【導與練】新課標高三數學一輪復習 第11篇 復數的概念與運算學案 理

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1、第六十九課時 復數的概念與運算（課前預習案） 考綱要求 1.了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義。 2.掌握復數代數形式的加、減、乘、除的運算法則。 3.了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想。 基礎知識梳理 1．復數：形如 的數叫做復數，其中a , b分別叫它的 和 ． 2．分類：設復數： (1) 當 ＝0時，z為實數； (2) 當 0時，z為虛數； (3) 當 ＝0, 且 0時，z為純虛數. 3．復數相等：如果兩個復數 相等且

2、 相等就說這兩個復數相等. 4．共軛復數：當兩個復數實部 ，虛部 時．這兩個復數互為共軛復數．(當虛部不為零時，也可說成互為共軛虛數)． 5．若z＝a＋bi, (a, bR), 則 | z |＝ ； z＝ . 6．復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面, x軸叫做 ， 叫虛軸． 7．復數z＝a＋bi(a, bR)與復平面上的點 建立了一一對應的關系． 8．兩個實數可以比較大小、但兩個復數如果不全是實數，就 比較它們的大小. 9. 復數的

3、運算： （1）(a+bi) (c+di)= ； （2）(a+bi)(c+di)= ； （3）(a+bi)(c+di)= ； （4）①i具有周期性:4n+1= ；4n+2= ； 4n+3= ； 4n= ； n+n+1+n+2+n+3 = （nN） ②(1+i)2＝ ; (1-i)2＝ ; ③＝ ；＝ . 預習自測 1． i是虛數單位，則＋i＝________. 2． 若復數(1＋i)(1＋ai)是純虛數，則實數a＝_______

4、_. 3． 復數(3＋4i)i(其中i為虛數單位)在復平面上對應的點位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4． (2011浙江)把復數z的共軛復數記作，i為虛數單位．若z＝1＋i，則(1＋z)等于(　　) A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3 5． (2012北京)設a，b∈R.“a＝0”是“復數a＋bi是純虛數”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

5、第六十九課時 復數的概念與運算（課堂探究案） 典型例題 考點1.復數的概念 【典例1】 (1)已知a∈R，復數z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數，則復數的虛部為(　　) A．1 B．i C. D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【變式1】（1）（2013年高考上海卷（理））設,是純虛數,其中i是虛數單位,則m=___

6、_ （2）（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理））已知a, b∈R, i是虛數單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = ______. 考點2.復數的運算 【典例2】 （1）（2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學（理））設復數滿足,則 （　?。? A． B． C． D． （2）（2013年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理））復數的模為 （　?。? A． B． C． D． （3）（2013年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理））已知是虛數單位,則 （　?。? A

7、． B． C． D． 【變式2】 (1)已知復數z＝，是z的共軛復數，則z＝________. (2)復數的值是________． (3)已知復數z滿足＝2－i，則z＝__________. 考點3.復數的幾何意義 【典例3】（1）（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理））若復數滿足,則在復平面內,對應的點的坐標是 （　?。? A． B． C． D． （2）（2013年高考湖南卷（理））復數在復平面上對應的點位于 （　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．

8、第四象限 （3）（2013年高考湖北卷（理））在復平面內,復數(為虛數單位)的共軛復數對應的點位于 （　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （4）（2013年普通高等學校招生統一考試福建數學（理））已知復數的共軛復數(i為虛數單位),則在復平面內對應的點位于 （　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【變式3】　已知z是復數，z＋2i、均為實數(i為虛數單位)，且復數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

9、當堂檢測 1． (2012廣東)設i為虛數單位，則復數等于 (　　) A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i 2． (2012山東)若復數z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數單位)，則z為 (　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 3． (2012福建)若復數z滿足zi＝1－i，則z等于 (　　) A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i 4． 若＝1－bi，其中a，b都是實數，i是虛數單位，則|a＋bi|等于 (　　)

10、 A. B. C. D．1 5． (2012上海)計算：＝________(i為虛數單位)． 第六十九課時 復數的概念與運算(課后鞏固案) A組全員必做題 1． (2012湖北)方程x2＋6x＋13＝0的一個根是 (　　) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 2． 設f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．無數

11、個 3． 對任意復數z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數單位，則下列結論正確的是 (　　) A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 4． (2012湖南)已知復數z＝(3＋i)2(i為虛數單位)，則|z|＝________. 5．設復數z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數單位)，則z的實部是________． 6． (2012江蘇)設a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數單位)，則a＋b的值為________． B

12、組提高選做題 1． 已知復數z滿足＝1－2i，則復數z＝____________. 2．已知復數z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為_____________________________． 3.已知復數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，復數z2的虛部為2，且z1z2是實數，求z2. 4．復數z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是實數，求實數a的值． 5.已知復數z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值時的z.

13、 第六十九課時復數的概念與運算 參考答案 預習自測 1． 答案?。玦 解析?。玦＝＋i＝＝＋i. 2． 答案　1 解析　由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是純虛數得，由此解得a＝1. 3．答案　B 解析　由于(3＋4i)i＝－4＋3i，因此該復數在復平面上對應的點的坐標是(－4,3)，相對應的點位于第二象限，選B. 4．答案　A 解析　(1＋z)＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 5．答案　B 解析　當a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數；若a＋bi是純虛數，則a＝0. 故“a＝0”是“復數a＋bi是純虛數”的必要而不充分條件. 典型例題 【

14、典例1】【答案】　(1)A　(2)A 解析　(1)由＝＝＝＋i是純虛數，得a＝1，此時＝i，其虛部為1. (2)由， 解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 【變式1】（1）m=-2. （2） 【典例2】（1）A；（2）B ；（3）B 【變式2】答案　(1)　(2)－16　(3)－－i 解析　(1)方法一　|z|＝＝， z＝|z|2＝. 方法二　z＝＝－＋， z＝＝. (2)＝ ＝24＝－16. (3)由＝2－i， 得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i. 【典例3】（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D 【

15、變式3】　解　設z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由題意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根據條件，可知，解得2

16、a，b∈R)，由zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i. 由復數相等的充要條件得即∴z＝－1－i. 4．答案　A 解析　由＝1－bi得a＝2，b＝－1，所以a＋bi＝2－i，所以|a＋bi|＝.所以選A. 5．答案　1－2i 解析?。剑剑?－2i. A組全員必做題 1．答案　A 解析　方法一　x＝＝－32i，故應選A. 方法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0， ∴解得即x＝－32i，故應選A. 2． 答案　C 解析　f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，f(1

17、)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，… ∴集合中共有3個元素． 3．答案　D 解析　∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正確； 對于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正確； ∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正確； 對于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正確． 4．答案　10 解析　方法一　∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 方法二　∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i，∴|z|＝＝10. 5．答案　1 解析　設z＝a＋bi(a、b∈R

18、)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 6．答案　8 解析　∵＝＝(25＋15i)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝8. B組提高選做題 1． 答案?。玦 解析　z＝＝＝＝－＋i. 2．答案　 解析　∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知max＝＝. 3.解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 設z2＝a＋2i，a∈R， 則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. 4．解　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5

19、)i ＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝＋(a2＋2a－15)i. ∵1＋z2是實數， ∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3. 5.解　方法一　設z＝x＋yi(x，y∈R)， ∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4， |z－i|＝|x＋yi－i| ＝|x＋(y－1)i|＝ ＝＝. ∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2. 故當y＝－2時，5－2y取得最大值9，從而取最大值3，此時x＝0，即|z－i|取得最大值3時，z＝－2i. 方法二　 類比實數絕對值的幾何意義，可知方程|z|＝2表示以原點為圓心，以2 為半徑的圓，而|z－i|表示圓上的點到點A(0,1)的距離．如圖，連接AO 并延長與圓交于點B(0，－2)，顯然根據平面幾何的知識可知，圓上 的點B到點A的距離最大，最大值為3，即當z＝－2i時，|z－i|取得 最大值3.