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北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第4章 1定積分的概念課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．一輛汽車作變速直線運(yùn)動，汽車的速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)之間具有如下函數(shù)關(guān)系：v(t)＝＋6t.求汽車在0≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s時(shí)，將行駛時(shí)間等分成n段，下列關(guān)于n的取值中，所得估計(jì)值最精確的是( )
A．5 B．10
C．20 D．50
[答案] D
[解析] 將行駛時(shí)間等分得越細(xì)，得到的估計(jì)值越精確，故選D.
2．已知曲線y＝f(x)在x軸下方，則由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所圍
2、成的曲線梯形的面積S可表示為( )
A．f(x)dx B．f(x)dx
C．－f(x)dx D．－f(x)dx
[答案] C
[解析] 因?yàn)閒(x)位于x軸下方，故f(x)<0，
∴f(x)dx<0，故上述曲邊梯形的面積為－f(x)dx.
3．設(shè)f(x)＝x2＋x6，則與 f(x)dx的值一定相等的是( )
A．0 B．2 f(x)dx
C． f(x)dx D． f(x)dx
[答案] B
[解析] f(x)為偶函數(shù)，故它在[－a,0]上和[0，a]上的圖像關(guān)于y軸對稱，由定積分的幾何意義可知 f(x)dx＝ f(x)dx.
4.xdx表示平面區(qū)域
3、的面積，則該平面區(qū)域用陰影表示為( )
[答案] B
[解析] 由定積分的幾何意義可得．
5．(2014·黃岡檢測)如圖所示，圖中曲線方程為y＝x2－1，用定積分表達(dá)圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是( )
A．|(x2－1)dx|
B.(x2－1)dx
C．|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
[答案] C
[解析] 面積S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx，故選C．
二、填空題
6．利用定積分的幾何意義在dx＝________.
[答案] π
[解析] 被積函數(shù)y＝表示的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓
4、的上半圓周，積分區(qū)間[0,3]由定積分的幾何意義可知此積分計(jì)算的是圓的面積．
所以有dx＝＝π.
7．根據(jù)定積分的幾何意義寫出下列定積分．
(1) xdx＝________；(2)∫cosxdx＝________.
[答案] (1)0 (2)0
[解析] (1)如答圖①所示，xdx＝－S＋S＝0.
(2)如答圖②所示，∫cosxdx＝S1－S2＋S3＝0.
8．若a＝xdx，b＝sinxdx，c＝tanxdx，則三者之間的大小關(guān)系為________．
[答案] b<a<c
[解析] x∈(0，)時(shí)，sinx<x<tanx，所以b<a<c
5、.
三、解答題
9．用圖像表示下列定積分：
(1)log2xdx； (2)xdx.
[解析] (1)log2xdx表示曲線y＝log2x，直線x＝1，x＝2及x軸圍成的曲邊梯形的面積，如圖中陰景部分所示．
(2)xdx表示直線y＝x，x＝2，x＝6及x軸圍成的直角梯形的面積，如圖中陰影部分所示.
一、選擇題
1．已知f(x)dx＝4，則( )
A．2f(x)dx＝1 B．f(x)dx＋f(x)dx＝4
C．f(x)dx＝1 D．f(x)dx＝1
[答案] B
[解析] 利用定積分的性質(zhì)解決．
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝4.
2．一物體沿直
6、線運(yùn)動，其速度v(t)＝2t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間所走的路程為( )
A． B．
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 所走的路程為2tdt，由定積分的幾何意義作圖求得2tdt＝1.
3．由曲線y＝ex和x＝0，y＝2圍成圖形的面積S表示為( )
A．∫exdx B．2ln2－∫exdx
C．∫(2＋ex)dx D．以上都不對
[答案] B
[解析] 如圖所示，可先求得由x軸，x＝0，x＝ln2和y＝ex圍成的曲邊梯形的面積Ⅰ即為∫exdx，再由矩形面積2ln2減去該曲邊梯形面積可得所求面積S.
4．某汽車作變速直線運(yùn)動，在時(shí)刻t(單位
7、：h)時(shí)的速度為v(t)＝t2＋2t(單位：km/h)，那么它在3≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)可表示為( )
A．(t2＋2t)dt B．1dt
C．t3＋2t2 D．(t2＋2t)dt
[答案] A
[分析]
物體在某段時(shí)間內(nèi)行駛的路程可以用積分表示，其中被積函數(shù)是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)．
[解析] 如圖所示，陰影部分的面積表示汽車在3≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s，則s＝v(t)dt＝(t2＋2t)dt.故選A．
[點(diǎn)評] 實(shí)際生活中許多問題都可以用定積分來解決．若質(zhì)點(diǎn)的速度為v(t)，則它在a≤t≤b這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s＝v(t)dt.
二、填空
8、題
5．由定積分的幾何意義，則－adx的值(a>0)為________．
[答案] a2
[分析] 利用定積分的幾何意義：當(dāng)曲邊梯形在x軸上方時(shí)，定積分的值取正，為曲邊梯形面積．
[解析] 此定積分的值可看成曲線y＝，x＝a，x＝－a，y＝0圍成的曲邊梯形的面積．
∵y＝≥0，即x2＋y2＝a2(y≥0)表示圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓在x軸上方的半圓．
∴ dx＝a2.
[點(diǎn)評] 弄清定積分表示什么圖形，并求相應(yīng)圖形的面積，即為所求定積分．
6．利用求定積分定義求x2dx的值為________．
[答案] 3
[解析] 將區(qū)間[－1,2]n等分，得每個(gè)小區(qū)間的長度h＝，
9、取ξi＝－1＋ih(i＝0,1,2，…，n－1)，作和Sn＝(－1＋ih)2h＝nh－2h2＋h32，于是Sn＝3，
即x2dx＝3.
[點(diǎn)評] 利用定義求定積分時(shí)要注意將[－1,2]n等分，利用極限求定積分的值．
三、解答題
7．求定積分2dx的大小．
[解析] 由幾何意義知，2dx表示由直線y＝2，x＝－2，x＝2，y＝0所圍成的矩形ABCD的面積．
如圖所示．
則2dx＝4×2＝8.
8．利用定積分的幾何意義比較下列各對積分值的大?。?
(1)x2dx與dx；
(2)10xdx與5xdx.
[解析] (1)因?yàn)樵?0,1)上x2<，
所以x2dx<dx.
(2)因?yàn)樵?0,1)上10x>5x，
所以10xdx>5xdx.
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