高考數學 備考沖刺之易錯點點睛系列專題 導數及應用學生版

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1、 導數及應用 一、高考預測 從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導數在研究函數的單調性和極值中的應用、導數在研究方程和不等式中的應用，考查的形式是解答題考查導數在研究函數問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設計一些新穎的試題，大部分函數和導數的基礎試題難度也不大，但少數函數的基礎試題難度較大，解答題中的函數導數試題也具有一定的難度． 由于該專題的絕大多數內容(除定積分)都是傳統(tǒng)的高中數學內容，在考查上已經基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預計20xx年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導數的幾何意義的應用，定積分的計算及其簡單應用．

2、以解答題的方式考查導數在函數問題中的綜合應用，重點是使用導數的方法研究函數的單調性和極值以及能夠轉化為研究函數的單調性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數建模和利用導數解模． 導數及其應用：要掌握好導數的幾何意義、導數的運算、導數和函數的單調性與極值的關系，由于函數的極值和最值的解決是以函數的單調性為前提的，因此要重點解決導數在研究函數單調性中的應用，特別是含有字母參數的函數的單調性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉化為函數的單調性、極值、最值進行研究性訓練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點． 二、知識導學 要點

3、1：利用導數研究曲線的切線 1．導數的幾何意義：函數在處的導數的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數對時間的導數）。 2．求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數在點的導數，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：①當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。 要點2：利用導數研究導數的單調性 利用導數研究函數單調性的一般步驟。（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）①若求單調區(qū)間（或證明單調性），只需在函數的定義域內解（或證明）不等式＞0或

4、＜0。②若已知的單調性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調區(qū)間上恒成立問題求解。 要點3：利用導數研究函數的極值與最值 1.在求可導函數的極值時，應注意：（以下將導函數取值為0的點稱為函數的駐點可導函數的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數。例如函數在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導函數的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數的導數，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導函數的極值時，常常把駐點附近的函數值的討論情況列成表格，這樣可使函數在各單調區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值

5、和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數在定義域內可導（其實只要是初等函數，它在自己的定義域內必然可導），并且按常理分析，此函數在這一開區(qū)間內應該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數求導，發(fā)現(xiàn)定義域內只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數值就是最大（小）值。知道這一點是非常重要的，因為它在應用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數在端點處的值，以及同函數在極值點處的值進行比較等步驟. 2.極大（?。┲蹬c最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系

6、 極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（小）值，但三、易錯點點睛 命題角度 1導數的概念與運算 1．設，,…, ,n∈N,則 ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考場錯解] 選C [專家把脈] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期為4。 [對癥下藥] 選A 2．已知函數在x=1處的導數為3，的解析式可能為 （ ） A．=(x-1)3+32(

7、x-1) B．=2x+1 C．=2(x-1)2 D．=-x+3 =2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，…）從而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n=-e. ∴數列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數列。 [專家把脈] 上面解答求導過程中出現(xiàn)了錯誤，即（e-x）’=e-x是錯誤的，由復合函數的求導法則知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。 [對診下藥]（1）證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-si

8、nx+cos) =-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)， f(xn)=(-1)ne-nπ,所以數列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比數列，且首項f(x1)=-e-π (2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1) aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)從而Sn=(-nqn) ∵|q|=e-π<1 ∴qn=0,∴ 專家會診1．理解導數的概念時應注意導數定義的另一種形式：設函數f(x)在x=a處可導，則的運用。2．復合函

9、數的求導，關鍵是搞清復合關系，求導應從外層到內層進行，注意不要遺漏3．求導數時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數求導，先看是否化為整式函數或較簡單的分式函數；對數函數求導先化為和或差形式；多項式的積的求導，先展開再求導等等。 命題角度 2導數幾何意義的運用 1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________. [考場錯解] 填2 由曲線y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=22=2。 [專家把脈] 根據導數的幾何意義，曲線在某點處的切線

10、斜率等于函數在這點處的導數，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。 [對癥下藥] 填。∵=3x2 當x=1時f’(1)=3.由導數的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）?！嗳龡l直線所圍成的面積為S=4（2-）=。 2．設t≠0,點P（t,0）是函數=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調遞減，求t的取值范圍。 [考場錯解

11、] （1）∵函數=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又兩函數的圖像在點P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3. [專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結論應是f(t)=0，即t3+at=0，因為t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，

12、所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3 (2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 當y’=(3x+t)(x-t)<0時,函數y=f(d)-g(x)單調遞減。 由y’<0,若t<0,則t0,則-

13、-1，3）上單調遞增，所以t的取值范圍（-∞，-9）∪（3，+∞） 解法2 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y’=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t). ∵函數y=-g(x)在（-1，3）上單調遞減，且y’=(3x+t)(x-t)≤0在(-1,3)上恒成立， ∴解得 t≤-9或t≥3. 又∵x∈(-∞,-1) ∪(1,+∞)f’(x)>0∴f(x)在(-∞,-1)與(1，+∞)上是增函數。 若x∈[-1,1]時，f’(x) ≤0,故f9x)在[-1，1]上是減函數。 ∴f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。 （2）解：曲線方程為y==x3-3x,點A

14、（0，16）不在曲線上。設切點M（x0,y0）,則點M在曲線上， ∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). ∵點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，得x0=-2. 專家會診 設函數y=f(x),在點(x0,y0)處的導數為f’(x0)，則過此點的切線的斜率為f’(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導數的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉化為代數問題求解。 命題角度 3導數的應用 1．（典型例題）已知函數=-x3+3x2+9x

15、+a.(1)求的單調遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。 [考場錯解]（1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,∴函數的音調遞減區(qū)間為（-∞，-1）（3，+∞） （2）令=0,得x=-1或x=3當-20;當x>3時，<0. ∴x=-1,是的極不值點，x=3是極大值點?！鄁(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7.的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14. [專家把脈] 在閉區(qū)間上求函數的最大值和最小值，應把極值點的函數值與兩端點的函數值進行比較大小才能產生最大（小）值點，而上

16、面解答題直接用極大（小）值替代最大（?。┲?，這顯然是錯誤的。 [對癥下藥] （1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3. (2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以在[-1，2]因為在（-1，3）上>0,所以在[-1，2]上單調遞增，又由于在[-2，-1]上單調遞減，因此f(2)和f(-1)分別是在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7 即函數在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7。 2．已知函數=ax3+3x2-x+1在R

17、上是減函數，求a的取值范圍。 [考場錯解] ∵=3ax2+6x-1,因為在R上是減函數，所以=3ax2+6x-1<0對任何x∈R恒成立。∴ 解得a<-3. [專家把脈] 當>0時，是減函數，但反之并不盡然，如=-x3是減函數，=3x2并不恒小于0，（x=0時=0）.因此本題應該有在R上恒小于或等于0。 [對癥下藥] 函數的導數：=3x2+6x-1. 當=3ax2+6x-1<0對任何x∈R恒成立時，在R上是減函數。 ①對任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且△=36+12a<0a<-3. 所以當a<-3時，由<0對任何x∈R恒成立時，在R上是減函數。 ②當a=-3時

18、, =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+. 由函數y=x3在R上的單調性知，當a=-3時，在R上是減函數。 ③當a>-3時，=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當a>-3時，是在R上的減函數。綜上，所求a的取值范圍是（-∞，-3）。 3．已知a∈R,討論函數=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數。 (1)當△=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設x1

19、x1,x2) x2 (x2,+ ∞) F’(x) + 0 - 0 + F(x) f(x1)有極大值 f（x2）有極小值 即此時f(x)有兩個極值點。 （2）當△=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2 于是f’(x)=ex(x1-x1)2.故當x0;當x>x1時，f’(x)>0因此f(x)無極值。 （3）當△<0，即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)為增函數，此時f(x)無極值點，因此，當a>

20、4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當0≤a≤4時，f(x)無極值點。 4．設函數=x-ln(x+m)其中常數m為整數。（1）當m為何值時，≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數m>1時，方程=0，在[e-m-m,e2m-m]內有兩個實根。 [考場錯解] 令≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整數。 [專家把脈] 上面解答對題意理解錯誤，原題“當m為何值時，≥0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，m≤ex-x這個結果顯然是錯誤的。 [對癥

21、下藥] （1）函數=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)連續(xù)，且f’(x)=1-,令f’(x)=0,得x=1-m.當-m1-m時，>0, 為增函數。 根據函數極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x∈(-m,+ ∞)都有≥f(1-m)=1-m，故當1-m=f()≥0,即m≤1時，≥0.即m≤1且m∈Z時，≥0. (2)證明：由（1）可知，當整數m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又為連續(xù)函數，且當m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1

22、∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(∵m>12m-1>1). 類似地，當整數m>1時，=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上為連續(xù)增函數，且f(1-m)與f(e2m-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x+∈（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故當整數m>1時，方程=0在[e-m-m,e2m-m]內有兩個實根。 5．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉90角，再焊接而成（如圖，）問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大

23、容積是多少？ [考場錯解] 設容器的高為x,容器的容積為V，則V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x ∵V’=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36 又∵x<10時，V’<0,100,x>36時, V’<0∴當x=36時，V有極大值V（36）<0故V沒有最大值。 [專家把脈] 上面解答有兩處錯誤：一是沒有注明原函數定義域；二是驗算f’(x)的符號時，計算錯誤，∵x<10,V’>0;1036,V’>0. [對癥下藥] 設容器的高為x，容器的容積為V。則V=（90-2x）（48-2x）x =

24、4x3-276x2+4320x (00,1036時V’>0.所以，當x=10時V有最大值V（10）=1960cm3 又V(0)=0,V(24)=0所以當x=10時,V有最大值V（10）=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3. 專家會診1．證函數在（a,b）上單調，可以用函數的單調性定義，也可用導數來證明，前者較繁，后者較易，要注意若在（a、b）內個別點上滿足=0(或不存在但連續(xù))其余

25、點滿足>0(或<0)函數仍然在（a、b）內單調遞增（或遞減），即導數為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。 2．函數的極值是在局部對函數值的比較，函數在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，=0是可導數f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數（不一定處處可導）時可以是不必要條件。 時取得極值？說明理由；（Ⅱ）若，當時，與的圖象恰好有兩個公共點，求的取值范圍. 3、已知函數的圖象經過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直。(Ⅰ)求實數的值；（Ⅱ）若函數在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍。 4、已知函數(Ⅰ) 若曲線在點處的切線方程為,求函

26、數解析式;(Ⅱ) 求函數的單調區(qū)間;(Ⅲ) 若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍. 5、若定義在上的函數同時滿足以下條件：① 在上是減函數，在上是增函數； ② 是偶函數；③ 在處的切線與直線垂直. （Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）設，若存在，使，求實數的取值范圍 6、設函數(Ⅰ) 當時，求函數的極值； （Ⅱ）當時，討論函數的單調性.（Ⅲ）若對任意及任意，恒有 成立，求實數的取值范圍. 7、已知函數.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實數，使得函數的極大值等于？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 8、已知函數（是自然對數的底數）（Ⅰ）若對于任意恒成立，試確定實

27、數的取值范圍；(Ⅱ)當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由. 9、已知函數在點，）處的切線的斜率為。（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)若時，恒成立，求整數的最大值。 10、已知函數.（Ⅰ）當時，求函數在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）若存在，使，求的取值范圍. 11、函數(x)=x2―x―lnx. （Ⅰ）求函數(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實數m,n，同時滿足下列條件①1≤m

28、數（I）若函數f（x）在x=1處與直線y=相切， ①求實數a，b的值； ②求函數f（x）在[土，e]上的最大值．（II）當b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的都成立，求實數m的取值范圍， 13、已知函數（Ⅰ）求函數的極值點；（Ⅱ）若直線過點且若恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）求證： . 16、已知函數.（Ⅰ）分別求函數和的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）證明不等式；（Ⅲ）對一個實數集合,若存在實數,使得中任何數都不超過,則稱是的一個上界.已知是無窮數列所有項組成的集合的上界（其中是自然對數的底數）,求實數的最大值. 17、 已知函數.（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）對于任意正實數，不等式 恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）求證:當時，對于任意正實數，不等式恒成立. 20、已知函數的圖象在處的切線與直線平行．（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若方程在上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；（Ⅲ）設常數 ，數列滿足（），．求證：．