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1、
專題升級訓(xùn)練 點、直線、平面之間的位置關(guān)系
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.在空間中,下列命題正確的是( )
A.平行直線的平行投影重合
B.平行于同一直線的兩個平面平行
C.垂直于同一平面的兩個平面平行
D.垂直于同一平面的兩條直線平行
2.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是( )
A.若l⊥m,m?α,則l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C.若l∥α,m?α,則l∥m
D.若l∥α,m∥α,則l∥m
3.已知平面α∩β=l,m是α內(nèi)不同于l的直線,下列命題錯誤
2、的是( )
A.若m∥β,則m∥l
B.若m∥l,則m∥β
C.若m⊥β,則m⊥l
D.若m⊥l,則m⊥β
4.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中點,則( )
[來源:]
A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形
5.下列命題正確的是( )
A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行
B.若一個平面內(nèi)有三個點
3、到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行
C.若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行
D.若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行
6.如圖,在四面體ABCD中,已知DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,在該四面體表面上與點A距離為的點形成一條曲線,則這條曲線的長度是( )
A.π B.π C.π D.π
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,則直線PC與AB所成角的大小是 .
8.如圖,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面AB
4、CD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù):①a=;②a=1;③a=;④a=4,當(dāng)BC邊上存在點Q,使PQ⊥QD時,可以取 (填正確的序號).
9.如圖,AB為圓O的直徑,點C在圓周上(異于點A,B),直線PA垂直于圓O所在的平面,點M為線段PB的中點.有以下四個命題:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正確的命題是 (填上所有正確命題的序號).
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長
5、為a的正方形,E,F分別為PC,BD的中點,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.
11.(本小題滿分15分)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M,N,G分別是棱CC1,AB,BC的中點,且CC1=AC.
(1)求證:CN∥平面AMB1;
(2)求證:B1M⊥平面AMG.
12.(本小題滿分16分)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)
6、證明直線BC∥EF;
(2)求棱錐F-OBED的體積.
##
1.D
2.B 解析:兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于該平面,故選B.
3.D 解析:對于A,由定理“若一條直線平行于一個平面,經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交,那么這條直線平行于交線”可知,A正確.對于B,由定理“若平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線平行于這個平面”可知,B正確.對于C,由定理“一條直線垂直于一個平面,那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線”可知,C正確.對于D,若一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線垂直,這條直線未必垂直于這個平面,因此D不正確.綜上所述,選D.
4.B 解析
7、:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD.所以EF∥面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點,所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四邊形EFGH是梯形,故選B.
5.C 解析:若兩條直線和同一平面所成的角相等,則這兩條直線可平行、可異面、可相交.選項A不正確;
如果到一個平面距離相等的三個點在同一條直線上或在這個平面的兩側(cè),則經(jīng)過這三個點的平面與這個平面相交,選項B不正確;
如圖,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,過直線a作平面ε∩α=c,過直線a作平面γ∩β=d,∵a∥α,∴a∥c.∵a∥β,∴a∥d.∴d∥c.∵c?α,d?α,∴d∥α,又∵d?β,∴d∥b,∴a∥b
8、,選項C正確;
若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面可平行、可相交,選項D不正確.
6.D 解析:在Rt△ADH中,由于AD=1,AH=,所以DH=.所以∠DAH=,∠BAH=,所以在面DAB中,曲線段EH的長為π.同理,曲線段FG的長也為π.在面ABC中,曲線段EF的長為π.在面DBC中,曲線段GH的長為π,所以這條曲線的總長度為π2+π+π=π,故選D.
7.60 解析:分別取PA,AC,CB的中點F,D,E,連接FD,DE,EF,AE,則∠FDE是直線PC與AB所成角或其補(bǔ)角.
設(shè)PA=AC=BC=2a,在△FDE中,易求得FD=a,DE=a,FE=a,
根據(jù)余弦定理
9、,得cos∠FDE==-,
所以∠FDE=120.
所以直線PC與AB所成角的大小是60.
8.①② 解析:如圖,連接AQ,
因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ.
又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD.
故Rt△ABQ∽Rt△QCD.
令BQ=x,則有,
整理得x2-2x+a2=0.
由題意可知方程x2-2x+a2=0有正實根,所以0
10、A.
又∵PA?平面PAD,EF?平面PAD,[來源:]
∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PA.
又∵PA=PD=AD,∴△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面PCD.
又∵PA?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
11.證明:(1)取AB1的中點P,連接NP,MP.
∵CMAA1,NPAA1,∴CMNP.
∴四邊形CNPM是平行四邊形.
∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
∴CN∥平面
11、AMB1.[來源:]
(2)∵CC1⊥平面ABC,
∴平面CC1B1B⊥平面ABC.
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,
∴B1M⊥AG.[來源:]
∵CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.
設(shè)AC=2a,則CC1=2a.
在Rt△MCA中,AM=a.
同理,B1M=a.
∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
∴AB1==2a,[來源:]
∴AM2+B1M2=A,∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.
12.(1)證明:設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點.由于△OAB與△ODE都是正三角形,所以O(shè)BDE,OG=OD=2.
同理,設(shè)G是線段DA與FC延長線的交點,有OG=OD=2.
又由于G和G都在線段DA的延長線上,
所以G與G重合.
在△GED和△GFD中,由OBDE和OCDF,可知B和C分別是GE和GF的中點,
所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60,知S△EOB=,而△OED是邊長為2的正三角形,故S△OED=,
所以S四邊形OBED=S△EOB+S△OED=.
過點F作FQ⊥DG,交DG于點Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐F-OBED的高,且FQ=,
所以VF-OBED=FQS四邊形OBED=.
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