中考數(shù)學真題類編 知識點031圓的基本性質

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學中考復習資料▼▼▼ 一、選擇題 1. （2016甘肅蘭州，7，4分）如圖，在⊙O中，點C是的中點，∠A=50，則∠BOC= （ ） A．40 B．45 C．50 D．60 【答案】A 【逐步提示】因為半徑OA=OB，故可先根據(jù)等邊對等角求得∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，最后根據(jù)等弧所對圓心角相等求得∠BOC的度數(shù)． 【詳細解答】解：因為OA=OB，所以∠B=∠A=50，所以∠AOB=180―∠B－∠A=80，在⊙O中，因為點C是的中點，所以，所以∠BOC=∠AOC，因為∠BOC＋∠AOC=∠AOB，所以∠BOC=∠AOB=4

2、0，故選擇A . 【解后反思】圓中通常把圓周角和圓心角以及它們所對弧的度數(shù)進行轉換，怎么轉換需要根據(jù)題目的要求來確定；同圓的半徑相等，有時還需要連接半徑，用它來構造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等邊對等角”及“三線合一”來進行證明和計算． 【關鍵詞】圓心角；等弧所對圓心角的關系；等腰三角形性質；三角形內(nèi)角和定理 2. （2016甘肅蘭州，10，4分）10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC=（ ） A．45 B．50 C．60 D．75 【答案】C 【逐步提示】先找出同弧所對圓周角與圓心角的關系，再結合平行四邊形對角相等得到∠

3、B與∠ADC的倍數(shù)關系，最后根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補”建立方程求出∠ADC的度數(shù). 【詳細解答】解：∵圓周角∠ADC與圓心角∠AOC所對的弧都是，∴∠ADC=∠AOC，即∠AOC=2∠ADC，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴∠AOC=∠B，∴∠B=2∠ADC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B＋∠ADC=180，即2∠ADC＋∠ADC=180，解得∠ADC=60，故選擇C. 【解后反思】看到求與圓有關的角，就想到：（1）同弧所對的圓周角相等；（2）同弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半；（3）圓的內(nèi)接四邊形的對角互補；（4）同圓的半徑相等，等邊對等角等. 【關鍵詞】圓周角定理；圓內(nèi)接

4、四邊形性質；平行四邊形性質； 3. （ 2016廣東茂名，9，3分）如圖，A、B、C是⊙C上的三點，且∠B=75，則∠AOC的度數(shù)是（ ） A．150 B．140 C．130 D．120 【答案】A 【逐步提示】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓心角和圓周角之間的關系．從圖形中可以看出，∠AOC、∠B分別是⊙O中所對的圓心角、圓周角，利用圓周角定理可得∠AOC=2∠B，代入∠B的度數(shù)即可得∠AOC的度數(shù). 【詳細解答】解：∵∠AOC、∠B分別是⊙O中所對的圓心角、圓周角，∴∠AOC=2∠B.∵∠B=75，∴∠AOC=150，故選擇A . 【

5、解后反思】解決與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解，特別地，當有一直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一結論． 【關鍵詞】圓周角定理 4. （2016貴州省畢節(jié)市，12，3分）（2016貴州省畢節(jié)市，13，3分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝36，∠C＝26，則∠B＝ ( 　 ) B C O A （第12題圖） A.100 　B.72 C.64 D.36 【答案】C 【逐步提示】本題考查圓周角定

6、理，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是求出∠O．①根據(jù)圓周角定理求出∠O；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OEC，進而由對頂角性質求出∠AEB；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B． 【詳細解答】解：如圖，設OB與AC交點為E，因為∠A＝36，所以，∠O＝72，所以∠AEB＝∠OEC＝180－∠O－∠C＝180－72－28＝80，所以，∠B＝180－∠AEB－∠A＝180－80－36＝64，故選擇C. B C O A （第12題圖） E 【解后反思】本題易錯點是由于不熟悉圓周角定理，不能發(fā)現(xiàn)∠A與∠O的關系，導致無法找到∠B與∠A、∠C的關系． 【關鍵詞】圓周角；三角形內(nèi)角和定理 5

7、. （ 2016湖北省黃石市，8，3分）如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON＝ （　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A． 【逐步提示】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是將已知條件集中在一個直角三角形中，這個直角三角形的斜邊是圓的半徑，一條直角邊是弦心距，另一條直線是弦的一半． 【詳細解答】解：因為ON⊥AB，所以AN＝AB＝24＝12，∠ANO＝90．在Rt△AON中，由勾股定理得ON＝＝＝5，故選擇A． 【解后反思】在解答與圓有關的計算問題時，垂徑定理和勾股定理“形影不離”，常結合起來使用．如圖，設圓的半徑為、弦長

8、為、弦心距為，弓形高為，則＝，＝，這兩個等式是關于四個量，，，的一個方程組，只要已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量． 【關鍵詞】垂徑定理；勾股定理． 6.（2016湖北宜昌，9，3分）已知M、N、P、Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是（ ） A. ∠NOQ=42　 B. ∠NOP=132　 C. ∠PON比∠MOQ大　D. ∠MOQ比∠MOP互補 【答案】C 【逐步提示】本題考查了圓心角，解題的關鍵是識別圓心角度數(shù)，弄清始邊與終邊，正確讀出圓心角的度數(shù)． 【詳細解答】解：結合各選項分別判斷，選項A ∠NOQ=138 ，選項B中∠NOP=

9、48 ，選項C中，正確，選項D中∠MOQ比∠MOP沒有互補 ，故選擇C . 【解后反思】解決與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解，特別地，當有一直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一條件． 【關鍵詞】圓心角；量角器； 7. （2016江蘇省無錫市，6，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點D，若∠C＝70，則∠AOD的度數(shù)為（ ） A．70 B．35 C．20 D．40 【答案】D 【逐步提示】本題考查了切線

10、的性質、同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系，解題的關鍵是知道由切線想垂直．本題的思路是由相切得到∠CAB＝90，然后根據(jù)∠B、∠C互余，可得∠B＝20，然后根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系求出∠AOD的度數(shù)． 【詳細解答】解：∵AC切⊙O于點D，∴∠CAB＝90，∴∠B＋∠C＝90，∵∠C＝70，∴∠B＝20，∴∠AOD＝2∠B＝40，故選擇D . 【解后反思】本題用到的初中數(shù)學知識有：①過切點的半徑與切線垂直；②直角三角形兩銳角互余；③同弧所對的圓周角等于圓心角的一半． 【關鍵詞】切線的判定與性質；圓心角、圓周角定理； 8. （2016山東濱州12，3分）如圖，AB是○O的直徑

11、，C，D是○O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F(xiàn)，則下列結論： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是 A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 【答案】D． 【逐步提示】每個結論逐個去判斷． 【詳細解答】解：∵AB是直徑，∴∠ADB=90，即AD⊥BD，∴①正確；∠AOC=2∠ABC，∠AEC=∠ABC+∠BAD，若∠AOC=∠AEC，則∠BAD=∠ABC，則AC弧等于BD弧，此時點C是半圓的三等分點，而已知無法推斷出點C

12、是半圓的三等分點，因此②錯誤；由①知BD⊥AD，BD∥OC，∴OC⊥AD，∴AC弧=CD弧，∴∠ABC=∠CBD，因此③正確；由③知OC⊥AD，∴AF=DF，因此④正確；由④知，AF=DF，AO=BO，∴BD=2OF，因此⑤正確；若△CEF≌△BED成立，則CF=BD，此時CF=2OF，顯然錯誤，故⑥錯誤，因此①③④⑤正確，故選擇D． 【解后反思】 看到直徑，就想到直徑所對的圓周角是90，垂直于弦的直徑，平分弦，并且平分弦所分的兩條??；同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半． 【關鍵詞】垂徑定理及推論 圓周角定理 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15

13、. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. （ 2016福建福州，16，4分）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上 r下．（填“＞”“＝”“＜”) 【答案】＜ 【逐步提示】本題考查了圓的作法、比較圓弧的半徑大小，作出圓心是解題的關鍵.利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比較兩個圓的半徑即可． 【詳細解答】解：如

14、圖，r上＜r下，故答案為＜ . 【解后反思】本題因為沒有給出具體的數(shù)據(jù)，因此沒有辦法計算出這兩個圓的半徑的具體值，因此除了用作圖法外，還可以直接觀察這兩個圓弧的大概度數(shù)直接作出判斷.弧度大的半徑小. 【關鍵詞】垂徑定理；圓的作法；弧長 2. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，16，4分）如圖，在⊙O中，弦AC=，點B是圓上一點，且∠ABC=45，則⊙O的半徑R=___________． 第16題圖 【答案】 【逐步提示】本題考查圓的有關性質以及特殊三角形性質，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓周角是其所對圓心角的一半，由

15、∠ABC=45得出∠AOC=90，從而得到△AOC是等腰直角三角形，可以利用方程或三角函數(shù)求出半徑R的值． 【詳細解答】解：因為∠ABC=45所以∠AOC=90，又因為OA=OC， 所以△AOC是等腰直角三角形， OA=OC=R，可列方程解得（舍去），故答案為. 【解后反思】同弧所對的圓周角是其所對圓心角的一半，看到45就應該聯(lián)想到90，從而把問題轉化到一個等腰直角三角形中去解決，轉化思想是幾何中常用的數(shù)學思想，通過轉化，可以把比較復雜的問題轉化為相對容易的問題.已知特殊的角，要尋找線段之間的關系，常通過添加輔助線構成特殊的三角形，把要尋找關系的線段放在特殊三角形中來研究．此題也可以利用三

16、角函數(shù)解決：在Rt△AOC中，，即，，所以． 【關鍵詞】圓的有關性質；圓周角；圓心角；勾股定理； 3. （ 2016湖南省湘潭市，16，3分）已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.例如：已知以點A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x-2）2+（y-3）2=4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為 . 【答案】x2+y2=1 【逐步提示】本題為初高中銜接內(nèi)容“圓的標準方程”，主要考查學生理解問題的能力，解決問題的關鍵是領會標準方程的寫法，并按照示例寫出標準方程，最后確定半徑即可. 【詳細解答】解：

17、由圓的標準方程及示例可得已原點為圓心的圓的標準方程為x2+y2=r2，又∵圓過點P（1，0），∴半徑為1，∴圓的標準方程為x2+y2=1，故答案為x2+y2=1. 【解后反思】“閱讀—分析--理解—創(chuàng)新應用”是求解閱讀理解類型試題的基本步驟．首先做到認真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法及如何計算等，并且正確理解引進的新知識，讀懂范例的應用；其次，根據(jù)介紹的新知識、新方法進行運用，并與范例的運用進行比較，防止出錯. 【關鍵詞】 圓；圓的標準方程；閱讀理解題 4. （2016年湖南省湘潭市，16，3分）已知以點C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標準方程為。例如：以A（2，3）

18、為圓心，半徑為2的圓的標準方程為，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為________. 【答案】 【逐步提示】本題是一道銜接型的閱讀理解題，解題的關鍵是理清圓的標準方程的形式。先讀懂題意，理清并熟記圓的標準方程的形式，再根據(jù)已知條件分析圓的圓心和半徑，最后把圓心和半徑代入圓的標準方程。 【詳細解答】解：以原點為圓心，過點P(1，0)，所以半徑是1，∴以點O（0,0）為圓心，半徑為1的圓的標準方程為（x-0）2+（y-0）2=12，即x2+y2=1，故答案為 . 【解后反思】閱讀理解題是近年中考出現(xiàn)的一類新題型，涉及內(nèi)容豐富,構思新穎別致．一般包括兩部分:一是閱讀材料,一個

19、新的數(shù)學概念的形成和實例應用,或者一個新的數(shù)學公式的推導與應用,或者一種新的解題方法與技巧應用,或者提供新聞背景材料;二是考查內(nèi)容．題型主要有兩類:一是“先閱讀解題方法,再解答”,即利用已學知識,綜合歸納出新的解題方式方法,重在把握其方法、規(guī)律;二是“先閱讀新的概念,再解答”,即閱讀特殊范例,總結解題方法、規(guī)律,推出一般結論． 解答閱讀理解型問題的關鍵在于閱讀,重在理解,考查自學能力和應用新知識、新方法的能力．解題策略是:理清材料脈絡,歸納總結數(shù)學方法和解題技巧, 構建相應的數(shù)學模型來解答．閱讀理解型問題的命題方向:一是“舊教材”刪除或削弱的內(nèi)容;二是“其他版本”教科書借鑒的內(nèi)容;

20、三是與高中階段相銜接的知識;四是新概念、新運算． 【關鍵詞】圓；圓的定義；閱讀理解題型；學習性閱讀理解問題；初高銜接題型 5. （2016湖南湘西，3，4分）四邊形ABCD是某個圓的內(nèi)接四邊形，若∠A=100，則∠C= . 【答案】80 【逐步提示】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補”可得“∠A＋∠C=180”，又知∠A度數(shù)，可求∠C度數(shù) 【詳細解答】解：由題意得∠A＋∠C=180，∵∠A=100，∴∠C=80，故答案為80. 【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不知運用圓內(nèi)接四邊形的性質解題．

21、 【關鍵詞】圓內(nèi)接四邊形 6.（2016湖南湘西，7，4分）如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB=70，那么圓周角∠C= . 【答案】35 【逐步提示】本題考查了圓周角定理．根據(jù)圓周角定理，發(fā)現(xiàn)∠AOB與∠C的倍分關系． 【詳細解答】解：∠AOB與∠C分別是弧AB所對的圓心角和圓周角，∴∠C=∠AOB=70=35，故答案為35. 【解后反思】一條弧所對的圓周角與圓心的位置關系有三種：①圓心在圓周角的一邊上，②圓心在圓周角的內(nèi)部，③圓心在圓周角的外部，但三種情況下結論是統(tǒng)一的。 【關鍵詞】圓周角定理 （第7題圖） 7. (2016湖南省永州市，18，4

22、分)如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點，已知∠AOB=40，直徑CD∥AB，連接AC，則∠BAC=______度． 【答案】35 【逐步提示】本題綜合考查了圓周角、圓心角、三角形內(nèi)角和、平行線的性質等知識，解題時，把要求的圓周角轉化為對應的圓心角是解題的關鍵．在等腰三角形ABO中，根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠ABO的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出圓心角∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求出∠BAC的度數(shù)． 【詳細解答】解：∵∠AOB=40， ∴∠ABO=(180－40)=70，∵CD∥AB，∴∠BOC=∠ABO=70，∴∠BAC=∠BOC=35，

23、故答案為35． 【解后反思】解決與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解． 【關鍵詞】圓周角；三角形內(nèi)角和；平行線的性質 8. (2016湖南省岳陽市，13，4)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BCD =110，則∠BAD =______度. 【答案】70 【逐步提示】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求∠BAD的度數(shù)即可. 【詳細解答】∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB +∠BCD =180，又∵∠BCD=110，∴∠BAD=70. 所以填

24、：70。 【解后反思】解答此類題時，利用了圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質來求已知角的補角即可. 【關鍵詞】圓內(nèi)接四邊形及性質 9.（2016江蘇省南京市，13，2分）如圖，扇形OAB 的圓心角為122，C 是上一點，則∠ACB＝ ▲ ． 【答案】119 【逐步提示】本題考查了圓周角的計算，解題的關鍵是運用圓內(nèi)接四邊形對角互補解題．可以作出整圓，在優(yōu)弧AB上取點D，得到圓周角∠ADB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補解計算∠ACB的度數(shù)． 【詳細解答】解：如圖，作出整圓，在優(yōu)弧AB上取點D，得圓周角∠ADB=∠AOB=61，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可知∠ACB＝180—∠ADB=1

25、19．故答案為119． 【解后反思】本題也可以連接OC，如圖，構造出兩個等腰△AOC和△BOC，則∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠ACB＝∠2+∠3=∠1+∠4，即∠ACB=（360—∠AOB）=（360—122）=119． 【關鍵詞】圓；圓的有關性質；圓心角、圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形及性質；化歸思想 10. （2016江蘇省宿遷市，14，3分）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130，∠BAC=20，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，則BD的長為 ． （第14題圖） 【答案】 【逐步提示】先利用三角形內(nèi)角和求出第三個角為

26、30，是個特殊角，構造直角三角形，利用垂徑定理、三角函數(shù)等，即可求出BD的長． 【詳細解答】 解：過C作CE⊥AB，垂足為E， ∴BD=2BE ∵∠ACB=130，∠BAC=20 ∴∠ABC=30 在Rt△BCE中，BC=2， BE=BCcos30=2 ∴BD=，故答案為． 【解后反思】垂徑定理是圓中構造直角三角形來線段長度、角度等常用的方法；在利用垂徑定理解題時，常見的輔助線有：（1）過圓心作弦的垂線；（2）連半徑，再運用勾股定理、三角函數(shù)解這個直角三角形，進而求出弦的長度或角度等． 【關鍵詞】 三角形內(nèi)角和定理；解

27、直角三角形；垂徑定理； 11. （2016江蘇省揚州市，16，3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD=4，∠ABC=∠DAC，則AC長為 ． 【答案】 【逐步提示】本題考查了圓周角的性質、等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是通過同弧所對的圓周角相等轉化數(shù)量關系，再構造等腰直角三角形．連接CD，可得∠ABC==∠ADC=∠DAC，得到等腰直角△ADC，再由三邊關系求得AC的長． 【詳細解答】解：連接CD，可得∠ABC==∠ADC=∠DAC，而AD是直徑，可知∠ACD=90，因此得到等腰直角△ADC，AC=AD= ，故答案為． 【解后反思】“同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周

28、角相等”是轉化圓中圓周角的重要性質定理，特別地，當圓中有直徑時，通常根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，在圓中構造直角三角形來解決問題． 【關鍵詞】圓；圓的有關性質；圓周角；三角形；等腰三角形和直角三角形；等腰直角三角形；勾股定理 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016福建福州，24，12分）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O

29、，M 為中點，連接BM，CM． （1）求證：BM＝CM； （2）當⊙O的半徑為2 時，求的長． 【逐步提示】本題考查了正方形的性質、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關系，掌握弧長的計算公式、圓心距、弦、弧之間的關系定理是解題的關鍵．（1）根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關系定理解答即可；（2）根據(jù)弧長公式計算． 【詳細解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴， ∴, ∵M為中點, ∴, ∴, ∴. （2）解：連接. ∵, ∴∠BOM﹦∠COM, ∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴. ∴. 由弧長公式，得的長 【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不

30、能求出圓心角的度數(shù)及弧長公式用錯.在弧長公式l=中，當圓心角n、半徑R和弧長l已知兩個時，可求得第三個. 【關鍵詞】正方形的性質；弧、弦、弦心距；弧長；； 2. （2016甘肅蘭州，27，10分）如圖，三角形ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC． （1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為5，BC=，求DE的長． 【逐步提示】（1）第一步：連接OC，易知∠A=∠OCA，由OD⊥AB證得∠A＋∠AEO=90； 第二步：根據(jù)“等邊對等角”有∠DEC=∠DCE，代換得∠OCE+∠DCE=90，從而證得結論；

31、 （2）第一步：作DH⊥EC，根據(jù)“等角的余角相等”可得∠EDH=∠A，△EDC中根據(jù)三線合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由△AEO∽△ABC得，代入數(shù)據(jù)求得AE，進一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sin∠A= sin∠EDH，從而，進而求得DE的長． 【詳細解答】解：（1）證明：連接OC，則∠A=∠OCA，∵ OD⊥AB，∴∠AOE=90，∴∠A＋∠AEO=90， ∵DE =DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DEC， ∴ ∠AEO= ∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90，∴CF是⊙O的切線． （2）作DH⊥EC，則

32、∠EDH=∠A，∵DE =DC，∴ EH =HC=EC，∵ ⊙O的半徑為5，BC= ，∴AB=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴， ∴AE=，∴EC=AC-AE==， ∴EH=EC=， ∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即， ∴DE=． 【解后反思】看到切線，就想到作過切點的半徑，看到直徑就想到直徑所對的圓周角是直角；看到切線的判定，就想到：①若已知直線與圓的公共點，則采用判定定理法，其基本思路是：當已知點在圓上時，連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有切點，連半徑，證垂直；②若未知直線與圓有交點，則采用數(shù)量關系法，其基本思路是：過圓心作直線的垂

33、線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，可簡述為：無切點，作垂線，證相等． 【關鍵詞】 切線的判定；相似三角形的判定與性質；轉化思想；方程思想 3. （2016廣東省廣州市，25，14分）如圖，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45． （1）求證：BD是該外接圓的直徑； （2）連結CD，求證：AC=BC+CD； （3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論． A B C D 【逐步提示】（1）要證BD是圓的直徑，只需證

34、明∠BAD=90即可，這可由已知條件∠ACB=∠ABD=45及∠D=∠ACB直接得到；（2）由所要證明的結論形式自然聯(lián)想到證明線段“a+b=c”型問題的方法：截長補短法，由“AC”可聯(lián)想到構造以AC為直角邊的等腰直角三角形，其斜邊長即等于AC．于是可作AE⊥AC，交CB的延長線于點E，連結AE，通過證明△ABE≌△ADC進一步獲證結論；（3）由DM2，AM2，BM2三者的形式，可構建直角三角形，進一步利用勾股定理探究三者之間的數(shù)量關系．則根據(jù)圓的性質，易于構造以DM為斜邊的Rt△MDF，顯然有DM2= DF2＋MF2，借助“幾何直觀”，易于猜想DF=BM，關于MF2與2AM2，連結AF后它們在

35、一個等腰直角三角形中，進而易于得出結論．另外，亦可以BM為直角邊，以AM為直角邊構造兩個Rt△BMF與Rt△MAF，通過三角形全等證明BF=MD獲得結論． 【詳細解答】解：（1）由=，得∠ADB=∠ACB=45．又∵∠ABD=45，∴∠ABD+∠ADB=90，∴∠BAD=90，∴BD是△ABD外接圓的直徑； （2）證明：如圖，作AE⊥AC，交CB的延長線于點E，連結AE．∵∠EAC=∠BAD=90，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，∴∠EAB=∠DAC．由∠ACB=∠ABD=45，可得△ACE與△ABD是等腰直角三角形，∴AE=AC，AB=AD，∴△ABE≌△ADC，∴CD=BE．

36、在等腰Rt△ACE中，由勾股定理，得CE=AC．∵CE=BC+BE，∴AC=BC+CD； A C D B E （3）DM2=BM2＋2MA2．證明如下： 方法1：如圖，延長MB交圓于點F，連結AF，DF． ∵∠BFA=∠ACB=∠BMA=45，∴∠MAF=90，MA=AF，∴MA2+AF2=2MA2=MF2． 又∵AC=MA=AF，∴=，又∵=，∴=，∴=，∴∴DF=BC=BM． ∵BD是直徑，∴∠BFD=90． 在Rt△MDF中，由勾股定理，得DM2= DF2＋MF2， ∴DM2=BM2＋2MA2． A C

37、 D B F M 方法2：如圖，過點M作MF⊥MB，過點A作AF⊥MA，MF與AF交于點F，連結BF． 由軸對稱性可知∠AMB=ACB=45，∴∠FMA=45，∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM=AF，MF2=2AM2． ∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD． 又∵AF=AM，AB=AD，∴△ABF≌△ADM，∴BF=DM． 在Rt△BMF中， ∵BF2=BM2+MF2，∴DM2=BM2＋2MA2． A C D B F M 【解后反思】1．關

38、于問題（2）的解決，是利用證明線段“a+b=c”型問題的方法——截長補短法．該例所作的輔助線本質上是在線段CB的延長線上得到BE=CD．我們也可直接在CB的延長線上截取BE=CD，顯然∠ABE=∠ADC，AB=AD，因此，△ABE≌△ADC，從而可證∠EAC=90，進一步可證得結論成立． 2．對于許多幾何證明題，根據(jù)已知條件與所要證明的結論，聯(lián)想相關知識是溝通證明思路的重要途徑．如本例（3）中根據(jù)探究量的形式聯(lián)想到勾股定理，從而構造直角三角形是解決問題的突破口．另外，注意“幾何直觀”，合情推理與演繹推理的有機結合，常常能給我們指明思考的方向與切入點，收到事半功倍之效． 【關鍵詞】圓周角定理

39、的推論；圓的三組量關系定理；全等三角形的判定和性質；勾股定理；軸對稱的性質；轉化思想 4. （2016湖南省湘潭市，21，6分）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連接BD、OB. （1）求證：△AEC∽△DEB； （2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半徑. A B C D O E 【逐步提示】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到這兩個三角形有兩對角相等，然后根據(jù)有兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可. （2）根據(jù)垂徑定理，可以證明E為AB的中點，設⊙O的半徑為r，則OE=r-2，根據(jù)勾股定理可得一個關于r的方程，解方程即可. 【詳細解答】解

40、：（1）根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”，得∠A=∠D，∠C=∠B，∴△AEC∽△DEB. （2）∵CD⊥AB，∴BE==4，設⊙O的半徑為r，則OE=r-2，于是，在Rt△OEB中，有，解得，即⊙O的半徑為5. 【解后反思】已知弦的長和弓形的高，求圓的半徑，是垂徑定理常見的題型，方法是設出圓的半徑，利用勾股定理建立方程求解. 【關鍵詞】圓周角；垂徑定理；勾股定理；解方程；相似三角形的判定 5. （ 2016年湖南省湘潭市，21，6分）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連接BD、OB。 （1）求證：△AEC∽△DEB； （2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半徑。

41、 A C O E D B 【逐步提示】本題考查了圓的相關知識、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握與圓有關的性質. （1）先尋找兩個三角形相似的條件：一對對頂角，還有一對同弧所對的圓周角；（2）由CD⊥AB，運用垂徑定理求出AE、BE的長，再由（1）中的相似求出CE的長，從而求出⊙O的直徑。 【詳細解答】解：（1）∵， ∴∠C＝∠DBE，在△ACE和△DEB中， , ∴△ACE∽△DEB； （2）∵CD⊥AB，CD為⊙O的直徑， ∴BE＝CE=AB＝4，∵△ACE∽△DEB∴，即，∴CE=8，∴CD=10，⊙O的半徑為5. 【解后反思】在解題中，通過尋找

42、兩個角相等來證明兩個三角形相似的居多，。利用“同弧或等弧所對的圓周角相等” 是圓中常見尋找等角的方法；在涉及圓的性質問題時，通常是運用垂徑定理或圓周角定理得到相等的角和線段的相等或垂直關系，使問題得以解決。另解：設OB＝x，則OE＝OD－DE＝x－2，根據(jù)勾股定理得：（x－2）2＋42＝x2，解得：x＝5，即⊙O的半徑為5. 【關鍵詞】圓 ；圓的有關性質；圓心角、圓周角定理；相似三角形； 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.