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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第5章 2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．(2015·新課標(biāo)Ⅰ，1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝( )
A．1 B．
C. D．2
[答案] A
[解析] 由＝i得，z＝＝＝i，故|z|＝1，故選A．
2．(2014·天津理，1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
[答案] A
[解析] 原式＝＝＝1－i，故選A．
3．(2014·福建理，1)復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i
2、的共軛復(fù)數(shù)等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
[答案] C
[解析] ∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，∴＝2－3i，復(fù)數(shù)z＝a＋bi的共軛復(fù)數(shù)為＝a－bi，
4．i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則乘積ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
[答案] B
[解析] 本題考查復(fù)數(shù)的概念及其簡單運(yùn)算．
＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
5．(2014·安徽理，1)設(shè)i是虛數(shù)單位， 表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z＝1＋i，則＋i·＝( )
3、A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
[答案] C
[解析] z＝1＋i，∴＝1－i，∴＋i·＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.
二、填空題
6．(2014·江蘇，2)已知復(fù)數(shù)z＝(5－2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________．
[答案] 21
[解析] 由題意z＝(5－2i)2＝25－2×5×2i＋(2i)2＝21－20i，其實(shí)部為21.
復(fù)數(shù)z＝a＋bi的實(shí)部為a，虛部為b.
7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，則a＋b＝_______
4、_.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝a＋(a＋1)i＋3b－(b＋2)i＝
a＋3b＋[(a＋1)－(b＋2)]i＝4
∴
解得
∴a＋b＝2＋1＝3
8．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．
[答案] 8
[解析] 本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件．
∵＝＝＝＝5＋3i，
復(fù)數(shù)除法運(yùn)算就是將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化．
三、解答題
9．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，求實(shí)數(shù)a，b，使得az＋2b ＝(a＋2z)2.
[解析] 因?yàn)閦＝1＋i，所以az＋2b ＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(
5、a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，所以由az＋2b ＝(a＋2z)2，
得
兩式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
相應(yīng)得b1＝－1，b2＝2，
所以所求實(shí)數(shù)為a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
10.已知z是虛數(shù)，且z＋是實(shí)數(shù)，求證：是純虛數(shù)．
[分析] 將z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)代入z＋，分別化為代數(shù)形式．
[證明] 設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i.
∵z＋是實(shí)數(shù)，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠&
6、#177;1，
∴＝
＝＝
＝－i.
∵y≠0，x≠－1，
∴是純虛數(shù)．
[點(diǎn)評] 充分利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：z＝a＋bi(a，b∈R)，代入到已知條件，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡，即可得要證的結(jié)果.
一、選擇題
1．(2014·湖南理，1)滿足＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
[答案] B
[解析] 由題可得＝i?z＋i＝zi?z(1－i)＝－i?z＝＝－i，故選B.
2．已知z1，z2是復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算“?”為：z1?z2＝當(dāng)z1＝3－i，z2＝－2－3i時(shí)，z1?z2＝( )
A．5＋2i
7、 B．1＋2i
C．9＋7i D．1－4i
[答案] A
[解析] 由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|<|z2|，故由新“運(yùn)算”法則，得z1?z2＝z1－z2＝(3－i)－(－2－3i)＝5＋2i，選A．
[點(diǎn)評] 讀懂運(yùn)算法則是解此類題的關(guān)鍵．
3．若z2＋z＋1＝0，則z2002＋z2003＋z2005＋z2006的值是( )
A．2 B．－2
C．－＋i D．－±i
[答案] B
[解析] 由z2＋z＋1＝0，不難聯(lián)想到立方差公式，從而將z得出．將z2＋z＋1＝0兩邊同乘(z－1)，得z3－1＝0，即z3＝1(z≠1)．則z4＝z，z
8、2002＝(z3)667· z＝z，于是，原式＝z2002(1＋z＋z3＋z4)＝z(2＋2z)＝2(z＋z2)＝－2.
4．復(fù)數(shù)z滿足方程＝4，那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡是( )
A．以(1，－1)為圓心，4為半徑的圓
B．以(1，－1)為圓心，2為半徑的圓
C．以(－1,1)為圓心，4為半徑的圓
D．以(－1,1)為圓心，2為半徑的圓
[答案] C
[解析] ＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4，設(shè)－1＋i的對應(yīng)點(diǎn)為C(－1,1)，則|ZC|＝4，因此動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是以C(－1,1)為圓心，4為半徑的圓，故應(yīng)選C.
二、填空題
5．已知f(z
9、)＝|1＋z|－且f(－z)＝10＋3i，則復(fù)數(shù)z＝__________.
[答案] 5－3i
[解析] 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
則－z＝－x－yi，由f(－z)＝10＋3i，
得|1＋(－z)|－(－)＝10＋3i，
|(1－x)－yi|－(－x＋yi)＝10＋3i，
∴
解之得x＝5，y＝－3，
∴所以z＝5－3i.
6．設(shè)＝＋(x，y∈R)，則x＝____，y＝____.
[答案] ；－
[解析] 由已知得＝＋，
整理得－i＝＋＋i.所以解得
三、解答題
7．計(jì)算：
＋3204＋的值．
[解析] 由于＝
＝－·＝－＝i；
3204＝1
10、602＝1602＝1602＝－1；
＝＝0；
從而＋3204＋＝i－1.
8．已知若z1，z2是非零復(fù)數(shù)，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，求證：是純虛數(shù)．
[證明] 證法一：設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R且a1與b1、a2與b2不同時(shí)為0)，
由|z1＋z2|＝|z1－z2|，得a1a2＋b1b2＝0，于是＝＝i.
因?yàn)閦≠0，所以b1a2－a1b2≠0，即是純虛數(shù)．
證法二：將已知等式變形為|z2||＋1|＝|z2||－1|，故|＋1|＝|－1|，設(shè)＝a＋bi(a，b∈R)，則有(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，從而解得a＝0，
又≠0，故b≠0，所以為純虛數(shù)．
證法三：將已知等式變形為|z2||＋1|＝|z2||－1|，故|＋1|＝|－1|，
令z＝，則原等式化為|z＋1|＝|z－1|，
而變形后的幾何意義是：表示點(diǎn)Z到兩定點(diǎn)A(1,0)、B(－1,0)的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)Z的圖形就是AB的垂直平分線，即y軸(原點(diǎn)除外)，于是有z＝ai(a∈R，a≠0)．
所以為純虛數(shù)．
[點(diǎn)評] 上述三法風(fēng)格迥異，證法一可謂通性通法，強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及復(fù)數(shù)運(yùn)算；證法二突出的是復(fù)數(shù)模的性質(zhì)的應(yīng)用，計(jì)算簡捷，明了；證法三注重了復(fù)數(shù)幾何意義的使用，使問題更直觀、形象．后兩種證法技巧性強(qiáng)，但運(yùn)算量?。?
精編高中數(shù)學(xué) 第5章 2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算課時(shí)作業(yè) 北師大版選修22
