【名校資料】山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題14 平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱

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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱 【近3年臨沂市中考試題】 1. (2016山東臨沂，18，3分)如圖，將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A，C重合，折痕為FG．若AB=4，BC=8，則△ABF的面積為_____________． 2. (2016山東臨沂，12，3分)如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△EDC，連接AD，BD.則下列結(jié)論：①AC=AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形.其中正確的個數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3.（2015山東臨沂，13，3分）要將拋物

2、線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（ ） A. 向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B. 向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C. 向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D. 向右平移1個單位，再向下平移2個單位 4.（2014山東省臨沂市，14，3分）在平面直角坐標系中，函數(shù)≥的圖象為，關(guān)于原點對稱的圖象為，則直線（a為常數(shù)）與，的交點共有（ ） （A）1個． （B）1個，或2個． （C）1個，或2個，或3個． （D）1個，或2個，或3個，或4個． 5.（2014山東省臨沂市，23，9分

3、）對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下： 第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開； 第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BE，同時，得到線段，，展開，如圖1； 第三步：再沿所在的直線折疊，點B落在AD上的點處，得到折痕EF，同時得到線段，展開，如圖2. 【知識點】 對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的基本概念，圖形平移、對稱和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，按要求做出平移、對稱和旋轉(zhuǎn)后的圖形，利用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)解決相關(guān)問題。 【規(guī)律方法】 1．軸對稱圖形的識別：能否找到一條直線（即對稱軸），使直線兩旁的部分完全重合；折疊問題是軸對稱變換，折疊前

4、后是全等形，解決問題時經(jīng)常用到勾股定理。 2．圖形平移的兩個基本條件：（1）圖形平移的方向是這個圖形上某一點到平移后的圖形對應(yīng)點的方向；（2）圖形平移的距離是連接一對對應(yīng)點的線段的長度，圖形上的每個點平移的距離相等。 3.平移作圖的方法：（1）平行線法；（2）對應(yīng)點連線法；利用“平移圖形的對應(yīng)線段平行（或共線）且相等”找出各關(guān)鍵點的對應(yīng)點再順次連線作圖。（3）全等圖形法：利用“平移圖形必全等”用尺規(guī)作圖。 3．中心對稱圖形的識別：看是否存在一點，把圖形繞著這一點旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合。旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形，旋轉(zhuǎn)中心是各對應(yīng)點所連線段的垂直平分線的交點。 5.求一個圖形

5、旋轉(zhuǎn)后、平移后的圖形的某點的坐標，一般要把握三點：一是根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)、平移變換的性質(zhì)；二是利用圖形的全等關(guān)系；三是點所在象限符號的確定。 6.對平移作圖應(yīng)明確平移的方向和距離；對旋轉(zhuǎn)作圖要明確旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角；軸對稱作圖關(guān)鍵是確定對稱軸。 【中考集錦】 一．填空題（共3小題） 1．（2015?張家港市模擬）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（0，4），點C、D分別為OA、OB的中點，若正方形OCED繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OC′E′D′．記旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜360°），連結(jié)AC′、BD′，設(shè)直線AC′與直線BD′相交于點F

6、，則點F的縱坐標的最大值為　?。? 2．（2015?重慶校級模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，將該矩形沿對角線BD翻折，使△DBG與△DBC在同一平面內(nèi)，C的對應(yīng)點為G，BG交AD于點E，以BE為邊作等邊三角形PEF（P與B重合），點E、F位于AB兩側(cè)，將△PAF沿射線BD方向平移，當P到達點D時停止平移．當平移結(jié)束后，（即點P到達點D時），將△PAF繞點P順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α（0＜α＜180°），A的對應(yīng)點A′，F(xiàn)的對應(yīng)點F′，直線PF′與直線BG的交點為M，直線F′A′與直線BG的交點為N，在旋轉(zhuǎn)過程中，當△F′MN是直角三角形，且∠MNF′=90°時

7、，則F′N的長度為　?。? 3．（2015?孝感）如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．有如下結(jié)論： ①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是． 其中正確結(jié)論的序號是　　． 二．解答題（共35小題） 4．（2016?泰安模擬）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，邊BA繞點B順時

8、針旋轉(zhuǎn)α角得到線段BP，連結(jié)PA，PC，過點P作PD⊥AC于點D． （1）如圖1，若α=60°，求∠DPC的度數(shù)； （2）如圖2，若α=30°，直接寫出∠DPC的度數(shù)； （3）如圖3，若α=150°，依題意補全圖，并求∠DPC的度數(shù)． 5．（2016?西峽縣一模）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊AD上的一點，過點D作DE∥AC交AC于E，則線段BD與CE有何數(shù)量關(guān)系？ 拓展探究：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°），上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請就圖

9、中給出的情況加以證明． 問題解決：如果△ABC的邊長等于2，AD=2，直接寫出當△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時BD的長． 　 6．（2016?邢臺二模）如圖1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC內(nèi)部作∠MAN=45°．AM、AN分別交BC于點M，N． 【操作】 （1）將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB邊與AC邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點M的對應(yīng)點記作點Q，得到ACQ，請在圖1中畫出△ACQ；（不寫出畫法） 【探究】 （2）在（1）中作圖的基礎(chǔ)上，連接NQ，

10、 ①求證“MN=NQ”； ②寫出線段BM，MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由． 【拓展】 如圖2，在等腰△DEF中，∠EDF=45°，DE=DF，點P是EF邊上任意一點（不與E，F(xiàn)重合），連接DP，以DP為腰向兩側(cè)分別作頂角均為45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分別交DE，DF于點K，L，連接GH，分別交DE，DF于點S，T． （3）線段GS，ST和TH之間滿足的數(shù)量關(guān)系是　ST2=GS2+TH2??； （4）設(shè)DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示） 　 7．（2016?山西模擬）綜合與實踐： 問題情景：

11、已知等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，點M，N分別是DB，EC的中點，連接MN． 問題： （1）如圖1，當點E在AB上，且點C和點D恰好重合時，探索MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； （2）如圖2，當點D在AB上，點E在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由． 拓展探究： （3）如圖3，將圖2中的等腰Rt△AED繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90），請猜想MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（不必證明） 【特別提醒】1、作圖的基本作法以點（特殊點）定線，就是先做出特殊點的對應(yīng)點，再順次連接特殊點，同時掌握

12、好三種基本變換的共性特征（形狀和大小不變）及個性特征。 2、求平移圖形中的坐標時，易忽視平移方向；旋轉(zhuǎn)作圖時易忽視旋轉(zhuǎn)的方向，如果沒有特別說明，要分類討論。 3、折疊的本質(zhì)特征：折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對稱。解決這類問題的關(guān)鍵首先要把握折疊的變換規(guī)律，弄清折疊前后哪些量變了，哪些量沒有變，又有哪些條件可利用；其次要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知識，將其中的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達出來，由此解決問題。 答案： 九年

13、級二輪專題復(fù)習(xí)材料 專題十二：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱 【近3年臨沂市中考試題】 1. (2016山東臨沂，18，3分)如圖，將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A，C重合，折痕為FG．若AB=4，BC=8，則△ABF的面積為_____________． 【答案】6 【逐步提示】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．①先利用矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠B=90°，AF=FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的長；③再用三角形面積公式求出三角形的面積． 【詳細解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°．∵折疊使得A，C重

14、合，∴AF=FC．設(shè)BF=x，∵BC=8，∴AF=FC=8－x．在Rt△ABF中，AB=4，由勾股定理可得42+x2=(8－x)2，解得x=3，即BF=3．∴△ABF的面積為AB·BF=×3×4=6．故答案為6. 2.(2016山東臨沂，12，3分)如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△EDC，連接AD，BD.則下列結(jié)論：①AC=AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形.其中正確的個數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】D 【解答過程】解：如圖，畫出，函數(shù)y=x2-2x（x≥0）的圖

15、象為C1，C1關(guān)于原點對稱的圖象為C2，當-2a＜2時，直線（a為常數(shù)）與，的交點共有3個，當a=2或-2時，直線（a為常數(shù)）與，的交點共有2個，當a＞2或a＜-2時，直線（a為常數(shù)）與，的交點共有1個.故選C． 3.（2015山東臨沂，13，3分）要將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（ ） A. 向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B. 向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C. 向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D. 向右平移1個單位，再向下平移2個單位 【答案】D 4.（2014山東省臨沂市，14，3分）在平面直角坐標系中，函數(shù)≥的圖象為，關(guān)于原點對

16、稱的圖象為，則直線（a為常數(shù)）與，的交點共有（ ） （A）1個． （B）1個，或2個． （C）1個，或2個，或3個． （D）1個，或2個，或3個，或4個． 【答案】C. 【考點解剖】本題考查了二次函數(shù)的圖像及幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是熟練進行幾何圖形的變換. 【解題思路】首先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)關(guān)于原點對稱的關(guān)系，可得C2，根據(jù)直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點，可得答案． 【解答過程】解：如圖，畫出，函數(shù)y=x2-2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點對稱的圖象為C2，當-2a＜2時，直線（a為常數(shù)

17、）與，的交點共有3個，當a=2或-2時，直線（a為常數(shù)）與，的交點共有2個，當a＞2或a＜-2時，直線（a為常數(shù)）與，的交點共有1個.故選C． 5.（2014山東省臨沂市，23，9分）對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下： 第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開； 第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BE，同時，得到線段，，展開，如圖1； 第三步：再沿所在的直線折疊，點B落在AD上的點處，得到折痕EF，同時得到線段，展開，如圖2. （1）證明：°； （2）證明：四邊形為菱形. 【答案】解：（1）∵對折AD與

18、BC重合，折痕是MN， ∴點M是AB的中點， ∴A′是EF的中點， ∵∠BA′E=∠A=90°， ∴BA′垂直平分EF， ∴BE=BF， ∴∠A′BE=∠A′BF， 由翻折的性質(zhì)，∠ABE=∠A′BE， ∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF， ∴∠ABE=×90°=30°； （2）∵沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處， ∴BE=B′E，BF=B′F， ∵BE=BF， ∴BE=B′E=B′F=BF， ∴四邊形BFB′E為菱形． 【中考集錦】 一．填空題（共3小題） 1．（2015?張家港市模擬）如圖，在平面

19、直角坐標系中，O為原點，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（0，4），點C、D分別為OA、OB的中點，若正方形OCED繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OC′E′D′．記旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜360°），連結(jié)AC′、BD′，設(shè)直線AC′與直線BD′相交于點F，則點F的縱坐標的最大值為　+1?。? 【分析】首先找到使點F的縱坐標最大時點F的位置（點F與點E′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點F的縱坐標的最大值． 【解答】解：如圖， ∵∠AOB=∠D′OC′， ∴∠ACO′=∠BOD′， 在△AOC′和△BOD′

20、中， ， ∴△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAF=∠OBF， ∵∠AGO=∠BOF ∴∠BFA=∠BOA=90°， ∴點F、B、A、O四點共圓， ∴當點F在劣弧上運動時，點F的縱坐標隨∠FAO的增大而增大， ∵OC′=2， ∴點C′在以點O為圓心，2為半徑的圓O上運動， ∴當AF與⊙O相切時，∠C′AO（即∠FAO）最大， 此時∠AC′O=90°，點E′與點F重合，點F的縱坐標達到最大． 過點F作FH⊥x軸，垂足為H，如圖所示． ∵∠AC′O=90°，C′O=2，AO=4， ∴∠E′AO=30°，AC′=2． ∴AF=2+2

21、． ∵∠AHF=90°，∠FAH=30°， ∴FH=AF=×（2+2）=+1． ∴點P的縱坐標的最大值為+1． 【點評】本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，找到使點F的縱坐標最大時點F的位置是解決問題的關(guān)鍵． 　 2．（2015?重慶校級模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，將該矩形沿對角線BD翻折，使△DBG與△DBC在同一平面內(nèi)，C的對應(yīng)點為G，BG交AD于點E，以BE為邊作等邊三角形PEF（P與B重合），點E、F位于AB兩側(cè)，將△PAF

22、沿射線BD方向平移，當P到達點D時停止平移．當平移結(jié)束后，（即點P到達點D時），將△PAF繞點P順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α（0＜α＜180°），A的對應(yīng)點A′，F(xiàn)的對應(yīng)點F′，直線PF′與直線BG的交點為M，直線F′A′與直線BG的交點為N，在旋轉(zhuǎn)過程中，當△F′MN是直角三角形，且∠MNF′=90°時，則F′N的長度為　2﹣2?。? 【分析】根據(jù)題意結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理得出BD，BE的長，進而求出DE的長，再結(jié)合平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出答案． 【解答】解：如圖，∵矩形ABCD中，AB=2，BC=6， ∴tan∠DBC==， ∴∠DBC

23、=30°， ∴∠ABE=∠ABF=∠DBC=30°， ∵AB=2， ∴AF=AB×tan30°=2， ∴FB=4， ∵AD∥BC， ∴△M1ED∽△M1BC， ∴=， 即=， 解得：M1D=4， ∵DF″=4， ∴M1F″=4（﹣1）， ∴F″N1=×4（﹣1）=2﹣2； ∵AB=2，BC=6， ∴BD=4， ∵TD=BF=4， ∴BT=4﹣4， ∴TN2=（4﹣4）=2﹣2， ∵∠ABD=∠BDC=60°，∠DTF′=60°， ∴△DTF′是等邊三角形， ∴DT=TF′=4， ∴F

24、′N2=4+2﹣2=2+2．（此時旋轉(zhuǎn)角大于180°，不合題意舍去）， 綜上所述：F′N=2﹣2． 故答案為：2﹣2． 【點評】此題主要考查了幾何變換綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵． 　 3．（2015?孝感）如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．有如下結(jié)論： ①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等邊三角形；⑤P

25、為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是． 其中正確結(jié)論的序號是?、佗堍荨。? 【分析】①首先根據(jù)EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AB=BN，據(jù)此判斷出△ABN為等邊三角形，即可判斷出∠ABN=60°． ②首先根據(jù)∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根據(jù)AB=2，求出AM的大小即可． ③首先根據(jù)EF∥BC，QN是△MBG的中位線，可得QN=BG；然后根據(jù)BG=BM=，求出QN的長度即可． ④根據(jù)∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=9

26、0°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等邊三角形． ⑤首先根據(jù)△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，判斷出BN⊥MG，即可求出BN的大??；然后根據(jù)E點和H點關(guān)于BM稱可得PH=PE，因此P與Q重合時，PN+PH=PN+PE=EN，據(jù)此求出PN+PH的最小值是多少即可． 【解答】解：如圖1，連接AN， ∵EF垂直平分AB， ∴AN=BN， 根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得 AB=BN， ∴AN=AB=BN． ∴△ABN為等邊三角形． ∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°， 即結(jié)論①正確；

27、 ∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM， ∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°， ∴AM=， 即結(jié)論②不正確． ∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線， ∴QN=BG； ∵BG=BM=， ∴QN=， 即結(jié)論③不正確． ∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°， ∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°， ∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°， ∴∠BGM=180°﹣60

28、6;﹣60°=60°， ∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°， ∴△BMG為等邊三角形， 即結(jié)論④正確． ∵△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點， ∴BN⊥MG，∴BN=BG?sin60°=， 根據(jù)條件易知E點和H點關(guān)于BM對稱，∴PH=PE， ∴P與Q重合時，PN+PH的值最小，此時PN+PH=PN+PE=EN， ∵EN==， ∴PN+PH=， ∴PN+PH的最小值是， 即結(jié)論⑤正確． 故答案為：①④⑤． 【點評】（1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，

29、要熟練掌握． （2）此題還考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握． （3）此題還考查了折疊的性質(zhì)和應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，要熟練掌握． 　 二．解答題（共35小題） 4．（2016?泰安模擬）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，邊BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α角得到線段BP，連結(jié)PA，PC，過點P作PD⊥AC于點D． （1）如圖1，若α=60°，求∠DPC的度數(shù)； （2）如圖2，若α=30°，直接寫出∠DPC的度數(shù)； （3）如圖3，若α=150°，依題意補全圖，并求∠DPC的度數(shù)． 【分析】（1）

30、根據(jù)α=60°，得到△ABP是等邊三角形，求出AP=AC，得到∠APC=75°，得到答案； （2）過點A作AE⊥BP于E，根據(jù)∠1=30°，得到∠2=15°，求出∠3=15°，證明AD=DC，得到∠DPC=∠APD； （3）證明過程與（2）類似，可以求出∠DPC的度數(shù)． 【解答】解：（1）∵邊BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α角得到線段BP， ∴BA=BP， ∵α=60°，∴△ABP是等邊三角形， ∴∠BAP=60°，AP=AC， 又∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=30°，∠ACP=75°

31、， ∵PD⊥AC于點D， ∴∠DPC=15°； （2）如圖2，結(jié)論：∠DPC=75°， 證明：過點A作AE⊥BP于E， ∵∠1=30°，∠BAE=60°， ∴∠2=15°，又∠3=90°﹣75°=15°， ∴∠APD=75°， ∴AE=AD，又AE=AB=AC， ∴AD=AC=DC， ∴∠DPC=∠APD=75°； （3）如圖3，過點A作AE⊥BP于E． ∴∠AEB=90°， ∵∠ABP=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°

32、， 又∵BA=BP， ∴∠2=∠3=15°， ∴∠PAE=75°， ∵∠BAC=90°， ∴∠4=75°， ∴∠PAE=∠4 ∵PD⊥AC于點D， ∴∠AEP=∠ADP=90°， 在△APE和△APD中， ， ∴△APE≌△APD， ∴AE=AD， 在Rt△ABE中，∠1=30°， ∴AE=AB， 又∵AB=AC， ∴AE=ADAB=AC， ∴AD=CD， 又∵∠ADP=∠CDP=90°， ∴∠DCP=∠4=75°， ∴∠DPC=15°． 【點評】本題考查

33、的是幾何變換即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并正確找出對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意三角形確定的判定定理和性質(zhì)定理的靈活運用以及直角三角形的性質(zhì)的運用． 　 5．（2016?西峽縣一模）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊AD上的一點，過點D作DE∥AC交AC于E，則線段BD與CE有何數(shù)量關(guān)系？ 拓展探究：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°），上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明． 問題解決：如果△ABC的邊長等于2，AD=2，直接寫出當△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時BD的長． 【分析】（1）如圖1

34、，由平行線分線段成比例定理可得：BD=CE； （2）如圖2，證明△BAD≌△CAE，得BD=CE； （3）分兩種情況：①如圖3，在直角三角形中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DG=1，由勾股定理求出AG=，得出BG，從而計算出BD的長． ②如圖4，求EF的長和CF的長，根據(jù)勾股定理在Rt△EFC中求EC的長，所以BD=EC=2． 【解答】解：（1）如圖1，BD=CE，理由是： ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC， ∵DE∥BC， ∴， ∴BD=CE； （2）結(jié)論仍然成立，如圖2， 由圖1得，△ADE是等邊三角形， ∴AD=AE， 由旋轉(zhuǎn)得：∠

35、BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE； （3）當△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時，有兩種情況： ①如圖3，∵△ADE是等邊三角形，AF⊥DE， ∴∠DAF=∠EAF=30°， ∴∠BAD=30°， 過D作DG⊥AB，垂足為G， ∵AD=2， ∴DG=1，AG=， ∵AB=2， ∴BG=AB﹣AG=2﹣=， ∴BD===2． ②如圖4，同理得：△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∵△ADE是等邊三角形， ∴∠ADE=60°， ∵AD=AE，DE⊥AC， ∴∠EAF=∠FAD=30°， ∴E

36、F=FD=AD=1， ∴AF=， ∴CF=AC+CF=2+=3， 在Rt△EFC中，EC====4， ∴BD=EC=2， 綜上所述，BD的長為2和2． 【點評】本題是幾何變換的綜合題，考查了等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定；在幾何證明中，如果出現(xiàn)等邊三角形，它所得出的結(jié)論比較多，要準確把握需要利用哪些結(jié)論進行證明；此類題的解題思路為：證明兩個三角形全等或利用勾股定理求邊長；如果有平行的關(guān)系，可以考慮利用平行相似來證明． 　 6．（2016?邢臺二模）如圖1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC內(nèi)部作∠MAN=45°．AM、AN分

37、別交BC于點M，N． 【操作】 （1）將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB邊與AC邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點M的對應(yīng)點記作點Q，得到ACQ，請在圖1中畫出△ACQ；（不寫出畫法） 【探究】 （2）在（1）中作圖的基礎(chǔ)上，連接NQ， ①求證“MN=NQ”； ②寫出線段BM，MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由． 【拓展】 如圖2，在等腰△DEF中，∠EDF=45°，DE=DF，點P是EF邊上任意一點（不與E，F(xiàn)重合），連接DP，以DP為腰向兩側(cè)分別作頂角均為45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分別交DE，DF于點K，L，連接GH，分別交DE，DF

38、于點S，T． （3）線段GS，ST和TH之間滿足的數(shù)量關(guān)系是　ST2=GS2+TH2??； （4）設(shè)DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示） 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進行作圖即可；（2）先根據(jù)SAS判定△MAN≌△QAN，進而得出結(jié)論，再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據(jù)Rt△NCQ中的勾股定理得出結(jié)論；（3）運用②中的方法即可得出類似的加侖；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出比例式進行求解． 【解答】解：（1）如圖，△ACQ即為所求； （2）①證明：由旋轉(zhuǎn)可得，△ABM≌△ACQ ∴AM=AQ，

39、∠BAM=∠CAQ ∵∠MAN=45°，∠BAC=90° ∴∠BAM+∠NAC=45° ∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45° 在△MAN和△QAN中 ∴△MAN≌△QAN（SAS） ∴MN=NQ ②MN2=BM2+NC2 由①中可知，MN=NQ，MB=CQ 又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90° 在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2 （3）ST2=GS2+TH2 （4）如圖，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠

40、GDP=45° ∴∠DPK=∠DEP 又∵∠PDK=∠EDP ∴△DPK∽△DEP ∴，即DP2=DK?DE ∵DK=a，DE=b ∴DP= 【點評】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形以及相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換思想方法在解決問題過程中的應(yīng)用．解題時注意：①旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。葱D(zhuǎn)前后的兩個圖形全等），②任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都是旋轉(zhuǎn)角），③經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． 　 7．（2016?山西模擬）綜合與實踐： 問題情景：已知等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，點M，N分

41、別是DB，EC的中點，連接MN． 問題： （1）如圖1，當點E在AB上，且點C和點D恰好重合時，探索MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； （2）如圖2，當點D在AB上，點E在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由． 拓展探究： （3）如圖3，將圖2中的等腰Rt△AED繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90），請猜想MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（不必證明） 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出得出MN與EC的數(shù)量關(guān)系； （2）先連接EM并延長至點F，使MF=EM，判定△EDM≌△FBM，進而運用SAS

42、判定△EAC≌△FBC，即可得出FC=EC，再利用三角形中位線定理，得出MN與FC的數(shù)量關(guān)系，進而得出結(jié)論； （3）先延長DN到G，使DN=GN，連接CG，延長DE、CA交于點K，再通過判定△EDN≌△CGN和△CAE≌△BCG，進而得出結(jié)論． 【解答】解：（1）MN與EC的數(shù)量關(guān)系為MN=EC， 證明：∵點M，N分別是DB，EC的中點， ∴MN=EB， ∵等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°， ∴∠B=∠ACE=45°， ∴∠BCE=90°﹣45°=45°， ∴BE=CE， ∴MN=EC； （2）成立 證明：

43、如圖2，連接EM并延長至點F，使MF=EM，連接CF，BF， 在△EDM和△FBM中， ， ∴△EDM≌△FBM（SAS）， ∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM， ∵△AED為等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC， ∴∠FBM=∠EDM=135°， ∴∠FBC=∠EAC=90°， 在△EAC和△FBC中， ， ∴△EAC≌△FBC（SAS）， ∴FC=EC， 又∵點M，N分別是EF

44、，EC的中點， ∴MN=FC， ∴MN=EC； （3）MN與EC的位置關(guān)系為：MN⊥EC，數(shù)量關(guān)系為：MN=EC． 【點評】本題主要考查了幾何變換變換中的旋轉(zhuǎn)變換，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)．解決此類試題時，需要靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)，并且需要經(jīng)過中點作輔助線構(gòu)造全等三角形． 【特別提醒】1、作圖的基本作法以點（特殊點）定線，就是先做出特殊點的對應(yīng)點，再順次連接特殊點，同時掌握好三種基本變換的共性特征（形狀和大小不變）及個性特征。 2、求平移圖形中的坐標時，易忽視平移方向；旋轉(zhuǎn)作圖時易忽視旋轉(zhuǎn)的方向，如果沒有特別說明，要分類討論。 3、折疊的本質(zhì)特征：折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對稱。解決這類問題的關(guān)鍵首先要把握折疊的變換規(guī)律，弄清折疊前后哪些量變了，哪些量沒有變，又有哪些條件可利用；其次要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知識，將其中的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達出來，由此解決問題。