中考數(shù)學真題類編 知識點025等腰三角形、等邊三角形

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學中考復習資料▼▼▼ 一、選擇題 1. ．（2016廣東省廣州市，13，3分）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，點D在AC上，DC=4cm，將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為 cm． A B C E D F 【答案】13 【逐步提示】利用平移的性質(zhì)可以求得EF與FC的長，進而可得BF的長；再根據(jù)等腰三角形的判定可得BE=EF，這樣求得了△EBF的三邊長，其和即為△EBF的周長． 【詳細解答】解：根據(jù)平移的性質(zhì)，將線段DC沿著

2、CB的方向平移7cm得到線段EF，則EF=DC=4cm，F(xiàn)C=7cm，∠EFB=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm．又BF=BC－FC=12－7=5cm，∴△EBF的周長=4+4+5=13（cm）．故答案為13． 【解后反思】圖形平移后，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，這樣往往存在平行四邊形與全等三角形或等腰三角形，給我解決問題提供了重要途徑． 【關(guān)鍵詞】平移的性質(zhì)；等腰三角形的判定 2. （ 2016河北省，16，2分）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則

3、滿足上述條件的△PMN有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上 【答案】D 【逐步提示】先找出符合要求的特殊點，如點M與點O重合，點N與點O重合等，不難發(fā)現(xiàn)以上特殊情形都滿足OM+ON=2，再研究一般情形下△PMN是否為等邊三角形，問題得解. 【詳細解答】解：如圖，在OA上截取OC=OP=2，∵∠AOP=60°，∴△OCP是等邊三角形，∴CP=OP，∠OCP=∠CPO=60°.在線段OC任取一點M，在OB上截取ON，使ON+OM=2，連接MN，PM，PN.∵MC+OM=2，∴CM=ON.在△MCP和△NOP中，∵CM=ON,∠MCP=∠NOP

4、=60°，CP=OP，∴△MCP≌△NOP（SAS），∴PM=PN，∠MPC=∠NPO，∴∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO，即∠CPO=∠MPN，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形.故滿足條件的△PMN有無數(shù)個，答案為選項D. 【解后反思】如圖所示，本題是含有60°內(nèi)角的菱形問題的變式，掌握其中等邊三角形和全等三角形的判定有助于我們解決此題. 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定；存在性問題 3. （ 2016湖南省懷化市，8，4分）等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則它的周長為（ ） A. 16cm

5、B. 17cm C. 20cm D. 16cm或20cm 【答案】C. 【逐步提示】此題考查等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系.題中給出了等腰三角形的兩條邊長，而沒有明確其腰長或底邊長，因此需要分腰為4cm長或腰為8cm長兩種情況討論等腰三角形的周長即可. 【詳細解答】解：若4cm的邊長為腰，8cm的邊長為底，4＋4＝8，由三角形三邊的關(guān)系知，該等腰三角形不存在；若8cm的邊長為腰，4cm的邊長為底，則等腰三角形的周長為20cm，故選擇C. 【解后反思】此題考查等腰三角形的定義和三角形三邊的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意，考慮到需要分類討論等腰三角形的周長.此題的易錯點是

6、審題不認真，忽略分類討論. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的定義；三角形三邊的關(guān)系 4. （2016湖南湘西，14，4分）一個等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是 A.13cm B .14cm C. 13 cm或14cm D.以上都不對 【答案】C 【逐步提示】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是應用三角形三邊關(guān)系定理討論．分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系，再求出周長． 【詳細解答】解：①當?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時，等腰三角形的周長為2×

7、4＋5=13；②當?shù)妊切蔚难鼮?，底為4時，等腰三角形的周長為2×5＋4=14，∴這個等腰三角形的周長是13 cm或14cm，故選擇C . 【解后反思】在解有關(guān)等腰三角形邊長問題時，通常要進行討論，注意分類討論后一定要運用三邊關(guān)系檢驗，所求的結(jié)果若能夠組成三角形后，才能繼續(xù)進行有關(guān)的計算. 【關(guān)鍵詞】三角形三邊的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì) 5. （2016山東濱州6，3分）如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（ ） A．50° B．51°

8、 C．51.5° D．52.5° 【答案】D． 【逐步提示】先根據(jù)AC=CD，∠A=50°，計算出∠ADC的度數(shù)，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，從而求出∠B的度數(shù)，BD=BE，∠BDE=∠BED，求出∠BDE的度數(shù)，最后根據(jù)∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，計算出∠CDE的度數(shù)． 【詳細解答】解：∵AC=CD，∴∠ADC=∠A=50°，又∵CD=BD，∴∠B=∠BCD，∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=25°，∵BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，∠ADC +∠CDE +∠B

9、DE =180°，∴∠CDE=52.5°． 【解后反思】根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”得到角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的2個內(nèi)角的度數(shù)之和． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形 三角形的外角和定理 6.（2016江蘇省揚州市，8，3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．將該矩形紙片剪去3個等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是 ( ) A．6 B．3 C．2．5 D．2 【答案】C 【逐步提示】本題考查了操作活動中的估算和大小比較，解題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造等腰直角三角形，使得剩余部分

10、面積的最小，此時每次都要考慮以最大邊做斜邊才使得剪去的等腰直角三角形面積最大． 【詳細解答】解：如圖所示，剩余三角形的面積為24———=2．5，故選擇C． 【解后反思】本題屬于數(shù)學實驗的簡單類的問題，在構(gòu)造等腰直角三角形時，學生可能會構(gòu)造出如圖所示的方法，剩余三角形的面積為24———=3，錯選答案B． 【關(guān)鍵詞】 三角形；等腰三角形與直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；四邊形；特殊的平行四邊形；矩形的性質(zhì)；面積最小化；化歸思想 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22

11、. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，17，4分）將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若AB=6cm，則AC=_____________cm． 第17題圖 【答案】6 【逐步提示】本題考查軸對稱變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出折疊之前的矩形紙片，畫出折疊之前的矩形紙片之后，一目了然，通過角度之間代換得到△ABC是等腰三角形，得解． 【詳細解答】解：由

12、折疊得∠1=∠2，再由矩形紙片對邊平行得到∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，所以△ABC是等腰三角形且AB=AC=6cm，故答案為6. 【解后反思】折疊也就是翻折或軸對稱，它連同平移、旋轉(zhuǎn)一樣是全等變換，即不改變圖形的形狀和大小，所以看到折疊就要想到全等，進一步得到對應角相等、對應邊相等為進一步解題提供條件． 【關(guān)鍵詞】 折疊；矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定； 2. （ 2016河北省，19，4分）如圖，已知∠AOB=7°，一條光線從點A出發(fā)后射向OB邊.若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點A，此時∠A=90°-7°=83°. 當∠A&l

13、t;83°時，光線射到OB邊上的點A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光線又會沿A2→A1→A原路返回到點A，此時∠A=_____°. …… 若光線從點A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點A，則銳角∠A的最小值=_______°.[來 【答案】76 6 【逐步提示】本題屬于規(guī)律探究題，對于（1）先在Rt△A1A2O中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2的度數(shù)，由此得到∠1和∠AA1A2的度數(shù)，再在△AA1A2中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)；（2）由（1）可知當光線垂直于OA時光線會沿原路返回，畫出符合題意的圖形，分別

14、求出有公共頂點的光線夾角的度數(shù)，從而找出夾角變化的規(guī)律，問題可解. 【詳細解答】解：（1）∵A1A2⊥AO，∴∠A1A2A=∠A1A2O=90°.在Rt△A1A2O中，∠O=7°，∴∠2=90°－7°=83°，∴∠1=83°，∴∠AA1A2=180°－2×83°=14°.在Rt△AA1A2中，∴∠A=90°－14°=76°.（2）如圖，當An－1An⊥OA時，易求得∠AnAn-1An-2=14°=1×14°，∠An-1An-2An-3

15、=28°=2×14°,∠An-2An-3An-4=42°=3×14°，……，由此可知當∠A1AC=12×14°=168°時，∠A1AO=×（180°－168°）=6°，且此時∠A1AO最小. 【解后反思】對于規(guī)律探究題，解決問題的一般思路是從特殊情形中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，進而應用一般規(guī)律求解. 【關(guān)鍵詞】 規(guī)律探究題 3. （ 2016湖北省黃岡市，12，3分）如圖，⊙O是ΔABC的外接圓，∠AOB=700，AB=AC,則∠ABC= 。 【答案

16、】350 【逐步提示】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系。要求∠ABC的度數(shù)，由條件AB=AC知，轉(zhuǎn)化為求∠ACB的度數(shù)，而∠ACB和∠AOB分別是所對的圓周角和圓心角，根據(jù)圓周角定理問題就可解決。 【詳細解答】解：∵圓心角∠AOB=700，∴圓周角∠ACB=∠AOB=350， 又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=350. ，故答案為 350 . 【解后反思】圓周角定理能有效地把圓心角與圓周角聯(lián)系起來，即在同圓或等圓中圓周角的度數(shù)等于同弧或等弧所對的圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)。

17、 4. （ 2016湖北省黃岡市，14，3分）如圖，已知ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四個全等的等腰三角形，底邊BC,CE,EG,GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI,交FG于點Q,則QI= 。 【答案】 【逐步提示】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是掌握三角形相似的判定方法，并能運用三角形相似的性質(zhì)求線段的長。由四個三角形全等可知∠ACB=∠FGE,則GQ∥AC,所以,GI和CI的長度已知，只要求出AI的長度即可。求AI的長可以通過判定ΔABC和ΔIBC相似來解決. 【詳細解答】解：∵ ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI是四個全等的等

18、腰三角形， ∴GI=EG=CE=BC=1， ∴BI=4， ∵AB=2， ∴， ∴ΔABC∽ΔIAB, ∴, ∴AI=4. ∵∠ACB=∠FGE, ∴GQ∥AC. ∴, ∴ 故答案為 . 【解后反思】相似三角形的判定：①平行法②三組對應邊的比相等(類似于三角形全等判定“SSS”)③兩組對應邊的比相等，且夾角相等(類似于三角形全等判定“SAS”)④兩角對應相等(AA) 【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定 ；相似三角形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)。 5. （ 2016湖北省黃石市，13，3分）如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南

19、偏東30°方向航行________海里后，到達位于燈塔P的正東方向的B處． 【答案】4． 【逐步提示】本題考查了方向角、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定方法．解題的關(guān)鍵求出∠PAB＝∠APB＝60°，得到△PAB是等邊三角形，所以AB＝AP＝4（海里）． 【詳細解答】解：如圖標注．由題意，得∠MPA＝30°，∠MPB＝90°，所以∠APB＝90°－30°＝60°．因為MP∥AN，所以∠PAN＝∠MPA＝30°．又由題意得∠NAB＝30°，所以∠PAB＝30°＋30°＝60

20、76;，所以∠PAB＝∠APB＝60°，所以△PAN是等邊三角形，于是AB＝AP＝4，故答案為4． 【解后反思】（1）方向角是實際生活使用較多的角，要熟悉方向角的意義．（2）等邊三角形的判方法有：①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有兩個角都等于60°的三角形是等邊三角形；④有一個等于60°的等腰三角形是等邊三角形． 【關(guān)鍵詞】平行線的性質(zhì)；等邊三角形． 6.（ 2016江蘇省淮安市，16，3分）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是　　　　　?。? 【答案】10． 【逐步提示】本題考查了等腰

21、三角形周長的計算，掌握分類討論的思想解題的關(guān)鍵． 【詳細解答】解：(1)若三條線段的長分別為2，2，4，∵2＋2＝4，∴它們不能構(gòu)成三角形，即此種情況不存在；(2)若三條線段的長分別為2，4，4，此時能構(gòu)成三角形，且周長為10． 綜上所述，該等腰三角形的周長為10，故答案為10 ． 【解后反思】本題有兩個需要注意的地方：一是由于等腰三角形的邊長不確定時，需要分底是多少腰是多少來分情形討論；第二個需要注意的是在解題過程中需要判斷每種情形下的三邊是否能構(gòu)成三角形． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形 ；分類討論；三角形三邊之間的關(guān)系 7. （2016江蘇泰州，12，3分）如圖，已知直線l1∥l2，將

22、等邊三角形如圖放置，若∠α=40°，則∠β等于 °. l1 （第12題圖） β α l2 B A C l1 （第12題答圖） β α l2 D 【答案】20 【逐步提示】本題考查了平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)妮o助線發(fā)現(xiàn)∠α、∠β和∠ABC三者之間的關(guān)系．如圖，通過構(gòu)造平行線將∠α和∠β，集中到得∠ABC處，再根據(jù)等邊三角形的每個內(nèi)角都是60°得解。 【詳細解答】解：如圖，過點B作BD∥l2，∵直線l1∥l2，∴BD∥l1，∴∠ABD=∠α=40°， ∵△A

23、BC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=20°，∵BD∥l2，∴∠β=∠DBC=20° ，故答案為20° . 【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不知如何運用條件“l(fā)1∥l2”，應構(gòu)造平行線，利用三線八角之間的數(shù)量關(guān)系解題. 【關(guān)鍵詞】平行線；三線八角；等邊三角形的性質(zhì) 8. （2016江蘇省宿遷市，16，3分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為 ． （第16題圖） 【答案】4或 【逐步提

24、示】由于△PBC是等腰三角形沒有明確哪兩邊相等，因此本題需要分類討論解決，頂點P、B、C都可以作為頂角的頂點，因此分三種情況分別畫出圖形，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，改變AB的長，以B、C為圓心的的圓與直線AD的交點情況會發(fā)生變化，從而引起交點個數(shù)的變化；仔細分析圖形，即可分析特殊的狀況，進而求出AB的長． 【詳細解答】 解：當BC=BP時，以B為圓心，BC為半徑畫圓，該圓與直線AD的交點即為P； 當CB=CP時，以C為圓心，CB為半徑畫圓，該圓與直線AD的交點即為P； 當PB=PC時，作BC的垂直平分線，該線與直線AD的交點即為P． 綜上分析，如圖1，在直線AD上最多

25、有5個滿足題意的點P． 觀察這個圖形會發(fā)現(xiàn)，改變AB的長，兩個圓與直線AD的交點個數(shù)會發(fā)生變化，且交點間有可能還會重合，因此，要是使點P有三個，有這兩的兩種可能圖形出現(xiàn)： 情形一：兩圓均與直線AD相切，只有一個公共點，此時只有三個點P滿足題意，所以AB=4 ， 情形二：兩圓的交點P2、P3、P5三個點會重合為一個點時，此時也只有三個點P滿足題意，因為BP=BC，CP=BC， 所以△PBC為等邊三角形，AB=2， 故答案為 4或． 【解后反思】當?shù)妊切沃兄淮_定兩個點，第三個點的位置不確定時，這時需要分類討論解決．在討論時，一般按等腰三角形的頂角的頂點是哪個點來分類，比如

26、：△ABC是等腰三角形，則有三種可能：（1）以A為頂角的頂點，則AB=AC；（2）以B為頂角的頂點，則BA=BC；（3）以C為頂角的頂點，則CA=CB． 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；分類討論；； 9.（2016 鎮(zhèn)江，12,2分）有一張等腰三角形紙片，AB=AC=5，BC=3，小明將它沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片（如圖所示），且滿足∠BQP=∠B，則下列五個數(shù)據(jù)，3，，2，中可以作為線段AQ長的有 個. 【答案】 3. 【逐步提示】①本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是PQ通過特殊點C確定AQ的

27、取值范圍.②先考慮點P與點C重合時，利用相似三角形求出BQ的長，進而求出AQ的長，再回到沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片的情況，即此時AQ實際長小于所求的AQ長度，即可比較得到滿足條件的數(shù)值個數(shù). 【詳細解答】解：如圖，當點P與點C重合時，設QB=x.因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又∠BQP=∠B，所以△BCQ∽△BAC，所以，因為AB=AC=5，BC=3，所以，解得x=，所以AQ=5-=，所以AQ＜=3.2，即AQ＜3.2.因為＞3.2，3＜3.2，=3.2，2＜3.2，＜3.2，所以作為線段AQ的長有3個.故答案為3. 【解后反思】在求解本問題時，利用

28、了特殊的情況確定AQ的取值；另外的解法是將每個數(shù)據(jù)結(jié)合題意，利用相似三角形及等腰三角形進行驗證.此類問題容易出錯的地方是沒有注意到特殊情況，而運用分類的數(shù)學思想去計算，從而不容易求出相關(guān)結(jié)果. 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形；相似三角形 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （2016廣東省廣州市，18，9分）如圖，矩

29、形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AB=AO，求∠ABD的度數(shù)． A B C D O 【逐步提示】由條件AB=AO，聯(lián)想到矩形對角線的性質(zhì)AO=BO，故可得△AOB是等邊三角形，于是得其內(nèi)角∠ABD的度數(shù)． 【詳細解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=AC，BO=BD，AC=BD，∴AO=BO．又∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABD=60°． 【解后反思】矩形的對角線互相平分且相等，故此矩形的兩條對角線把矩形分成了四個小等腰三角形．另外，每條對角線所分得的兩個直角三角形都全等． 【關(guān)鍵詞

30、】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì) 2. (2016湖南省永州市，27，12分)問題探究： 1．新知學習 若把將一個平面圖形分成面積相等的兩個部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”(例如圓的直徑就是圓的“面徑”) 2．問題解決 已知等邊三角形ABC的邊長為2． (1)如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長； (2)如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長； (3)如圖三，已

31、知D為BC的中點，連接AD，M為AB上的一點(0<AM<1)，E是DC上的一點，連接ME，ME與AD交于點O，且S△MOA=S△DOE． ①求證：ME是△ABC的面徑； ②連接AE，求證：MD∥AE； (4)請你猜測等邊三角形ABC面徑長l的取值范圍(直接寫出結(jié)果)． 【逐步提示】本題綜合考查了與等邊三角形有關(guān)的新定義，解題的關(guān)鍵在于正確理解“面徑”的概念．(1)根據(jù)等邊三角形的對稱性知，△ABD≌△ACD，從而S△ABD=S△ACD，因此AD是△ABC的一條面徑，再根據(jù)∠C的正弦值可求得AD的長．(2)根

32、據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．(3)①由D為BC的中點，可得S△ABD=S△ACD．再由S△MOA=S△DOE，可得S四邊形BDOM+ S△DOE =S四邊形ACEO+ S△MOA．即S△BME=S四邊形ACEM，從而ME是△ABC的面徑． ②根據(jù)等量加等量和相等，得S△AMD=S△EMD．這兩個三角形底相同，則高相等，從而MD∥AE．(4)先找出面徑的最小值和最大值兩種情況，再確定面徑的范圍． 【詳細解答】解：(1)∵三角形ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線．則有△ABD≌△ACD，所以S△ABD=S△ACD，因此AD是△ABC的一條面徑，AD=AC&

33、#183;sin60°=2×=． (2)ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，則有，，解得ME=．(3) ①∵D為BC的中點，∴S△ABD=S△ACD．即S四邊形BDOM+S△MOA=S四邊形ACEO+S△DOE．又S△MOA=S△DOE，∴S四邊形BDOM+ S△DOE =S四邊形ACEO+ S△MOA．即S△BME=S四邊形ACEM，∴ME是△ABC的面徑． ②∵S△MOA=S△DOE．∴S△MOA+ S△DOM=S△DOE+ S△DOM．即S△AMD=S△EMD．△AMD與△EMD的底邊MD公共，則MD上的高相等，即點A到MD的距離與點E到MD的距離相等，∴MD∥A

34、E．(4)面徑的最小值為圖二所示情況，面徑的最大值為圖一所示情況，所以． 【解后反思】1．理解新定義是解題的關(guān)鍵．2．利用圖形中的面積相等關(guān)系進行轉(zhuǎn)化時，常根據(jù)等量加等量和相等或等量減等量差相等．3．確定線段長度的范圍，應先找出最小值與最大值． 【關(guān)鍵詞】新定義題型；等邊三角形；相似三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)； 3. （ 2016江蘇省淮安市，28，14分）問題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系． 小吳同學探究此問題的思路是：將ΔBCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到ΔAED處，點B、C分別落

35、在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD． 圖① 圖②　　　　　　　　　　　圖③ 　簡單應用： （1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝　　　　． （2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的長． 拓展延伸： （3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的長（用含m，n的代數(shù)式表示）． 　圖④ （

36、4）如圖⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE＝AC，CE＝CA，點Q為AE的中點，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　?。? 圖⑤ 【逐步提示】本題以等腰直角三角形為背景考查了三條線段之間關(guān)系的證明和計算，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題是解題的關(guān)鍵． （1）由題意可知： AC+BC=CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度； （2）連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度； （3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D1，由（2）問題可知：AC+BC=CD1；又因為CD1

37、=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度； （4）根據(jù)題意可知：點E的位置有兩種，分別是當點E在直線AC的右側(cè)和當點E在直線AC的左側(cè)時，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問的結(jié)論進行解答． 【詳細解答】解：（1）3． 根據(jù)AC+BC=，代入AC＝，BC＝2，得CD=3． （2）∵弧AD＝弧BD，∴AD=BD ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90° ∵AB=13，BC=12，由勾股定理得：AC=， 由（1）中的結(jié)論，有AC+BC=CD，∴5+12=CD ∴CD=． 圖③ （3）取AB的中點O，以O為圓心，OA長為半徑畫圓，則點C在⊙O上

38、． 作點D關(guān)于AB的對稱點E，連接AE，BE，則∠AEB=90°，AE=BE， 由（1）可知：CE=． 而DE2=AB2= ∴CD2=DE2-CE2= ∴CD= 圖④ （4）PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是：或． 當點E在直線AC的左側(cè)時，如圖⑤， 連接CQ，PC， ∵AC=BC，∠ACB=90°， 點P是AB的中點， ∴AP=CP，∠APC=90°， 又∵CA=CE，點Q是AE的中點， ∴∠CQA=90°， 設AC=a， ∵AE=AC， ∴AE=a， ∴AQ=AE=a， 由勾股定理可求得：CQ=

39、a， 由（2）的證明過程可知：AQ+CQ=PQ， ∴PQ=a+a， ∴； 當點E在直線AC的右側(cè)時，如圖⑥， 連接CQ、CP， 同理可知：∠AQC=∠APC=90°， 設AC=a， ∴AQ=AE=， 由勾股定理可求得：CQ=a， 由（3）的結(jié)論可知：PQ=（CQ﹣AQ）， ∴． 綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是:或． 【解后反思】本題的重點是前面每小題都為后面一小題做了鋪墊，而后面每一小題都可以創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為前面一小題的結(jié)構(gòu)，也就是說通過適當?shù)淖冃慰梢灾苯永们懊嬉恍☆}的結(jié)論，從而使問題順利解決．如果我們解題時不注意前后圖形的聯(lián)系，不把未知結(jié)構(gòu)的圖形

40、轉(zhuǎn)化為已知圖形的結(jié)構(gòu)，其證明和解題過程會很麻煩，也很復雜． 【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形 ；圓；旋轉(zhuǎn)；轉(zhuǎn)化的思想； 4. （ 2016江蘇省連云港市，27，14分）我們知道：光反射時，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如右圖，為入射光線，入射點為，為法線（過入射點且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時反射角等于入射角． 問題思考： （1）如圖1，一束光線從點處入射到平面鏡上，反射后恰好過點，請在圖中確定平面鏡上的入射點，保留作圖痕跡，并簡要說明理由； （2）如圖2，兩平面鏡、相交于點，且，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后，恰好經(jīng)過

41、點．小昕說，光線可以只經(jīng)過平面鏡反射后過點，也可以只經(jīng)過平面鏡反射后過點．除了小昕的兩種做法外，你還有其它做法嗎？如果有，請在圖中畫出光線的行進路線，保留作圖痕跡，并簡要說明理由； （圖1） （圖2） 問題拓展： （3）如圖3，兩平面鏡、相交于點，且，一束光線從點出發(fā)，且平行于平面鏡，第一次在點處反射，經(jīng)過若干次反射后又回到了點，如果和的長均為，求這束光線經(jīng)過的路程； （4）如圖4，兩平面鏡、相交于點，且，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過若干次反射后，最后反射出去時，光線平行于平面鏡．設光線出發(fā)時與射線的夾角為，請直接寫出滿

42、足條件的所有的度數(shù)（注：、足夠長）． （圖3） （圖4） 【逐步提示】本考查了與物理學中光的反射有關(guān)的作圖和計算，把光的反射與軸對稱統(tǒng)一起來是解題的關(guān)鍵． （1）要解決反射角等于入射角，就是作點的對稱點，過點A作A點關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于點P，則點P就是平面的入射點；（2）分別作點A和B關(guān)于OM和ON的對稱點，然后連接兩對稱點即可；（3）按題目條件進行作圖，當入射角為0°時，它的反射角也是0°，這時反射光線沿原路返回，利用特殊角三角函數(shù)值可求出光線經(jīng)過的路程；（

43、4）按光線經(jīng)過ON反射的次數(shù)反過來推算的度數(shù)即可． 【詳細解答】解：（1）如圖點P就是平面的入射點． 圖1 作點A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于點P， 則PA=PA′，PE⊥AA′，∴∠A′PE=∠APE=∠DPB 過點P作PF⊥CD，∴∠CPF=∠DPF ∴∠APF=∠BPF，即反射角等于入射角 ∴AP是 入射光線，PB是反射光線，P為入射點． （2）作點B關(guān)于ON的對稱點B′，作點A關(guān)于OM的對稱點A′，連接A′B′，交OM，ON于點C和D，連接AD，DC，CB即可． 光線由ACDB． 圖2 （3）如圖3，∵AS

44、∥OM，∴∠NAS=30° ， 根據(jù)反射定律，可知∠BAO=∠NAS=30°， 而∠ABM=∠COB=∠BAO+∠O=60° ∴∠OCB=90°， 所以光線經(jīng)過點S反射后沿CB，BA，AS方向返回S點 圖3 ∵∠O=∠BAO，∴BA=BO，∴AC=OC= ∴AB=OB=，BC=AB= ∴這束光線經(jīng)過的路程為：2AS+2AB+2BC=2++=2+ （4）的度數(shù)為30°，60°，90°，120°，150°． 如果經(jīng)過ON一次反射，如圖4，光線AB∥PM，則∠NAB=∠O=1

45、5° 而∠OAP=∠NAB=15°，∴∠APM=30° 圖4 如果經(jīng)過ON兩次反射，如圖5，光線CD∥OM，則∠DCN=∠O=15° ∴∠BCA=∠DCN=15°，∴∠CBM=30°=∠ABP ∴∠CAB=45°=∠OAP ∴∠APB=60°． 圖5 如果經(jīng)過ON三次反射，如圖6，光線EF∥OM 可求得∠APM=90° 圖6 如果經(jīng)過ON四次反射，如圖7，光線GH∥OM 可求得∠APM=120°

46、 圖7 如果經(jīng)過ON五次反射，如圖8，光線JK∥OM 可求得∠APM=150° 圖8 【解后反思】本題解題的難點之一，是如何把光的反射與圖形的對稱性結(jié)合在一起，如果想不到點的對稱具有光的反射定律的規(guī)律，題目就無從下手；本題的第二難點是通過兩面鏡子兩次反射后的光線經(jīng)過的路徑，解決的關(guān)鍵也是作點的對稱點；本題的第三個難點是最后一問，解決這個問題需要反過來進行推理計算，經(jīng)過ON一次反射，兩次反射以及n次反射后，AP與PM之間的夾角是多少． 【關(guān)鍵詞】閱讀理解 ；光的反射定律； 5. （2016江蘇省宿遷市，

47、21，6分）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF （第21題圖） 【逐步提示】由已知條件可以判定四邊形DEFC為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可以知道DE=CF，再根據(jù)角平分線和平行線可以推導出DE=BE，等量代換從而得到證明． 【詳細解答】 證明：∵DE∥BC，EF∥AC ∴四邊形DEFC是平行四邊形 ∴DE=CF 又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD ∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∴EB=ED ∴BE=CF 【解后反思】常見的證明兩條線段相等的方法有：全等、特殊圖形（特殊三角形

48、、特殊四邊形）的性質(zhì)、等量代換等；本題考查了一個常見的幾何模型：角平分線+平行線→等腰三角形． 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形的判定；平行四邊形的判定； 6.（2016江蘇省宿遷市，25，10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點． （1）如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC； （2）如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M． ①當點M與點C、D不重合時，連接CM

49、，求∠CMD的度數(shù)； ②設D為邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長． （第25題圖1） （第25題圖2） 【逐步提示】（1）本題證明兩直線平行可以根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來說明，即只要說明∠BGF=45°即可，又容易知道BF=BG，所以只要證明∠FBG=90°問題即可得證；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道，△ACE與△DCF相似，可以得到∠CFM=∠CEM，所以C、M、E、F四點共圓，進而有∠CEF=∠CMF=45°，問題獲解；（3）由（2）知道∠CMD的大小不隨

50、D點位置變化而變化，所以點M的運動路線是一條弧，在分別畫出兩個特殊情況下的圖形，即可發(fā)現(xiàn)弧的圓心的位置和弧所對圓心角的大小，利用弧長公式即可求出M運動的路徑長， 【詳細解答】 解：（1）∵AC=BC，且∠ACB=90° ∴∠A=∠ABC=45° 又∵△ACD≌△BCF ∴BF=AD，∠A=∠CBF=45° ∵AD=BG ∴BG=BF 又∵∠FBG=∠FBC+∠CBA=90° ∴∠FGB=45° ∴∠

51、A=∠FGB ∴AC∥FG （2）∵△CFE是由△CAD旋轉(zhuǎn)α得到， ∴AC=CE，CD=CF，∠ACE=∠DCF=α ∴△ACE∽△DCF ∴∠CFM=∠CEM ∴C、M、E、F四點共圓， ∴∠CEF=∠CMF=45° ∴∠CMD=135° （3）當D為AB的中點，α=90°時，DF與AE的交點M與D重合； α=180°時，DF與AE的交點M與

52、C重合． 由（2）知道∠CMD=135°是一個定值， ∴點M的運動路徑是一段弧，且弧的圓心是AC的中點 ∴點M運動的路徑長為 【解后反思】（1）證明兩直線的平行關(guān)系通常是轉(zhuǎn)化為找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，有時也會根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來得到；（2）旋轉(zhuǎn)型相似是相似中的基本圖示，是近幾年的高頻考點，抓住其中的對應關(guān)系是突破點。（3）當兩個等角經(jīng)過兩個兩個點時，那么這四個點一定共圓，四點共圓能幫助我們巧妙轉(zhuǎn)化圓中的等角；（4）求點的運動路徑問題，關(guān)鍵是弄清點運動的路線，

53、初中階段主要考查的一般地就兩種：①線段；②弧。解決問題的策略是首先可以先通過畫圖（一般要畫出起始點、中間若干關(guān)鍵點和結(jié)束點）來判斷路徑和范圍；其次是結(jié)合已知條件的特點運用不同的數(shù)學方法說明自己的判斷是正確的；比如本題中M點位置的變化，但∠CMD保持不變，此時點M一定是在一段弧上運動或，如果一個動點到一個定點的距離始終不變，那么這個點運動的路徑也一定是?。詈蟀磁袛嗟穆窂筋愋图胺秶鷣碛嬎懵窂介L． 【關(guān)鍵詞】 平行線的判定；圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)；軌跡問題；幾何變換；動面題型； 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.