新編高中數(shù)學 2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)練習 北師大版選修11

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1、 新編數(shù)學北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學 2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)練習 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長，短軸長，離心率依次為(　　) A．5,3，　　　　　 B．10,6， C．5,3， D．10,6， [答案]　B [解析]　橢圓25x2＋9y2＝225化為標準方程為＋＝1，∴a2＝25，b2＝9， ∴長軸長2a＝10，短軸長2b＝6， 離心率e＝＝，故選B. 2．橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由題意得a＝2c，∴離心率

2、e＝＝. 3．橢圓2x2＋3y2＝6的焦距是(　　) A．2 B．2(－) C．2 D．2(＋) [答案]　A [解析]　橢圓方程可化為＋＝1， ∴c2＝a2－b2＝1.∴c＝1. ∴焦距2c＝2. 4．若橢圓＋＝1的離心率e＝，則m的值是(　　) A．3 B．3或 C. D．或 [答案]　B [解析]　若5>m，e＝＝，m＝3. 若m>5，e＝＝，m＝. 5．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　由2a＝18得a＝9

3、， 又a－c＝2c， ∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝81－9＝72. 故橢圓的方程為＋＝1. 6．橢圓＋＝1與＋＝1(0<k<9)的關系為(　　) A．有相等的長、短軸 B．有相等的焦距 C．有相同的焦點 D．x，y有相同的取值范圍 [答案]　B [解析]　∵0<k<9，∴0<9－k<9,16<25－k<25， ∴25－k－9＋k＝16， 故兩橢圓有相等的焦距． 二、填空題 7．(2015·四川)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率是，點P(0,1)在短軸CD上，且·＝－1，則橢圓E的方程為

4、________． [答案]　＋＝1 [解析]　由已知，點C、D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)． 又P點的坐標為(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝， 所以橢圓E方程為＋＝1. 8．若橢圓兩焦點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，P在橢圓上，且△PF1F2的最大面積是12，則橢圓方程為________． [答案]　＋＝1 [解析]　∵焦點為(－4,0)，∴c＝4，且焦點在x軸上又最大面積為bc＝12，∴b＝3，∴a2＝16＋9＝25， ∴橢圓方程為＋＝1. 三、解答題 9．求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)短軸長為6，兩個焦點間的距離為8；

5、 (2)兩個頂點分別是(－7,0)，(7,0)，橢圓過點A(1,1)； (3)兩焦點間的距離為8，兩個頂點分別是(－6,0)，(6,0)． [答案]　(1)＋＝1或＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1 [解析]　(1)由題意得b＝3，c＝4， ∴a2＝b2＋c2＝9＋16＝25 ∵焦點位置不定，所以存在兩種情況． ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. (2)當焦點在x軸上時， ∵兩個頂點為(－7,0)，(7,0)，∴a＝7. ∴方程可設為＋＝1，又過點(1,1)， 代入可得b2＝，∴橢圓方程為＋＝1. 當焦點在y軸上時，∵兩個頂點為(－7,0)，(7,0)， ∴b＝7.

6、 ∴橢圓方程可設為＋＝1，又過點(1,1)，代入可得 a2＝，這與a2>b2矛盾，∴不符合題意． 綜上可知，橢圓方程為＋＝1. (3)∵2c＝8，∴c＝4，當焦點在x軸上時，因為橢圓頂點為(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－16＝20， ∴橢圓方程為＋＝1. 當焦點在y軸上時，因為頂點為(6,0)，∴b＝6. ∴a2＝36＋16＝52，∴橢圓方程為＋＝1. ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 10．當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144.(1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點． [答案]　(1)±5　(2)－5<

7、m<5　(3)m<－5或m>5 [解析]　由消去y得， 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化簡整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400. (1)當Δ＝0時，得m＝±5，直線l與橢圓有且僅有一個公共點． (2)當Δ>0時，得－5<m<5，直線l與橢圓有兩個公共點． (3)當Δ<0時，得m<－5或m>5，直線l與橢圓無公共點. 一、選擇題 1．橢圓的焦點在x軸上，長、短半軸之和為10，焦距為4，則橢圓的標準

8、方程為(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　由題意得c＝2，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得a2＝36，b2＝16，故橢圓方程為＋＝1. 2．過橢圓＋＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為(　　) A．8,6　　　　　　　 B．4,3 C．2， D．4,2 [答案]　B [解析]　　橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是. ∴最長的弦為2a＝4，最短的弦為＝＝3， 故選B. 3．(2014·大綱全國理，6)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左

9、、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為＋＝1. 4．(2014·撫順二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　設|AB|＝x>0，則|BC|＝x， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝x2＋x2－

10、2x2·(－)＝x2，∴|AC|＝x， 由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c， ∴x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝＝＝＝. 二、填空題 5．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________． [答案]　(0，) [解析]　依題意得，c<b，即c2<b2， ∴c2<a2－c2,2c2<a2， 故離心率e＝<， 又0<e<1，∴0<e<. 6．如圖，把橢圓＋＝1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7，

11、七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝____________. [答案]　35 [解析]　根據(jù)對稱性|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F| ＝×7×2a＝×7×10＝35. 三、解答題 7．經(jīng)過點P(0,2)作直線l交橢圓C：＋y2＝1于A、B兩點，若△AOB的面積為，求直線l的方程． [解析]　如圖所示，直線l的斜率顯然存在，故可設l的方程為y＝kx＋2，代入橢圓方程并整理得： (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0. ① 由韋達定理有 x1＋x2＝，x1x2＝， ② 過O作OH⊥AB，則|OH

12、|＝. 又∵|AB|＝|x1－x2| ＝， ∴S△AOB＝|AB|·|OH|＝. ∵S△AOB＝， ∴＝， 即9[(x1＋x2)2－4x1x2]＝4. 將②式代入得9[()2－]＝4， 即4k4－32k2＋55＝0，∴k2＝或k2＝. 又①式的判別式Δ>0，得2k2－3>0，k2>. ∴k＝±，k＝±均滿足． 故直線l的方程為y＝±x＋2或y＝±x＋2. 8．設F1、F2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線

13、l的斜率k的取值范圍． [答案]?。?<k<－或<k<2 [解析]　顯然直線x＝0不滿足題設條件，可設直線l y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立消去y，整理得 (k2＋)x2＋4kx＋3＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3>0， 得k>或k<－. ① 又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0. ∴·＝x1x2＋y1y2>0. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＋＋4＝. ∴＋>0. 即k2<4.∴－2<k<2. `② 故由①②得－2<k<－或<k<2.