專題62 利用三角函數(shù)值域求范圍問題(解析版)

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1、 專題62 利用三角函數(shù)值域求范圍問題 一、單選題 1．在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知條件得出，利用正弦定理結合兩角差的正弦公式得出，利用為銳角三角形，求出角的取值范圍，再利用三角恒等變換思想化簡所求代數(shù)式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得的取值范圍. 【詳解】 由于且，可得， 由正弦定理可得，即， ，，可得，，即， 為銳角三角形，可得，解得， 所以，， ，可得，， 所以，. 故選：B. 【點睛】 思路點睛：解三角形的問題中，求解與三角形內角的代數(shù)式的取值范圍問題時

2、，一般利用三個內角之間的關系轉化為以某角為自變量的三角函數(shù)來求解，同時不要忽略了對象角的取值范圍的求解. 2．已知點分別是雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由題意可用雙曲線參數(shù)表示，由是銳角三角形，令結合余弦定理即得，進而可求離心率的取值范圍. 【詳解】 由題意知，若如下圖示，則，， ∴，， 令，則有， 是銳角三角形，有，得 ∴，而可知：的范圍 故選：D 【點睛】 關鍵點點睛：利用雙曲線參數(shù)表示三角形的三邊，應用余弦定理結合銳角

3、三角形中內角余弦值范圍為，雙曲線離心率求離心率范圍. 3．已知中，角、、所對應的邊分別為、、，且，若的面積為，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由三角形的面積公式可得，由余弦定理可得，利用可求得，可得出，并求得，利用三角恒等變換思想得出，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得結果. 【詳解】 由三角形的面積公式可得，可得， ，由余弦定理可得， 由，可得，解得，， ，可得，則， 所以，， ，，則， 因此，， 故選：B. 【點睛】 方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“

4、邊化角”或“角化邊”，變換原則如下： （1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”； （2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”； （3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”； （4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解； （6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理. 二、解答題 4．在中，分別為角所對的邊.在①；②；③這三個條件中任選一個，作出解答. （1）求角的值； （2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍. 【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）

5、. 【分析】 （1）選擇條件①，利用正弦定理化簡已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡得，根據(jù)三角形內角性質得出且，即可求出角的值；選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡得出，即可求出角的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡的出，從而可求出角的值； （2）根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出，，再根據(jù)三角形面積公式化簡得出，由為銳角三角形，求出角的范圍，從而得出的面積的取值范圍. 【詳解】 解：（1）選①， 由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 選②， ∴， ∴， ∵，∴，則， ∴； 選③， 得， ∴， ∴， ∵

6、，∴， ∴，∴. （2）已知為銳角三角形，且， 由正弦定理得：， ∴，， ∴， ∵為銳角三角形， ∴， ∴，∴. 【點睛】 關鍵點點睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積的應用，考查三角形的面積公式以及三角形內角的性質，根據(jù)三角函數(shù)的性質求區(qū)間內的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關鍵，考查轉化思想和化簡運算能力. 5．在銳角中，角所對的邊分別是a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由已知得，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，結合的范圍可求的值． （2）利

7、用三角函數(shù)恒等變換的應用可求，由題意可求范圍，進而利用正弦函數(shù)的性質即可求解其取值范圍． 【詳解】 解：（1）∵，結合余弦定理，可得： ，∴，∴ 又∵，∴ （2）因為，，所以，所以， 所以 ∵是銳角三角形，所以，解得 ∴, ∴ ∴, ∴ 綜上，的取值范圍是 【點睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 6．某高檔小區(qū)有一個池塘，其形狀為直

8、角，，百米，百米，現(xiàn)準備養(yǎng)一批觀賞魚供小區(qū)居民觀賞． （1）若在內部取一點P，建造APC連廊供居民觀賞，如圖①，使得點P是等腰三角形PBC的頂點，且，求連廊的長； （2）若分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，建造連廊供居民觀賞，如圖②，使得為正三角形，求連廊長的最小值． 【答案】（1）百米；（2）百米． 【分析】 （1）先在三角形PBC中利用已知條件求出PC的長度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的長度，即可求解； （2）設出等腰三角形的邊長以及角CEF，則可求出CF的長度，進而可得AF的長度，再利用角的關系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化簡出a

9、的表達式，再利用三角函數(shù)的最值即可求出a的最小值，進而可以求解． 【詳解】 解：（1）因為P是等腰三角形PBC的頂點，且， 又，所以，，又因為，所以， 則在三角形PAC中，由余弦定理可得： ，解得， 所以連廊百米； （2）設正三角形DEF的邊長為a，， 則，，且，所以， 在三角形ADF中，由正弦定理可得： ，即， 即，化簡可得， 所以（其中為銳角，且）， 即邊長的最小值為百米， 所以三角形DEF連廊長的最小值為百米． 【點評】 方法點睛：在求三角形邊長以及最值的問題時，常常設出角度，將長度表示成角度的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求最值. 7．如圖，在平面四邊形

10、中，，，，是等邊三角形. （1）求（用含的式子表示）﹔ （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）在中，利用正弦定理即可求解. （2）以點為坐標原點，為軸，過垂直與為軸，建立平面直角坐標系，過點作，垂足為，從而可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質即可求解. 【詳解】 （1）在中，，，， 所以, 由正弦定理可得, 即. （2）由，是等邊三角形， 所以，，由（1）知， ， 以點為坐標原點，為軸，過垂直與為軸， 建立平面直角坐標系，如圖： 過點作，垂足為， 由題意可得, 所以， ， 所以， 由，， 所以， 所以， 所以

11、 【點睛】 關鍵點點睛：解題的關鍵是建立坐標系，得出關系式，將問題轉化，借助于三角函數(shù)進行求解，考查了運算能力、轉化能力以及分析能力. 8．如圖，在平面四邊形中，， （1）若，求 （2）若，求的最大值 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理可求的長. （2）設，利用正弦定理和余弦定理可得關于的表達式，利用正弦型函數(shù)的性質可求其最大值. 【詳解】 解：（1）因為，， 所以， 則， 在中，，，， 由正弦定理可得：， 則. （2）設，則 在中，，， 由正弦定理可得， 則， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 則 ， 當即， ，

12、 故的最大值為. 【點睛】 思路點睛：解三角形中，注意三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理，知道兩邊及一邊所對的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（結合要求解的目標確定方法）. 9．在①，②，③的面積，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.(如果選擇多個條件作答，則按所選的第一個條件給分） 在三角形中，角所對的邊分別是，且角為銳角. （1）求角； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）若選①：利用同角三角函數(shù)關系和正弦定理可化簡已知等式求得，進而得到； 若選②：利用正弦定理角化邊求

13、得，結合為銳角得到； 若選③：根據(jù)三角形面積公式和向量數(shù)量積定義可構造方程求得，進而得到； （2）利用正弦定理將化為，利用兩角和差正弦公式和輔助角公式化簡可知，利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得所求范圍. 【詳解】 （1）若選①：由得： ， 由正弦定理得：，即，， 又為銳角，. 若選②：由正弦定理得：， ，，， 又為銳角，. 若選③：，又， ， 為銳角，，，. （2）由正弦定理得：， ， ， ， ，，，， 即的取值范圍為. 【點睛】 思路點睛：解三角形問題中，求解邊長之和的范圍類問題的基本思路是利用正弦定理將邊化角，結合三角恒等變換公式將問題轉化為三角函數(shù)

14、值域的求解問題，利用三角函數(shù)值域的求解方法求得范圍. 10．已知向量，，，其中A是的內角. （1）求角A的大小； （2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由和三角恒等變換可得答案； （2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的知識可得答案. 【詳解】 （1）因為， 即有，（），，（）， 又A為的內角，所以； （2）由，得為鈍角，從而 由正弦定理，得 所以，， 則 又，所以， 則 11．在中，角、、的對邊分別為、、.已知. （1）若，求. （2）求的取值范圍. 【答案】（1）

15、；（2） 【分析】 (1)已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式變形，根據(jù)不為0求出的值，即可確定出A的度數(shù)； (2)由第一問得到，代入原式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍. 【詳解】 （1）由正弦定理得， ， ， 即， ， ，， ，； （2）由（1）得， ， 又， ，， ，， ，， 則的取值范圍. 【點睛】 此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵. 12．已知銳角中，角，，所對的邊分別

16、為，，，且. （1）求的值； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)誘導公式、同角三角函數(shù)平方關系和正弦定理邊化角，可整理已知等式求得，進而得到結果； （2）利用正弦定理、兩角和差正弦公式和輔助角公式可將轉化為，由正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得結果. 【詳解】 （1）由題意得：， ， 由正弦定理得：，， ，. （2）由正弦定理得：，, , ，, . 為銳角三角形，，即，解得：， ，，， 即的取值范圍為. 【點睛】 方法點睛：解三角形問題中，已知一邊及其所對角，求解與另外兩邊長有關的取值范圍問題的常用方法是利用正弦定理將邊

17、化角，將問題轉化為正弦型函數(shù)值域的求解問題. 13．的內角，，對應邊分別為，，，且． （1）求的大??； （2）若為銳角三角形，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由，利用余弦定理化簡得，再結合余弦定理，即可求解； （2）由（1）和為銳角三角形，求得，利用三角恒等變換的公式，化簡得到，結合三角函數(shù)的性質，即可求解. 【詳解】 （1）因為，由余弦定理，可得， 整理得，又由， 因為，所以. （2）因為為銳角三角形，可得，， 因為，所以，可得， 又由 ， 因為，可得， 所以的取值范圍為. 【點睛】 對于解三角形問題，通常利用正弦定理進

18、行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，結合正、余弦定理求解. 14．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知. （1）求角的大??； （2）若，求周長的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關系及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計算可得； （2）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質計算可得； 【詳解】 解：（1）由題意知， 即. 由正弦定理，可得. 則由余弦定理，可得. 又

19、因為，所以. （2）由正弦定理，， 所以，. 則的周長 . 因為，所以，所以， 所以， 所以周長的取值范圍是. 【點睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 15．在銳角中，內角所對的邊分別為，已知的面積. （1）求； （2）作角的平分線交邊于點，記和的面積分別為，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由結合整理可得，問題得解； （2）

20、整理可得，結合正弦定理得，由銳角三角形問題得解. 【詳解】 （1），整理得， 因此，又，所以； （2）， 由正弦定理得：， 因為，， 所以. 【點睛】 方法點睛：本題主要考查了三角形面積公式及正、余弦定理，關鍵點是利用已知和余弦定理得到，考查方程思想及轉化思想，考查計算能力，屬于基礎題． 16．已知函數(shù) （1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間 （2）若銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且，求面積S的取值范圍 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先利用三角恒等變換公式化簡解析式得到，根據(jù)正弦函數(shù)單調性，列出不等式求解，即可得出結果； （2）由（1）先

21、求出，由正弦定理得：，再根據(jù)銳角三角形求出B的取值范圍，進而求出c的取值范圍，從而得到面積的取值范圍. 【詳解】 （1） 由 解得：， 故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為． （2），， 又，，，又， 在中，由正弦定理得：，得 又為銳角三角形，且，故，解得 ，即 面積S的取值范圍是： 【點睛】 易錯點睛：本題考查利用正弦定理求三角形邊長范圍的最值，解本題時要注意的事項：求角的范圍時，是在為銳角三角形的前提下，考查學生的轉化能力與運算解能力，屬于中檔題. 17．已知中，內角、、所對的邊分別為、、，且滿足. （1）求角的大小； （2）若邊長，求的周長最大值. 【答案】（

22、1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理邊角互化可得出，利用余弦定理求出的值，再結合角的取值范圍可求得角的值； （2）利用正弦定理結合三角函數(shù)可得，由可得，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得的周長最大值. 【詳解】 （1），根據(jù)正弦定理得，， 即，由余弦定理得. 又，所以； （2），，，由正弦定理得， 可得：，， ， 由可得，可得. . 因此，的周長的最大值為. 【點睛】 方法點睛： 1.解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”； （2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”； 2.求三角形周長的最值也是解三角形中一種常見類型的問題，主要方法有兩類：

23、 （1）找到邊與邊的關系，利用余弦定理列等式，結合基本不等式求最值； （2）利用正弦定理，轉化為關于某個角為自變量的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想的求最值. 18．的內角、、所對的邊分別為、、，面積為.設. （1）求角的大?。? （2）設，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦定理結合三角形的面積公式可求得的值，結合可求得角的值； （2）由正弦定理得出，，利用三角形的內角和定理以及三角恒等變換思想得出，求出角的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍. 【詳解】 （1）由余弦定理得， 由，可得，所以. 因為，所以； （2）由正弦定理得，，，

24、 因此 . 因為，所以，所以，所以， 所以. 因此，的取值范圍是. 【點睛】 方法點睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”； （2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”. 求三角形有關代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類： （1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解； （2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解. 19．從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知的內角，，的對邊分別為，，，且______，求的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分. 【答案】答案見解析 【分

25、析】 分別選①②③，由正弦定理和三角恒等變換的公式，求得，進而得到，化簡，結合三角函數(shù)的性質，即可求解. 【詳解】 若選①，因為， 由正弦定理得， 整理得，可得， 又由，則有， 又因為，所以，所以. 所以 ， 因為，可得， 所以當時，有最大值. 若選②，因為， 由正弦定理知， 整理得，即. 又因為，可得，所以，即， 所以， 所以 ， 因為，可得， 所以當時，有最大值. 若選③，因為， 由正弦定理知，∴. 由余弦定理知， 因為，所以，所以， 所以 ， 因為，可得， 所以當時，有最大值. 【點睛】 解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪

26、個定理更合適，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理. 20．已知在中，. （1）求角的大?。? （2）若與的內角平分線交于點，的外接圓半徑為4，求周長的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值為. 【分析】 （1）先用三角形內角和定理?誘導公式?同角三角函數(shù)的基本關系化簡已知等式，得到關于的方程，解方程可得的值，再結合角的范圍即可求出角； （2）由的外接圓半徑為4，利用正弦定理求出，根據(jù)三角形內角和為，，得，則，可求出，設，在中根據(jù)正弦定理將邊用表示，可得周長的表達式，根據(jù)

27、三角函數(shù)的有界性可求得周長的最大值. 【詳解】 解：（1）∵，∴，∴， 又， ∴， 即，解得. 又，∴. （2）∵的外接圓半徑為4，所以由正弦定理得 ∵，∴，， 又與的內角平分線交于點，∴. ∴ 設，則，， 在中，由正弦定理得， 得，， ∴的周長為. ∵，∴， ∴當，即時，的周長取得最大值，為， ∴周長的最大值為. 【點睛】 結論點睛：解決解三角形問題的關鍵是靈活運用正弦定理?余弦定理求邊和角，如果給出的等式中既有邊又有角，則可考慮利用正弦定理將已知等式轉化為關于邊或關于角的關系式進行求解，若給出的等式是關于邊的二次式，則一般需利用余弦定理求解. 21．

28、已知在銳角中，角，，的對邊分別為，，，，. （1）求外接圓的半徑； （2）求周長的取值范圍. 【答案】（1）2；（2）. 【分析】 （1）由，利用正弦定理、和差公式可得，再利用正弦定理即可得出外接圓的半徑． （2）由，可得：，．可得．，利用和差公式、三角函數(shù)的單調性即可得出． 【詳解】 （1）因為 所以 所以 所以 又因為 所以 又 所以 又因為 所以 又因為 所以外接圓半徑 （2）據(jù)題設知， 所以， 又， 所以 因為是銳角三角形，且 所以 解得 所以 所以 即周長的取值范圍是 【點睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理

29、實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 22．已知a，b，c是的內角A，B，C的對邊，且的面積. （1）記，，若. （i）求角C， （ii）求的值； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；或.（2） 【分析】 （1）（i）由，利用向量共線的坐標運算可得，再利用正弦定理邊化角得，借助 ，即可求得角C （ii）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除以可得，，解方程即可求解. （2）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除

30、以可得，，分離取值范圍已知的量： 由，則，即，解不等式即可得到答案. 【詳解】 （1）（i），，， ，即 利用正弦定理得：， 即，化簡得 又，， 又， （ii）由，得，即，化簡得 由余弦定理得：， 即，兩邊同除以可得， 令，得，解得 所以的值為或 （2）由，得，即 由余弦定理得：， 即，兩邊同除以可得， 令，得， 即 由，則，即， 解不等式得： 所以的取值范圍為： 【點睛】 方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用： （1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考

31、慮正弦定理，“角化邊”； （2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”； （3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”； （4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用； （6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到. 23．近年來國家大力加強生態(tài)環(huán)境保護，某山區(qū)違建拆除以后，當?shù)卣疄榱司窘逃笕?，決定在一處空地上建立一個如圖所示的綜合教育基地，其中ABC為正三角形，在ACD中，DC＝2百米，DA＝1百米，建成后BCD將作為人們觀看警示教育區(qū)域，ABD作為環(huán)境保護知識普及學習區(qū)域． （1）當∠ADC＝時，求

32、環(huán)境保護知識普及學習區(qū)域的面積(單位：百米)； （2）設∠ADC＝θ，則當θ多大時，觀看警示教育區(qū)域的面積(單位：百米)最大． 【答案】（1）百米2；（2）． 【分析】 （1）求出百米，百米，即得環(huán)境保護知識普及學習區(qū)域的面積； （2）設，求出，再求出，即得解. 【詳解】 （1）在中，， 所以百米， 所以，所以，從而， 因為為正三角形，所以百米， 百米2， （2）設，則在中，由正弦定理得， 由余弦定理得， 因為為正三角形，所以，又百米， 所以 ， 所以當即時，取得最大值百米2， 綜上可得，當觀看警示教育區(qū)域的面積最大. 【點睛】 關鍵點睛：解答本題的關鍵

33、是求出的函數(shù)解析式，其中用到了正弦定理和余弦定理求三角函數(shù).遇到解三角形的問題，要熟練運用正弦定理余弦定理完成解題目標. 24．在中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，滿足. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用三角形的面積公式以及余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理可得，再根據(jù)兩角差的正弦公式以及輔助角公式即可求解. 【詳解】 （1）由三角形面積公式得： （2）在中，由正弦定理得，又， 所以，， 故， 因為故，所以，， 故的取值范圍是. 25．在中，角所過的邊分別為，且，． （1）求面積的最大值；

34、 （2）若為銳角三角形，求周長的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)條件利用余弦定理求出，再由基本不等式求出，即可求出面積最大值； （2）由正弦定理可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質可求出取值范圍. 【詳解】 解（1）， ， ，即，， ， 當且僅當時等號成立，， ，即，； （3）由正弦定理可知， ， 為銳角三角形，且， ， ，即的取值范圍為. 【點睛】 關鍵點睛：第一問關鍵是利用基本不等式求出；第二問需要利用正弦定理化邊為角得到，再結合三角函數(shù)性質求解. 26．設函數(shù). （1）求的最小正周期和值域； （2）在銳角中，設角，，的

35、對邊長分別為，，．若，，求周長的取值范圍． 【答案】（1）；；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡得，再根據(jù)周期公式可得周期，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得值域； （2）由，得，根據(jù)正弦定理將用表示，用兩角和的正弦公式將周長表示為的三角函數(shù)，利用銳角三角形求出的范圍，利用三角函數(shù)的圖象求出周長的取值范圍. 【詳解】 （1）因為 所以的最小正周期為. 因為， 所以. 所以，函數(shù)的值域為. （2）由，得. 因為為銳角，所以，所以，即. 因為，所以. 由正弦定理，得，， 所以 . 因為為銳角三角形，所以，， 即，解得. 所以，所以，即.

36、 所以周長的取值范圍為區(qū)間. 【點睛】 關鍵點點睛：利用正弦定理將邊化角，利用三角函數(shù)的圖象求取值范圍是解題關鍵，屬于中檔題. 27．設的內角的對邊分別為，已知且，. （1）求角； （2）若，求周長的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由向量垂直有，結合其坐標表示可得，應用余弦定理即可求角； （2）應用正弦定理有，進而得到，根據(jù)三角形內角和性質及周長公式即可求周長的取值范圍. 【詳解】 (1)∵， ∴ ∴，即， ∴. ∵B∈(0,π)， ∴. （2）由正弦定理，得，又因為 所以 又因為，所以 所以 所以△ABC周長的取值范圍

37、【點睛】 關鍵點點睛：本題綜合考查了向量垂直的坐標表示、正余弦定理的應用，注意觀察正弦定理中邊角互化、余弦公式形式的辨析，以及應用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式并結合三角形的內角性質求周長范圍. 28．在中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，且. （1）求角的大??； （2）求周長的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由題意得出，從而求得的值； （1）由正弦定理表示出，，利用三角恒等變換與三角形內角和定理，即可求出的取值范圍． 【詳解】 解：（1）由，，且， 得， ； 又， ； （2）由（1）知，，則， ，，，； ， 又，， ，， ， 周長的取值范圍． 【點睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.