《2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修五達(dá)標(biāo)練習(xí):第2章 167;3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修五達(dá)標(biāo)練習(xí):第2章 167;3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 Word版含解析(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
[A 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析:選A.由正弦定理得=.又∠CBA=180-45-105=30,故AB===50 (m).
2.如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔的高度AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD=15,∠BDC=30,CD=30米,并在C測(cè)得塔頂A的仰角為60,則塔A
2、B的高度為( )
A.15米 B.15米
C.15(+1)米 D.15米
解析:選D.在△BCD中,由正弦定理得BC==15(米).在Rt△ABC中,AB=BCtan 60=15(米).故選D.
3.某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45方向且距離為10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船沿北偏東105方向,以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,艦艇時(shí)速為21海里,則艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為( )
A.20分鐘 B.40分鐘
C.60分鐘 D.80分鐘
解析:選B.如圖,設(shè)它們?cè)贒處相遇,用時(shí)為t小時(shí),則AD=21t,CD=9t,∠ACD=120,由余弦定理,得cos 120=,
3、解得t=(負(fù)值舍去),小時(shí)=40分種,即艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為40分鐘.
4.渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛,水流速度為4 km/h,則渡輪實(shí)際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)( )
A.14.5 km/h B.15.6 km/h
C.13.5 km/h D.11.3 km/h
解析:選C.由物理學(xué)知識(shí),
畫出示意圖,AB=15,
AD=4,∠BAD=120.
在?ABCD中,D=60,
在△ADC中,由余弦定理得
AC=
==
≈13.5.
5.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40,
4、燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東40 B.北偏西10
C.南偏東10 D.南偏西10
解析:選B.如圖所示,∠ECA=40,∠FCB=60,∠ACB=180-40-60=80,因?yàn)锳C=BC,所以∠A=∠ABC==50,所以∠ABG=180-∠CBH-∠CBA=180-120-50=10.故選B.
6.如圖所示為一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并測(cè)量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,則∠ACB=________.
解析:在△ABC中,由余弦定理得
cos∠ACB==-.
因?yàn)椤螦CB∈(0,π),所以∠ACB=.
5、
答案:
7.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是__________ m.
解析:設(shè)水柱的高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC= h,根據(jù)余弦定理,得(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50,故水柱的高度是50 m.
答案:50
8.一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲,然后
6、向右轉(zhuǎn)105,爬行10 cm捕捉到另一只小蟲,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn),那么x=________.
解析:如圖所示,設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn),先爬行到A點(diǎn),再爬行到B點(diǎn),易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75,∠ABO=45,
則∠AOB=60,由正弦定理知:
x===.
答案:
9.如圖,某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處,且與島嶼A相距120海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國(guó)際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90-α的方向勻速追趕國(guó)際海盜船,恰好用2小時(shí)追上.
(1)求該軍艦艇的速度.
(2)求sin α的
7、值.
解:(1)依題意知,∠CAB=120,AB=1002=200,
AC=120,∠ACB=α,
在△ABC中, 由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠CAB
=2002+1202-2200120cos 120
=78 400,解得BC=280.
所以該軍艦艇的速度為=140海里/小時(shí).
(2)在△ABC中,由正弦定理,
得=,即
sin α===.
10.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45方向,此人向北偏西75方向前進(jìn) km到達(dá)D處,看到A在他的北偏東45方向,B在北偏東75方向,試求這兩座建筑物之間的距離.
解:依
8、題意得,CD= km,∠ADB=∠BCD=30=∠BDC,∠DBC=120,∠ADC=60,
∠DAC=45.在△BDC中,
由正弦定理得
BC===(km).
在△ADC中,由正弦定理得
AC==
=3(km).
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB
=(3)2+()2-23cos 45=25.
所以AB=5(km),
即這兩座建筑物之間的距離為5 km.
[B 能力提升]
11.如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC,小李在山腳B處看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ABC=120,從B處攀登400米后到達(dá)D處,再
9、看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC=150,從D處再攀登800米方到達(dá)C處,則索道AC的長(zhǎng)為______米.
解析:在△ABD中,BD=400,∠ABD=120,
因?yàn)椤螦DB=180-∠ADC=30,所以∠DAB=30,所以AB=BD=400,AD=
=400.在△ADC中,DC=800,∠ADC=150,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos∠ADC=(400)2+8002-2400800cos 150=400213,所以AC=400,故索道AC的長(zhǎng)為400米.
答案:400
12.如圖,在山底測(cè)得山頂仰角∠CAB=45,沿傾斜角為30的斜坡走1 000 m至S點(diǎn),又測(cè)得山頂仰角
10、∠DSB=75,則山高BC為______m.
解析:如圖,∠SAB=45-30=15,
又∠SBD=15,
所以∠ABS=30.
AS=1 000,由正弦定理知=,所以BS=2 000sin 15.
所以BD=BSsin 75
=2 000sin 15cos 15=1 000sin 30=500,
且DC=ST=1 000sin 30=500,
從而BC=DC+DB=1 000 m.
答案:1 000
13.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度,如圖,在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射,觀測(cè)點(diǎn)A,B兩地相距100 m,∠BAC=60,在A地聽到
11、彈射聲音的時(shí)間比B地晚 s.A地測(cè)得該儀器在C處時(shí)的俯角為15,A地測(cè)得該儀器在最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30,求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s)
解:由題意,設(shè)AC=x m,
則BC=x-340=x-40 (m).
在△ABC中,由余弦定理得
BC2=BA2+CA2-2BACAcos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.
在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30+15=45,∠CHA=90-30=60.
由正弦定理得=,
所以CH=AC=140(m).
故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m.
14.
12、(選做題)如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后,在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60.
(1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了幾分鐘;
(2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號(hào),不求近似值).
解:(1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30,∠DBC=180-45=135,CD=6 000=100 (m),
∠BDC=45-30=15,由正弦定理得
=,
所以BC===
==50(-1)(m),
在Rt△ABE中,tan α=,因?yàn)锳B為定長(zhǎng),
所以當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí),α取最大值60,這時(shí)BE⊥CD,當(dāng)BE⊥CD時(shí),在Rt△BEC中,EC=BCcos∠BCE=50(-1)=25(3-)(m),
設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時(shí),走了t分鐘,則t=60=60=(分鐘).
(2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60時(shí),BE⊥CD,
在Rt△BEC中,BE=BCsin∠BCD,
所以AB=BEtan 60=BCsin ∠BCDtan 60
=50(-1)=25(3-)(m),
即所求塔高為25(3-) m.