精編高中數(shù)學北師大版選修23教學案：第二章 6 正態(tài)分布 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學資料 *§6正態(tài)分布 1．正態(tài)分布 正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． 2．正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質 (1)函數(shù)圖像關于直線x＝μ對稱． (2)σ(σ＞0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”． (3)正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率值 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%. 通常服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)

2、的隨機變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%. 1．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此可把正態(tài)分布記作N(μ，σ2)． 2．要正確理解μ，σ的含義．若X～N(μ，σ2)，則EX＝μ，DX＝σ2，即μ為隨機變量X取值的均值，σ2為其方差． 正態(tài)曲線及性質 [例1]　設X～N(1,22)，試求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)． [思路點撥]　首先確定μ＝1，σ＝2，然后根據(jù)三個特殊區(qū)間上的概率值求解． [精解詳析]　因為X～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝

3、P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683. (2)因為P(X≥5)＝P(X≤－3)， 所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)] ＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954) ＝0.023. [一點通]　對于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知， (1)對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)． 1．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，則P(X＞4)＝(　　) A.　　　　　　　　 B.

4、C. D. 解析：由正態(tài)分布密度函數(shù)的性質可知，μ＝4是該函數(shù)圖像的對稱軸，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝. 答案：D 2．如圖所示，是一個正態(tài)分布密度曲線．試根據(jù)圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，并求出總體隨機變量的期望和方差． 解：從正態(tài)曲線的圖像可知，該正態(tài)曲線關于直線x＝20對稱，最大值為，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函數(shù)的解析式為 f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)． 總體隨機變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 正態(tài)分布在實際生活中的應用 [例2]　(8分)在某次數(shù)學考試中，考生的成績X服從一個正態(tài)分布，即X～N(90,100)．

5、 (1)試求考試成績X位于區(qū)間(70,110)內的概率是多少？ (2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在(80,100)之間的考生大約有多少人？ [思路點撥]　 ―→―→―→ [精解詳析]　∵X～N(90,100)， ∴μ＝90，σ＝＝10.(2分) (1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954， 即成績X位于區(qū)間(70,110)內的概率為0.954. (5分) (2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，

6、 ∴2 000×0.683＝1 366(人)． 即考試成績在(80,100)之間的考生大約有1 366人． (8分) [一點通]　解答此類問題的關鍵有兩個： (1)熟記隨機變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率值； (2)根據(jù)已知條件確定問題所在的區(qū)間，并結合三個特殊區(qū)間上的概率值求解． 3．一批電阻的阻值X服從正態(tài)分布N(1 000,52)(Ω)．今從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機抽取一個電阻，測得阻值分別為1 011 Ω和982 Ω，可以認為(　　) A．甲、乙兩箱電阻均可出廠 B．甲、乙兩箱電

7、阻均不可出廠 C．甲電阻箱可出廠，乙電阻箱不可出廠 D．甲電阻箱不可出廠，乙電阻箱可出廠 解析：∵X～N(1 000,52)， ∴μ＝1 000，σ＝5， ∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985， μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015. ∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)． ∴甲電阻箱可出廠，乙電阻箱不可出廠． 答案：C 4．(湖北高考改編)假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0. 求p0的值．(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ

8、2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.) 解：(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P(700<X≤900)＝0.954 4. 由正態(tài)分布的對稱性，可得 p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2. 5．某年級的一次信息技術測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求： (1)成績不及格的學生占多少？ (2)成績在80～

9、90之間的學生占多少？ 解：(1)設學生的得分為隨機變量X，X～N(70,102)，如圖所示，則μ＝70，σ＝10，P(70－10<X<70＋10)＝0.683， ∴不及格的學生的比為 ×(1－0.683)＝0.158 5， 即成績不及格的學生占15.85%. (2)成績在80～90之間的學生的比為 [P(50<X<90)－P(60<X<80)] ＝×(0.954－0.683)＝0.135 5， 即成績在80～90之間的學生占13.55%. 1．正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ就是隨機變量X的均值

10、，它可以用樣本的均值去估計；參數(shù)σ就是隨機變量X的標準差，它可以用樣本的標準差去估計． 2．因為P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997，所以正態(tài)總體X幾乎總取值于區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.003，這是一個小概率事件，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生． 1． 設兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有 2． (　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2

11、D．μ1>μ2，σ1>σ2 解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質：對稱軸方程x＝μ，σ表示總體分布的分散與集中．由圖可得，μ1<μ2，σ1<σ2. 答案：A 2．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)等于(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8 解析：由正態(tài)分布曲線的性質知P(0≤X≤2)＝0.4， ∴P(－2≤X≤2)＝0.8，∴P(X>2)＝(1－0.8)＝0.1. 答案：A 3．在正常情況下，工廠生產的零件尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．在一次正常的試驗中，取10 000個零件時，不屬于(μ－

12、3σ，μ＋3σ)這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能為(　　) A．70個 B．100個 C．30個 D．60個 解析：正態(tài)總體N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率為0.997，因此不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率為0.003，所以在一次正常的試驗中，取10 000個零件時．不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能為30個左右． 答案：C 4．如果隨機變量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，則P(0<X≤1)等于(　　) A．0.021 5 B．0.723 C．0.215 D．0.64 解析：由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N

13、(3,1)． P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝0.997， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝0.954， P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X≤1)＝0.043. ∴P(0<X≤1)＝0.021 5. 答案：A 5．若隨機變量X～N(2,100)，若X落在區(qū)間(－∞，k)和(k，＋∞)內的概率是相等的，則k等于________． 解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)內的概率是相等的，所以正態(tài)曲線在直線x＝k的左側和右側與x軸圍成的面積應該相等

14、，于是正態(tài)曲線關于直線x＝k對稱，即μ＝k，而μ＝2.所以k＝2. 答案：2 6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，則P(－2≤X≤2)＝________. 解析：∵P(X>2)＝0.023，∴P(X<－2)＝0.023， 故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954. 答案：0.954 7．設X～N(0,1)． (1)求P(－1<X≤1)； (2)求P(0<X≤2)． 解：(1)X～N(0,1)時，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1， 所以P(－1<X≤1)＝0.683. (2

15、)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正態(tài)曲線f(x)關于直線x＝0對稱，所以 P(0<X≤2)＝P(－2<X≤2)＝×0.954＝0.477. 8．某廠生產的T型零件的外直徑X～N(10,0.22)，一天從該廠上午、下午生產的T型零件中隨機取出一個，測得其外直徑分別為9.52和9.98.試分析該廠這一天的生產狀況是否正常． 解：∵X～N(10,0.22)， ∴μ＝10，σ＝0.2. ∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4， μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6. ∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)， ∴該廠全天的生產狀況是正常的．