【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第5節(jié) 拋物線課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第5節(jié) 拋物線課時(shí)訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 拋物線的定義與應(yīng)用 2、9、14 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 1、3、5、12 拋物線的綜合問題 4、6、7、8、10、11、13、15、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(2014高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0等于(　A　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:作AM⊥準(zhǔn)線l, 根據(jù)拋物線定義|AF|=|

2、AM|, ∵拋物線方程為y2=x, 則2p=1,p=12, ∴準(zhǔn)線l方程為x=-14, 則有54x0=x0+14, ∴x0=1.故選A. 2.(2014成都模擬)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離是(　D　) (A)23 (B)2 (C)3 (D)1 解析:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)(2,0)到直線x-3y=0的距離,d=|2-0|2=1. 3.(2014湖州模擬)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(　D　) (A)x2=833y (B)

3、x2=1633y (C)x2=8y (D)x2=16y 解析:雙曲線的漸近線方程為y=bax, 由于ca=a2+b2a2=1+(ba)2=2, 所以ba=3,所以雙曲線的漸近線方程為y=3x. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,p2), 所以p22=2,則p=8, 所以拋物線方程為x2=16y. 4.(2014浙江省寧波模擬)若橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px的焦點(diǎn)重合,則p的值為(　C　) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 解析:橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0), 所以p2=2, 解得p=4. 5.(2014高考遼寧卷)已知點(diǎn)A(-2

4、,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為(　C　) (A)-43 (B)-1 (C)-34 (D)-12 解析:因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上,所以-p2=-2,所以該拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),所以kAF=3-0-2-2=-34.故選C. 6.(2014高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于(　C　) (A)303 (B)6 (C)12 (D)73 解析:拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F(34,0), 所以AB所在的直線方程為y=33(x-34), 將y=33(x-34)代入y2=3

5、x, 消去y整理得x2-212x+916=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=212, 由拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+p=212+32=12, 故選C. 7.(2014北京西城模擬)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為(　C　) (A)y=x-1或y=-x+1 (B)y=33(x-1)或y=-33(x-1) (C)y=3(x-1)或y=-3(x-1) (D)y=22(x-1)或y=-22(x-1) 解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), 準(zhǔn)線方程為

6、x=-1, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則因?yàn)閨AF|=3|BF|, 所以x1+1=3(x2+1), 所以x1=3x2+2, 因?yàn)閨y1|=3|y2|,x1=9x2, 所以x1=3,x2=13, 當(dāng)x1=3時(shí),y12=12, 所以此時(shí)y1=12=23. 若y1=23, 則A(3,23),B(13,-233), 此時(shí)kAB=3, 此時(shí)直線方程為y=3(x-1). 若y1=-23, 則A(3,-23),B(13,233), 此時(shí)kAB=-3, 此時(shí)直線方程為y=-3(x-1). 8.(2014北京市東城質(zhì)檢)已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F與雙曲線x27

7、-y29=1的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=2|AF|,則△AFK的面積為(　D　) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 解析:雙曲線的右焦點(diǎn)為(4,0),拋物線的焦點(diǎn)為(p2,0), 所以p2=4,即p=8. 所以拋物線方程為y2=16x,焦點(diǎn)F(4,0), 準(zhǔn)線方程x=-4, 即K(-4,0),不妨設(shè)A(y216,y),y>0, 過A作AM垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的定義可知|AM|=|AF|, 所以|AK|=2|AF|=2|AM|, 即|AM|=|MK|, 所以y216-(-4)=y, 整理得y2-16y+64=0,

8、 即(y-8)2=0, 所以y=8, 所以S△AFK=12|KF|y=1288=32. 二、填空題 9.(2014山東臨沂模擬)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)則p=　　　　;準(zhǔn)線方程為　　　　. 解析:p2=1,所以p=2,準(zhǔn)線方程為x=-1. 答案:2　x=-1 10.(2014福州模擬)已知雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋線線y2=410x的焦點(diǎn)重合,且雙曲線的離心率等于103,則該雙曲線的方程為　　　　. 解析:拋物線y2=410x的焦點(diǎn)(10,0), e=10a=103, ∴a=3,b=1. ∴該雙曲線的方程為x29-y2=1.

9、答案:x29-y2=1 11.(2014高考湖南卷)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是　　　　. 解析:由題意可知機(jī)器人行進(jìn)的軌跡為一拋物線, 其軌跡方程為y2=4x, 過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1), 由題意知直線與拋物線無交點(diǎn), 聯(lián)立消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 則Δ=(2k2-4)2-4k4<0, 所以k2>1,得k>1或k<-1. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 三、解答題 12.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上

10、的拋物線截直線y=2x-4所得的弦長|AB|=35,求此拋物線方程. 解:設(shè)所求的拋物線方程為y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直線y=2x-4代入y2=ax, 得4x2-(a+16)x+16=0, 由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32. 又x1+x2=a+164,x1x2=4, ∴|AB|=(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2] =5[(a+164)2-16] =35, ∴5[(a+164)2-16]=45, ∴a=4或a=-36. 故所求的拋物線方程為y2=4x或y2=-36x. 13.(2014山東臨沂二模)如圖,已

11、知直線與拋物線y2=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于D,且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3). (1)求p的值; (2)若F為拋物線的焦點(diǎn),M為拋物線上任一點(diǎn),求|MD|+|MF|的最小值. 解:(1)設(shè)A(y122p,y1),B(y222p,y2),kOD=33,則kAB=-3,直線AB的方程為y-3=-3(x-3),即3x+y-43=0,將x=y22p代入上式,整理得3y2+2py-83p=0, ∴y1y2=-8p,由OA⊥OB得y12y224p2+y1y2=0,即y1y2+4p2=0,∴-8p+4p2=0,又p>0,則p=2. (2)由拋物線定義知|M

12、D|+|MF|的最小值為D點(diǎn)到拋物線y2=4x準(zhǔn)線的距離, 又準(zhǔn)線方程為x=-1,因此|MD|+|MF|的最小值為4. 能力提升 14.已知P、Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、-2,過P、Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為　　　　. 解析:由于P、Q為拋物線x2=2y,即y=12x2上的點(diǎn),且橫坐標(biāo)分別為4、-2,則P(4,8),Q(-2,2),從而在點(diǎn)P處的切線斜率k1=4.據(jù)點(diǎn)斜式,得曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y-8=4(x-4);同理,曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為y-2=-2(x+2);將這兩個(gè)方程聯(lián)立,解得交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4. 答案:-4

13、 15.(2014高考浙江卷)已知△ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),PF→=3FM→. (1)若|PF|=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)求△ABP面積的最大值. 解:(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得y0=2, 所以P(22,2)或P(-22,2), 由PF→=3FM→,得 M(-223,23)或M(223,23). (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由y=kx+m,x2=4y,得 x2

14、-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m), 由PF→=3FM→得, (-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得 k2=-15m+415, 由Δ>0,k2≥0,得-13

15、43), 令f′(m)=9m2-10m+1=0,解得 m1=19,m2=1, 可得f(m)在(-13,19)上是增函數(shù),在(19,1)上是減函數(shù),在(1,43)上是增函數(shù), 又f(19)=256243>f(43). 所以,當(dāng)m=19時(shí),f(m)取到最大值256243,此時(shí)k=5515. 所以,△ABP面積的最大值為2565135. 探究創(chuàng)新 16.(2014高考四川卷)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),OA→OB→=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與 △AFO面積之和的最小值是(　B　) (A)2 (B)3 (C)1728 (D)10 解析:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假設(shè)y1>0,y2<0),直線AB的方程為x=ty+m,且直線AB與x軸的交點(diǎn)為M(m,0).由x=ty+m,y2=x消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又OA→OB→=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2=0,因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2,故m=2.又F(14,0),于是S△ABO+S△AFO=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1≥298y12y1=3,當(dāng)且僅當(dāng)98y1=2y1,即y1=43時(shí)取“=”,所以△ABO與△AFO面積之和的最小值是3.故選B.