畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行． 直線與平面的位置關(guān)系 [例1]　下列說(shuō)法： ①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；③若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線． 其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè)　　　　　　　　　　 B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) [解析]　對(duì)于①，直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α或

51、a與α相交，∴a和α不一定平行，∴①說(shuō)法錯(cuò)誤． 對(duì)于②，∵直線a∥b，b?α，則只能說(shuō)明a和b無(wú)公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α.∴②說(shuō)法錯(cuò)誤． 對(duì)于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行．∴③說(shuō)法正確． [答案]　B [類題通法] 空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行． 在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷． [活學(xué)活用] 1．下列說(shuō)法中，正確的

52、個(gè)數(shù)是(　　) ①如果兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條直線也和這個(gè)平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過(guò)另一條直線的任何平面都平行；③經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條直線，有一個(gè)平面與另一條直線平行；④兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，則另一條一定與這個(gè)平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C?、僬_；②錯(cuò)誤，如圖1所示，l1∥m，而m?α，l1?α；③正確，如圖2所 示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直 線A1C1與直線BD異面，A1C1?平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正確；④錯(cuò)誤，直線還可能與平面相

53、交．由此可知，①③正確，故選C. 平面與平面的位置關(guān)系 [例2]　(1)平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，問(wèn)α∥β是否正確，為什么？ (2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行，問(wèn)α∥β是否正確，為什么？ [解]　(1)不正確． 如圖所示，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無(wú)數(shù)條：a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線，這時(shí)a1，a2，…，an，…與平面β都平行(因?yàn)閍1，a2，…，an，…與平面β無(wú)交點(diǎn))，但此時(shí)α與β不平行，α∩β＝l. (2)正確． 平面α內(nèi)所有直線與平面β平行，則平面α與平面β無(wú)交點(diǎn)，符合平面與平面平行的定義． [類題通法]

54、 兩個(gè)平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)區(qū)分：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知，這兩個(gè)平面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線；如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相平 行．這樣我們可以得出兩個(gè)平面的位置關(guān)系：①平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l. [活學(xué)活用] 2．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面．與其中一個(gè)側(cè)面相交的面共有________個(gè)． 解析：六棱柱的兩個(gè)底面互相平行，每個(gè)側(cè)面與其直接相對(duì)的側(cè)面

55、平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共有8個(gè)面圍成，在其余的7個(gè)面中，與某個(gè)側(cè)面平行的面有1個(gè)，其余6個(gè)面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系． 答案：4　6 3．如圖所示，平面ABC與三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之間有什么位置關(guān)系？ 解：∵平面ABC與平面A1B1C1無(wú)公共點(diǎn)，∴平面ABC與平面A1B1C1平行． ∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB， ∴平面ABC與平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交． 　　　　 [典例]　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，判斷過(guò)A，Q，B1三點(diǎn)的截

56、面圖形的形狀． [解題流程] [規(guī)范解答] 由點(diǎn)Q在線段DD1上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí)，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖甲．(4分) 甲 [名師批注] 因?yàn)镼是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)Q與D1重合時(shí)，D1B1，AB1，AD1均為正方形的對(duì)角線，即D1B1＝AB1＝AD1，所以，△AB1D1為正三角形. 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖乙．(8分) 乙 [名師批注] 點(diǎn)Q在DD1上，兩個(gè)端點(diǎn)是特殊位置，所以Q與D重合時(shí)，由DC1∥AB1知，截面是矩形AB1C1D. 當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D，D1重合時(shí)，截面圖形為等腰梯形AQRB1，

57、如圖丙．(12分) 丙 [名師批注] 當(dāng)Q在DD1兩點(diǎn)之間時(shí)，延長(zhǎng)AQ交A1D1延長(zhǎng)線于O點(diǎn)，連接B1O交C1D1于R點(diǎn)，則AB1RQ為截面圖形. [活學(xué)活用] 如圖所示，G是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)．試分別畫出過(guò)下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線． (1)過(guò)點(diǎn)G及AC；(2)過(guò)三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1. 解：(1)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示． (2)畫法：連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交DA的延長(zhǎng)線

58、于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示． [隨堂即時(shí)演練] 1．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，則有(　　) A．l∥α　　　　　　　　　 B．l?α C．l與α相交 D．以上都有可能 解析：選C　由符號(hào)語(yǔ)言知，直線l上有一點(diǎn)在平面α內(nèi)，另一點(diǎn)在α外，故l與α相交． 2.如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表示為(　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l?α D．α∥β，l?α 解析：選D　顯然圖中α∥β，且l?α. 3．平面α∥平面β，直

59、線a?α，則a與β的位置關(guān)系是________． 答案：平行 4．(2012臨沂高一檢測(cè))經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)可作該平面的平行平面的個(gè)數(shù)是________． 解析：若平面外兩點(diǎn)所在直線與該平面相交，則過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)不存在平面與已知平面平行；若平面外兩點(diǎn)所在直線與該平面平行，則過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)存在唯一的平面與已知平面平行． 答案：0或1 5．三個(gè)平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直線c?β，c∥b. (1)判斷c與α的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)判斷c與a的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解：(1)c∥α.因?yàn)棣痢桅?，所以α與β沒(méi)有公共點(diǎn)，又c?β，所以c與α無(wú)公共點(diǎn)，則c∥α.

60、 (2)c∥a.因?yàn)棣痢桅拢驭僚cβ沒(méi)有公共點(diǎn)，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，則a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b沒(méi)有公共點(diǎn)．由于a、b都在平面γ內(nèi)，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能確定 解析：選C　如下圖所示： 由圖可知，兩個(gè)平面平行或相交． 2．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(　　) A．平行 B．相交 C．直線在平面內(nèi) D．平行或

61、直線在平面內(nèi) 解析：選D　由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，所以與另一個(gè)平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在平面內(nèi)．否則此直線與另一個(gè)平面平行(因?yàn)槿粢粭l直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，則必然與另一個(gè)平面相交)． 3．(2011浙江高考)若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內(nèi)的所有直線與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交 解析：選B　若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意矛盾． 4．若直線a不平行于平面α，則下

62、列結(jié)論成立的是(　　) A．α內(nèi)的所有直線均與a異面 B．α內(nèi)不存在與a平行的直線 C．α內(nèi)直線均與a相交 D．直線a與平面α有公共點(diǎn) 解析：選D　由于直線a不平行于平面α，則a在α內(nèi)或a與α相交，故A錯(cuò)；當(dāng)a?α?xí)r，在平面α內(nèi)存在與a平行的直線，故B錯(cuò)；因?yàn)棣羶?nèi)的直線也可能與a平行或異面，故C錯(cuò)；由線面平行的定義知D正確． 5．給出下列幾個(gè)說(shuō)法： ①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2

63、D．3 解析：選B　(1)當(dāng)點(diǎn)在已知直線上時(shí)，不存在過(guò)該點(diǎn)的直線與已知直線平行，故(1)錯(cuò)；(2)由于垂直包括相交垂直和異面垂直，因而過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條，故(2)錯(cuò)；(3)過(guò)棱柱的上底面內(nèi)的一點(diǎn)任意作一條直線都與棱柱的下底面平行，所以過(guò)平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直線有無(wú)數(shù)條，故(3)錯(cuò)；(4)過(guò)平面外一點(diǎn)與已知平面平行的平面有且只有一個(gè)，故(4)對(duì)． 二、填空題 6．下列命題： ①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合； ②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β. 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________． 解析：對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線，也有無(wú)數(shù)多

64、個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，借助于正方體ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯(cuò)誤． 答案：①② 7．與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有________個(gè)． 解析：A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)在平面α的異側(cè)，如果一邊3個(gè)，另一邊1個(gè)，適合題意的平面有4個(gè)；如果每邊2個(gè)，適合題意的平面有3個(gè)，共7個(gè)． 答案：7 8．下列命題正確的有________． ①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)； ②若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α； ③若直線l與平面α相交

65、，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線； ④如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交； ⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面； ⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則直線a∥b.解析：對(duì)②，直線l也可能與平面相交；對(duì)③，直線l與平面內(nèi)不過(guò)交點(diǎn)的直線是異面直線，而與過(guò)交點(diǎn)的直線相交；對(duì)④，另一條直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行；對(duì)⑥，兩平行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面．故①⑤正確． 答案：①⑤ 三、解答題 9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？

66、 (1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系． 解：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交； (2)CN所在的直線與平面ABCD相交； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交． 10.如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論． 解：平面ABC與β的交線與l相交． 證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，∴AB與l一定相交，設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β. ∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)， ∴直線PC就是平面ABC與β的交