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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料
[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]
1.甲在乙的南偏東3610′,則乙在甲的( )
A.北偏西3610′ B.北偏東5350′
C.北偏西5350′ D.南偏西5350′
答案:A
2.在相距2千米的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75,∠CBA=60,則A、C兩點(diǎn)之間的距離是( )
A. B.
C.2 D.
解析:選B.如圖,由題意,知C=45,由正弦定理,得=,
∴AC==.
3.在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30和60,則塔高為( )
A.m B.m
C.m D.m
解析:
2、選C.如圖,在△ABC中,BC=ABtan∠BAC=200tan 30=(m),AE=BC,則DE=AEtan 30==(m),所以塔高CD=200-=(m).
4.渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛,水流速度為4 km/h,則渡輪實(shí)際航行的速度為(精確到0.1 km/h)( )
A.14.5 km/h B.15.6 km/h
C.13.5 km/h D.11.3 km/h
解析:選C.由物理學(xué)知識(shí),
畫(huà)出示意圖,AB=15 km/h,
AD=4 km/h,
∠BAD=120.
在?ABCD中,D=60,
在△ADC中,由余弦定理
3、
AC=
==
≈13.5(km/h)
5.在船A上測(cè)得它的南偏東30的海面上有一燈塔,船以每小時(shí)30海里的速度向東南方向航行半個(gè)小時(shí)后,于B處看得燈塔在船的正西方向,則這時(shí)船和燈塔相距(sin 15=)( )
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
解析:選B.如圖所示,設(shè)燈塔為C,由題意可知,在△ABC中,∠BAC=15,∠B=45,∠C=120,AB=300.5=15(海里),所以由正弦定理,得=,可求得BC=sin 15==(海里).
6.海上的A、B兩個(gè)小島相距10 km,從A島望C島和B島成60的視角,從B島望C島和A島成75的視角,那么B島和C島間的
4、距離是________km.
解析:如圖所示,則C=180-(60+75)=45.
在△ABC中,
由正弦定理=,得
BC===5(km).
答案:5
7.如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,則塔高AB=________.
解析:在△BCD中,∠CBD=π-α-β.
由正弦定理得=,
所以BC==.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
答案:
8.某海島周?chē)?8海里有暗礁,一輪船由西向東航行,初測(cè)此島在北偏東60方向,航行30海里后測(cè)
5、得此島在東北方向,若不改變航向,則此船________觸礁的危險(xiǎn)(填“有”或“無(wú)”).
解析:由題意在△ABC中,AB=30海里,∠BAC=30,
∠ABC=135,∴∠ACB=15,
由正弦定理,得BC=sin∠BAC=sin 30==15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.∴無(wú)觸礁的危險(xiǎn).
答案:無(wú)
9.如圖,在地面上有一旗桿OP,為測(cè)得它的高度h,在地面上取一基線AB,AB=20 m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30,在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP=45,又測(cè)得∠AOB=60,求旗桿的高度h(精確到0.1 m).
解:在Rt△PAO中,AO=
6、=h.
在Rt△PBO中,BO==h.
又在△ABO中,由余弦定理,得
202=(h)2+h2-2hhcos 60,
由上式解得h=≈13.3(m).
10.如圖,貨輪在海上以50海里每小時(shí)的速度沿方位角(從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為155的方向航行.為了確定船位,在B點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔A的方位角為125.半小時(shí)后,貨輪到達(dá)C點(diǎn)處,觀測(cè)到燈塔A的方位角為80.求此時(shí)貨輪與燈塔之間的距離(得數(shù)保留最簡(jiǎn)根號(hào)).
解:在△ABC中,
∠ABC=155-125=30,
∠BCA=180-155+80=105,
∠BAC=180-30-105=45,
BC=50=2
7、5,
由正弦定理,得=,
∴AC==(海里).
即此時(shí)貨輪與燈塔間的距離為海里.
[高考水平訓(xùn)練]
1.要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn),在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45、30,在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120,甲、乙兩地相距500米,則電視塔在這次測(cè)量中的高度是( )
A.100 米 B.400米
C.200米 D.500米
解析:
選D.由題意畫(huà)出示意圖,設(shè)塔高AB=h,在Rt△ABC中,由已知BC=h.在Rt△ABD中,由已知BD=h.在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-
8、2BCCDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h500,解之得h=500(米),故選D
2. 如圖,
某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩觀察所分別位于C,D兩點(diǎn).已知△ACD為正三角形,且DC=km,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B時(shí),測(cè)得∠CDB=45,∠BCD=75,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離為_(kāi)_______(精確到0.01 km).
解析:在△BCD中,∠CDB=45,∠BCD=75,∴∠B=180-∠BCD-∠CDB=60.
由正弦定理,得BD==(+).
在△ABD中,∠ADB=45+60=105,
由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+(+)2+2(+)(-
9、)=5+2.
∴AB=≈2.91(km).
∴炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2.91 km.
答案:2.91 km
3.空中有一氣球D,在它正西方向的地面上有一點(diǎn)A,在此處測(cè)得氣球的仰角為45,同時(shí)在氣球的南偏東60方向的地面上有一點(diǎn)B,測(cè)得氣球的仰角為30,兩觀察點(diǎn)A,B相距266米,計(jì)算氣球的高度.
解:如圖,設(shè)CD=x,
在Rt△ACD中,∠DAC=45,
∴AC=CD=x.
在Rt△BCD中,∠CBD=30,
∴CB==x.
在△ABC中,∠ACB=90+60=150,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,
∴2662=x2+(x)2-2xx,
∴x=38(米).∴氣球的高度為38米.
4. 如圖,
在斜度一定的山坡上一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為α,向山頂前進(jìn)a m到達(dá)點(diǎn)B,從B點(diǎn)測(cè)得斜度為β,設(shè)建筑物的高為h m,山坡對(duì)于地平面的傾斜角為θ,求cos θ.
解:在△ABC中,AB=a,∠CAB=α,∠ACB=β-α,
由正弦定理,得=,
∴BC=.
在△BDC中,由正弦定理得=,
∴sin∠BDC==.
又∠BDC=90+θ,
∴sin∠BDC=sin(90+θ)=cos θ.
∴cos θ=.