《精編高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試 北師大版選修22》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《精編高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試 北師大版選修22（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試 北師大版選修2-2
時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分．
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線(xiàn)斜率為( )
A．1 B． 2
C．e D．
[答案] A
[解析] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＝1.
2．已知使函數(shù)y＝x3＋ax2－a的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值為0，則常數(shù)a的值為( )
A．0 B．±3
C．0
2、或±3 D．非以上答案
[答案] C
[解析] 求出使y′＝0的值的集合，再逐一檢驗(yàn)．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－A．
由題設(shè)x＝0時(shí)，y＝0，故－a＝0，則a＝0.且知當(dāng)x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3時(shí)，也成立．故選C．
3．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件 ＝－1，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)的斜率為( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 因?yàn)閒(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且 ＝－1，所以 ＝－1，所以＝－2，即f′(1)＝－2，所以y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)斜率為－2.
4．運(yùn)
3、動(dòng)方程為s＝＋2t2，則t＝2的速度為( )
A．4 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] 本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義，求導(dǎo)過(guò)程應(yīng)注意對(duì)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的靈活應(yīng)用．
∵s＝＋2t2＝－＋2t2＝t－2－t－1＋2t2，
∴s′＝－2t－3＋t－2＋4t.
∴v＝－2×＋＋4×2＝8，故選B.
5．函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像是如圖所示的一條直線(xiàn)，則y＝f(x)的圖像的頂點(diǎn)在( )
A．第Ⅰ象限
B．第Ⅱ象限
C．第Ⅲ象限
D．第Ⅳ象限
[答案] A
[解析] 顯然y＝f(x)為二次函數(shù)，設(shè)為f(
4、x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則y＝f′(x)＝2ax＋b.由圖像知a<0，b>0.又由已知函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，∴c＝0，頂點(diǎn)為(，)，因而y＝f(x)的頂點(diǎn)在第Ⅰ象限．
6．若函數(shù)y＝在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值( )
A．等于0 B．等于1
C．等于 D．不存在
[答案] C
[解析] y′＝＝，
當(dāng)x＝x0時(shí)，y′＝，y＝.由題意，知y′＋y＝0，即ex0(x0－1)＋ex0·x0＝0，
所以x0＝.
7.(2014·鄒城一中月考，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿(mǎn)足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線(xiàn)y
5、＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ①
∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8
＝2f(x)－x2－4x＋4. ②
將②代入①，得
f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x－8.
∴f(x)＝x2，y′＝2x.
∴y＝f(x)在(1，f(1))處的切線(xiàn)斜率為
y′|x＝1＝2.
∴函數(shù)y＝f(x)在(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
8.設(shè)函數(shù)
6、f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，
∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，
∴f′(1)∈[，2]．故選D.
9．若曲線(xiàn)xy＝a(a≠0)，則過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是( )
A．2a2 B．a(chǎn)2
C．2|a| D．|a|
[答案] C
[解析] 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，曲線(xiàn)的方程即為y＝，y′＝－，故
7、切線(xiàn)斜率為－，切線(xiàn)方程為y－＝－(x－x0)．令y＝0得x＝2x0，即切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,0)；令x＝0得y＝，即切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為×|2x0|×＝2|a|.
10．若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
[答案] A
[解析] 考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程問(wèn)題．
設(shè)過(guò)(1,0)的直線(xiàn)與y＝x3相切于點(diǎn)(x0，x)，
所以切線(xiàn)方程為y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x，又(1,0)在切線(xiàn)上，
8、
則x0＝0或x0＝.
x0＝0時(shí)，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切得
a＝－
當(dāng)x0＝時(shí)，由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切得a＝－1，所以選A．
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
11．已知曲線(xiàn)y＝x3＋，則在點(diǎn)P(2,3)的切線(xiàn)方程是________．
[答案] 4x－y－4＝0
[解析] y′＝x2，當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝4.
∴切線(xiàn)的斜率為4.
∴切線(xiàn)的方程為y－3＝4(x－2)，
即4x－y－5＝0.
12．球的半徑從1增加到3時(shí)，球的體積平均膨脹率為_(kāi)___________．
[答案]
[解析] ∵Δy＝π×33－π×
9、;13＝，
∴V′＝＝＝.
13．設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)的斜率為1，則該曲線(xiàn)在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______．
[答案]?。?
[解析] 考查偶函數(shù)性質(zhì)．
偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則曲線(xiàn)上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)的切線(xiàn)也關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，斜率互為相反數(shù)．
∴斜率為－1.
14．已知0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，則f′(x)與g′(x)的大小關(guān)系是________．
[答案] f′(x)<g′(x)
[解析] 由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.
由0<x<，知0<f′
10、(x)<，g′(x)>1，
故f′(x)<g′(x)．
15．函數(shù)y＝cosx·cos2x·cos4x的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．
[答案] y′＝
[解析] ∵y＝cosx·cos2x·cos4x＝
＝·，
∴y′＝′＝·＝－.
三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)
16．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x(x2＋＋)；
(2)y＝(＋1)(－1)；
[解析] (1)∵y＝x(x2＋＋)＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)(－
11、1)＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－＝－·(1＋)．
17．設(shè)曲線(xiàn)C：y＝x3－3x和直線(xiàn)x＝a(a>0)的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)C的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q(－a,0)，求a的值．
[解析] 依題意，解得P(a，a3－3a)，y′＝3x2－3所以過(guò)點(diǎn)P的曲線(xiàn)C的切線(xiàn)方程為：y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)
令y＝0得切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為(，0)
則有＝－a解得a＝±或a＝0，
由已知a>0，∴a＝.
18．已知曲線(xiàn)C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2，直線(xiàn)l與C1、C2都相切．求直線(xiàn)l的方程．
[解析] 設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，
12、x)，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，－(x2－2)2)．
對(duì)于C1，y′＝2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x①.
對(duì)于C2，y′＝－2(x－2)，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程為y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4②.
∵兩切線(xiàn)重合，∴，
解得或，∴直線(xiàn)l的方程為y＝0或y＝4x－4.
19.(1)求曲線(xiàn)y＝f(x)＝x3－2x在點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)方程；
(2)過(guò)曲線(xiàn)y＝f(x)＝x3－2x上的點(diǎn)(1，－1)的切線(xiàn)方程．
[分析] 要注意(1)(2)中的不同之處，在點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)
13、方程即(1，－1)為切點(diǎn)，而過(guò)點(diǎn)(1，－1)的切線(xiàn)方程中切點(diǎn)需設(shè)出后，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(可利用斜率相等)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后再求切線(xiàn)方程．
[解析] (1)由題意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，
∴點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)的斜率k＝1，其方程為
y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝x－2x0，
則切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)＝3x－2；
若點(diǎn)(1，－1)為切點(diǎn)，由(1)知切線(xiàn)方程為x－y－2＝0；若點(diǎn)(1，－1)不為切點(diǎn)，則
3x－2＝(x0≠1)，
即3x－2＝，
∴3x－2x0－3x＋1＝x－2x0.
∴2x－3x＋1＝0，
14、即(x0－1)(2x－x0－1)＝0.
∴x0＝1或x0＝－，其中x0＝1舍去．
則切點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，
∴斜率為f′(－)＝3×(－)2－2＝－.
∴切線(xiàn)方程為5x＋4y－1＝0.
∴過(guò)點(diǎn)(1，－1)的切線(xiàn)方程為x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
[點(diǎn)評(píng)] 利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程時(shí)要注意：求在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程求法不同，后者需要先把切點(diǎn)設(shè)出來(lái)．
20.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x2.
(1)求x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式；
(2)令g(x)＝lnx，問(wèn)是否存在x0，使得f(x)，
15、g(x)在x＝x0處的切線(xiàn)互相平行？若存在，請(qǐng)求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解析] (1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.
(2)若f(x)，g(x)在x0處的切線(xiàn)互相平行，
則f′(x0)＝g′(x0)，且x0>0，
故f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，
解得x0＝±.
∵x0>0，∴x0＝.
21.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，若x∈[0,1]，f(x)圖像上任意一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為k，當(dāng)|k|≤1時(shí)，求a的范圍．
[解析] ∵f′(x)＝－3x2＋2ax，
∴k＝f′(x)＝－3x2＋2ax.
由|k|≤1知|－3x2＋2ax|≤1(0≤x≤1)，
即|－3(x－)2＋|≤1在x∈[0,1]上恒成立．
又f′(0)＝0，
①當(dāng)<0，即a<0時(shí)，－3＋2a≥－1，即a≥1.故無(wú)解；
②當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤3時(shí)，
得1≤a≤；
③當(dāng)>1，即a>3時(shí)，－3＋2a≤1得a≤2，此時(shí)無(wú)解．
綜上知1≤a≤，
∴a的范圍為[1，]．
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