4、確的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
解析:由題意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正確;AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等邊三角形,②正確;易知DA=DB=DC,又由②知③正確;由①知④錯(cuò).故選B.
答案:B
6.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,AC=BC=1,∠ACB=90,D是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長為( )
A. B.1
C. D.2
解析:設(shè)B1F=x,
因?yàn)锳B
5、1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1=,
矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=,
tan∠A1AB1==.
又∠FDB1=∠A1AB1,所以=.
故B1F==.故選A.
答案:A
二、填空題
7.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可).
解析:
連接AC,BD交于O,因?yàn)榈酌娓鬟呄嗟?,所以BD⊥AC;又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面P
6、AC,
所以BD⊥PC.
所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)
8.(20xx上饒質(zhì)檢)已知m,n是兩條不相同的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,現(xiàn)有以下說法:
①若α∥β,n?α,m?β,則m∥n;
②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,則n⊥β;
③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β;
④若m∥α,n∥β,α⊥β,則m⊥n;
⑤若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n.
其中正確說法的序號為________.
解析:對于①,注意到分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線未必平行,可能是異
7、面直線,因此①不正確;對于②,由定理“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”得知α,β平行;由定理“若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它也垂直于另一個(gè)平面”得知,n⊥β,因此②正確;對于③,由定理“由空間一點(diǎn)向一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別引垂線,則這兩條垂線所成的角與該二面角相等或互補(bǔ)”得知,③正確;對于④,分別平行兩個(gè)垂直平面的兩條直線未必垂直,因此④不正確;對于⑤,m與n有可能平行,因此⑤不正確.綜上所述,其中正確的說法有②③.
答案:②③
9.(20xx泉州模擬)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動(dòng),給出下列命題:
①三棱錐A-D1PC的體積不變;
②A1P∥
8、平面ACD1;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正確的命題序號是________.
解析:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接DC1交D1C于點(diǎn)O1,連接OO1,則OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,動(dòng)點(diǎn)P到平面AD1C的距離不變,所以三棱錐P-AD1C的體積不變.
又因?yàn)閂P-AD1C=VA-D1PC,所以①正確.
因?yàn)槠矫鍭1C1B∥平面AD1C,A1P?平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正確.
由于當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí),DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正確;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.
9、DB1?平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正確.
答案:①②④
三、解答題
10.如圖,幾何體EF-ABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90.
(1)求證:AC⊥FB;
(2)求幾何體EF-ABCD的體積.
解:(1)證明:
由題意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC.
∵四邊形CDEF為正方形,∴DC⊥FC,
∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面ABCD,
∴FC⊥AC.
又∵四邊形ABCD為直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD
10、=2,AB=4,
∴AC=2,BC=2,則有AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,
∴AC⊥FB.
(2)連接EC,過B作CD的垂線,垂足為N,
易知BN⊥平面CDEF,且BN=2.
∵VEF-ABCD=VE-ABCD+VB-EFC=S梯形ABCDDE+S△EFCBN=,
∴幾何體EF-ABCD的體積為.
11.如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.
(1)證明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.
解:(1)證明:因?yàn)樗倪?/p>
11、形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.
因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.
又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.
因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE=x.
由已知得,三棱錐E-ACD的體積
V三棱錐E-ACD=ACGDBE
=x3=,故x=2.
從而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為.
故三棱錐E-ACD
12、的側(cè)面積為3+2.
1.(20xx蘭州質(zhì)檢)如圖,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E為CD的中點(diǎn),M,N分別是AD,BE的中點(diǎn),將三角形ADE沿AE折起,則下列說法正確的是________.(寫出所有正確說法的序號)
①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥平面DEC;
②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN⊥AE;
③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥AB;
④在折起過程中,一定存在某個(gè)位置,使EC⊥AD.
解析:
由已知,在未折疊的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,
所以四邊形ABED為平行四邊形,
所以BE=
13、AD,折疊后如圖所示.
①過點(diǎn)M作MP∥DE,交AE于點(diǎn)P,連接NP.
因?yàn)镸,N分別是AD,BE的中點(diǎn),
所以點(diǎn)P為AE的中點(diǎn),故NP∥EC.
又MP∩NP=P,DE∩CE=E,
所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正確;
②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC.
所以AE⊥MP,AE⊥NP,
又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP.
又MN?平面MNP,
所以MN⊥AE,②正確;
③假設(shè)MN∥AB,則MN與AB確定平面MNBA,從而BE?平面MNBA,AD?平面MNBA,與BE和AD是異面直線矛盾,③錯(cuò)誤.
④當(dāng)CE⊥ED時(shí),CE⊥AD,這是因?yàn)橛捎贑E⊥E
14、A,EA∩ED=E,所以CE⊥平面AED,AD?平面AED,得出EC⊥AD,④正確.
答案:①②④
2.如圖,四邊形ABCD為正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1.
(1)求證:BC⊥AF;
(2)試判斷直線AF與平面EBC是否垂直. 若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.
解:(1)證明:因?yàn)镋F∥AB,所以EF與AB確定平面EABF,
因?yàn)镋A⊥平面ABCD,所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A,
所以BC⊥平面EABF.
又AF?平面EABF,所以BC⊥AF.
(2)直線AF垂直于平面EBC.
證明如下:由(1
15、)可知,AF⊥BC.
在四邊形EABF中,AB=4,AE=2,EF=1,∠BAE=∠AEF=90,所以tan∠EBA=tan∠FAE=,則∠EBA=∠FAE.
設(shè)AF∩BE=P,因?yàn)椤螾AE+∠PAB=90,故∠PBA+∠PAB=90.
則∠APB=90,即EB⊥AF.
又EB∩BC=B,所以AF⊥平面EBC.
3.如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF=a,求證:DF∥a;
(2)若EF=CF=2BC,試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G,使得平面DFG⊥平面CDE?若存在,請確定G點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
解:(1
16、)證明:在三棱臺(tái)ABC-DEF中,AC∥DF,AC?平面ACE,DF?平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,∴DF∥a.
(2)線段BE上存在點(diǎn)G,且BG=BE,使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下:
取CE的中點(diǎn)O,連接FO并延長交BE于點(diǎn)G,連接GD,∵CF=EF,∴GF⊥CE.
在三棱臺(tái)ABC-DEF中,AB⊥BC?DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.
又CF∩EF=F,
∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF.
?GF⊥平面CDE.
又GF?平面DFG,
∴平面DFG⊥平面CDE.
此時(shí),如平面圖所示,
∵O為CE的中點(diǎn),EF=CF=2BC,
由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE,
∴HB=BC=EF.
由△HGB∽△FGE可知=,
即BG=BE.