高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第三章 2 獨(dú)立性檢驗(yàn) Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 §2獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．2×2列聯(lián)表 設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝1；變量B：B1，B2＝1，用下表表示抽樣數(shù)據(jù) B A　　 B1 B2 總計(jì) A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 并將此表稱為2×2列聯(lián)表． 2．χ2的計(jì)算公式 χ2＝ . 3．獨(dú)立性判斷的方法 (1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的； (2)當(dāng)χ2>

2、2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (3)當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)． (1)獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，在對(duì)總體的估計(jì)中，通過抽取樣本，構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷． (2)使用χ2統(tǒng)計(jì)量作2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，一般要求表中的4個(gè)數(shù)據(jù)都大于5，數(shù)據(jù)越大，越能說明結(jié)果的普遍性． 2×2列聯(lián)表 [例1]　在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表

3、． [思路點(diǎn)撥]　在2×2列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個(gè)不同的取值，然后出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，列表即可． [精解詳析]　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表： 色盲 性別　　 患色盲 不患色盲 男 38 442 女 6 514 [一點(diǎn)通]　分清類別是作列聯(lián)表的關(guān)鍵步驟，對(duì)所給數(shù)據(jù)要明確屬于那一類． 1．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：則表中a，b處的值分別為(　　) y1 y2 總計(jì) x1 a 21 53 x2 8 25 33 總計(jì) b 46 A.32,40　　　　　　 B．42,50 C．74,82 D

4、．64,72 解析：a＝53－21＝32，b＝a＋8＝40. 答案：A 2．某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中在考前心情緊張的有213人．試作出2×2列聯(lián)表． 解：列聯(lián)表如下： 　　　　性格情況 考前心情　　　　　　 是否緊張　　　　　　 性格內(nèi)向 性格外向 總計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 總計(jì) 426 594 1 020 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 [例2]　(8分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志

5、愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 　性別 是否需要志愿者　　　　 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ [思路點(diǎn)撥]　解答本題先分析列聯(lián)表數(shù)，后計(jì)算χ2，再與臨界值比較，判斷兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立． [精解詳析]　(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為×100%＝14%. (4分) (2

6、)χ2＝≈9.967. (6分) 因?yàn)?.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)． (8分) [一點(diǎn)通]　這類問題的解決方法為先確定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再與臨界值相比較，作出判斷，解題時(shí)注意正確運(yùn)用公式，代入數(shù)據(jù)準(zhǔn)確計(jì)算． 3．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，通過數(shù)據(jù)計(jì)算χ2＝8.325，則這兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性為________． 答案：99% 4．某高校《統(tǒng)計(jì)初步》課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的學(xué)生的一些情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 非統(tǒng)計(jì)專業(yè) 統(tǒng)計(jì)專業(yè) 男

7、13 10 女 7 20 則χ2≈________，有________的把握判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)． 解析：χ2＝≈4.844>3.841，故有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)． 答案：4.844　95% 5．(福建高考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,

8、80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率． (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝ 解：(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．

9、 所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)． 從中隨機(jī)抽取2名工人，記至少抽到一名25周歲以下組工人的事件為A，故P(A)＝1－＝，故所求概率為. (2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計(jì) 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組

10、15 25 40 合計(jì) 30 70 100 所以得χ2＝＝＝≈1.79. 因?yàn)?.79<2.706， 所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”． 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟： 1．列出2×2列聯(lián)表． 2．求出χ2＝. 3．判斷是否有關(guān)聯(lián)，得出事件有關(guān)的可能性大小． 1．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到下表： 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由χ2＝算得， χ2＝≈7.8. 附表： P(χ2

11、≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是(　　) A．有99.9%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．有99.9%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別無關(guān)” 解析：因?yàn)棣?＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為有關(guān)． 答案：C 2．下面是2×2列聯(lián)表： Y x y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 2 25 27

12、總計(jì) b 46 100 則表中a，b處的值分別為(　　) A．94、96　　　　　　　　 B．52、50 C．52、54 D．54、52 解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故選C. 答案：C 3．高二第二學(xué)期期中考試，對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到2×2列聯(lián)表，則隨機(jī)變量χ2的值為(　　) 班級(jí)與成績統(tǒng)計(jì)表 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 總計(jì) 19 71 90 A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004

13、 解析：隨機(jī)變量χ2＝≈0.600，故選A. 答案：A 4．(江西高考)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(　　) 表1　　　　　　　　　 成績 性別 不及格 及格 總計(jì) 男 6 14 20 女 10 22 32 總計(jì) 16 36 52 表2 視力 性別 好 差 總計(jì) 男 4 16 20 女 12 20 32 總計(jì) 16 36 52 表3　　　　　　　　 智商 性別 偏高 正常 總

14、計(jì) 男 8 12 20 女 8 24 32 總計(jì) 16 36 52 表4 閱讀量 性別 豐富 不豐富 總計(jì) 男 14 6 20 女 2 30 32 總計(jì) 16 36 52 A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 解析：因?yàn)棣郑剑剑? χ＝＝， χ＝＝， χ＝＝， 則有χ>χ>χ>χ，所以閱讀量與性別關(guān)聯(lián)的可能性最大． 答案：D 5．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量χ2有兩個(gè)臨界值：3.841和6.635.當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握說明兩個(gè)事件有關(guān)，當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99

15、%的把握說明兩個(gè)事件有關(guān)，當(dāng)χ2≤3.841時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)事件無關(guān)．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病關(guān)系的調(diào)查中，共調(diào)查了2 000人，經(jīng)計(jì)算得χ2＝20.87，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列關(guān)于打鼾與患心臟病之間關(guān)系的說法，正確的是________． ①有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)； ②約有95%的打鼾者患心臟?。? ③有99%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)； ④約有99%的打鼾者患心臟病． 解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握說明兩個(gè)事件有關(guān)，但只是估計(jì)，不能肯定什么． 答案：③ 6．為探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠，在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如下表

16、所示： 死亡 存活 總計(jì) 第一種劑量 14 11 25 第二種劑量 6 19 25 總計(jì) 20 30 50 在研究小白鼠的死亡與劑量是否有關(guān)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)求得χ2＝________. 解析：χ2＝≈5.333. 答案：5.333 7．為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對(duì)某年級(jí)學(xué)生作調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 成績優(yōu)秀 成績較差 總計(jì) 興趣濃厚的 64 30 94 興趣不濃厚的 22 73 95 總計(jì) 86 103 189 判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？ 解：由公式求得χ2＝≈38.

17、459. ∵38.459>6.635， ∴有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績的好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有關(guān)． 8．現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購政策”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們月收入(單位：百元)的頻數(shù)分布及對(duì)“樓市限購政策”的贊成人數(shù)如下表： 月收入 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 8 12 5 2 1 (1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為當(dāng)月收入以5 500元為分界點(diǎn)時(shí)，該市

18、的工薪階層對(duì)“樓市限購政策”的態(tài)度有差異； 月收入不低于5 500元 月收入低于5 500元 總計(jì) 贊成 不贊成 總計(jì) (2)若從月收入在[55,65)的被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，求至少有一人不贊成“樓市限購政策”的概率． 解：(1)由題意得2×2列聯(lián)表： 月收入不低于5 500元 月收入低于5 500元 總計(jì) 贊成 3 29 32 不贊成 7 11 18 總計(jì) 10 40 50 假設(shè)月收入以5 500元為分界點(diǎn)時(shí)，該市的工薪階層對(duì)“樓市限購政策”的態(tài)度沒有差異，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到： χ2＝≈6.272<6.635， 所以沒有99%的把握認(rèn)為當(dāng)月收入以5 500元為分界點(diǎn)時(shí)，該市的工薪階層對(duì)“樓市限購政策”的態(tài)度有差異． (2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人贊成，3人不贊成，設(shè)至少有一個(gè)不贊成樓市限購政策為事件A，則P(A)＝1－＝.故所求概率為.